1、紊流理論 Turbulence,主講：李文杰 楊勝發(fā) 河海學院303室課程內(nèi)容（10-18周）,一. 緒論 二. 基本方程 三. 基本理論 四. 紊流模型 五. 明渠紊流 六. 紊流前沿成果（楊勝發(fā)）,二、紊流模型,1、概述 2、雷諾方程數(shù)值模擬（RANS） 3、大渦模擬（LES） 4、直接數(shù)值模擬（DNS）,概述,紊流運動的瞬時連續(xù)方程和運動方程 連續(xù)方程 運動方程,概述,直接求解連續(xù)方程和運動方程，即DNS。 原則上講，DNS并無理論上的困難。 一方面，描述紊流運動的精確的微分方程已經(jīng)得出，即NS方程；從數(shù)學觀點看來，紊流就是NS方程的通解。 另一方面，數(shù)值計算方

2、法的發(fā)展，已足以求解NS方程。 但是，現(xiàn)代計算機的儲存的能力和運算速度尚不足以求解任何一個實際的紊流問題。,概述,DNS實際應用中的困難 紊流運動所包含的單元，比流動區(qū)域的尺度要小得多。為了用數(shù)值計算方法求解紊動單元的運動要素，數(shù)值計算的網(wǎng)格必須比紊動單元的尺度更小。如此之多的網(wǎng)格點貯存各種變量，遠遠超過了現(xiàn)代計算機的內(nèi)存容量，而且，隨著網(wǎng)格點的增加，算術運算的次數(shù)顯著增多，所需計算的時間令人望而卻步。 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾經(jīng)預言，大約在本世紀末，高度發(fā)展的計算機將有足夠的能力用數(shù)值計算方法求解紊流的精確方程，但在較近的未來，精確地求解紊流問題無疑是不可能的。 到現(xiàn)

3、在，DNS算法已有很大發(fā)展。,概述,DNS之外的其他方法 求解時均NS方程（即雷諾方程）。 作為紊流的通解， NS方程描述了流體運動的一切細節(jié)，但在實際工程中具有重要意義的并不是紊流的一切細節(jié)，而是紊流對于時間的平均效應。 雷諾（Osborne Reynolds）建議用統(tǒng)計方法將NS方程取時間平均。但取平均的過程產(chǎn)生了新問題：方程增加了新未知項，時均方程組不再封閉，因此各種類型的紊流模型應運而生。 紊流模型可定義為一組方程，這組方程確定時均流方程中的紊動輸運項，從而封閉時均流動方程組（零方程、單方程、雙方程）。,概述,DNS之外的其他方法 大渦模擬LES。 DNS可以獲得尺度大于網(wǎng)格尺度的紊流

4、結(jié)構(gòu)，但卻無法模擬小于該網(wǎng)格尺度的紊動結(jié)構(gòu)。 大渦模擬的思路是： DNS模擬大尺度紊流運動，而利用亞網(wǎng)格尺度模型模擬小尺度紊流運動對大尺度紊流運動的影響。 LES較DNS擬占計算機的內(nèi)存小，模擬需要的時間也短，并且能夠得到較雷諾平均模型更多的信息。,概述,紊流模型分類 直接數(shù)值模擬（DNS）。直接求解NS方程，必須采用很小的時間步長與空間步長。 大渦模擬（LES）。 DNS模擬大尺度運動，亞網(wǎng)格上模擬小尺度運動。 Reynolds時均方程法（RANS）。將NS方程對時間平均，并通過一些假定建立模型，是目前工程中所采用的基本方法。根據(jù)對雷諾應力的處理方式不同，分為基于渦粘性假設的模型和應力輸運模

5、型兩類，根據(jù)引入方程的數(shù)量，前者又分為零方程、單方程和雙方程模型。,概述,雷諾時均方程模型發(fā)展史 1895年，Reynolds發(fā)表對紊流研究結(jié)果的文章。 1897年，Boussinesq渦粘性假定。 他們都沒有嘗試對雷諾方程進行系統(tǒng)的求解，許多粘性流動的機理尚未清楚。 1925年，Prandtl 提出了混合長度理論來計算渦粘性，為早期的研究奠定了基礎。早期貢獻最為顯著的還有von Karman，1930 年提出相似性假定。此類模型并沒有引入微分方程，稱為零方程或者代數(shù)模型。 1945年，Prandtl 提出一個渦粘性依賴于紊動能k的模型，建議使用一個偏微分方程的模型對精確的k方程進行近似，得到

6、了單方程模型，即k方程模型。,概述,雷諾時均方程模型發(fā)展史 1942年，Kolmogorov提出了第一個完整的紊流模型，除了k方程，還引入了另外一個參數(shù)，能量耗散率，得到了雙方程模型，即k-模型。70年代得到應用。 他們的共同貢獻是指出了封閉 Reynolds 方程或Reynolds 應力的封閉表達式應從湍流脈動場的性質(zhì)去尋找。稱為一階封閉格式。 周培源（1945）和Rotta（1951），繞過Boussinesq 渦粘性假定，提出了一個描述紊流切應力張量演化的微分方程，即雷諾應力張量，得到了應力輸運模型，也稱為二階封閉或者二階矩封閉模型。70年代得到應用。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雷諾

7、時均方程的封閉問題 將瞬時值寫成時均值+脈動值 ，代入連續(xù)方程和運動方程，并對方程兩邊取平均： 引入數(shù)學方程或者代數(shù)公式，確定所產(chǎn)生的新未知項雷諾應力 ，而不引入新的變量。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,渦粘性假設（紊動粘性） 對應層流中切應力與流速梯度關系的公式： 引入一個渦粘度 ，將紊流中的雷諾應力與流場中的時均流速梯度建立下述關系：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,渦粘性假設（紊動粘性） 當i=j時，假設不合理，引入湍流脈動所產(chǎn)生的壓力 紊流渦粘度與層流中的粘度相對應，也可稱為表觀粘度。粘度是流體本身的物理特性，與流動情況無關。但是渦粘度則不是流體的物理性質(zhì)，而是紊流的一種流動特性，決定于

8、流動的時均流速場和邊界條件。 引入渦粘性假設并未構(gòu)成紊流模型，只是提供了構(gòu)造紊流模型的基礎，但使模擬紊動應力問題轉(zhuǎn)化為確定的分布。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,紊動擴散概念 將紊動熱(或質(zhì)量)輸運與紊動動量輸運直接類比，假設熱(或質(zhì)量)輸運與被輸運的量有關： 對于熱輸運問題,稱為紊動普朗特數(shù)；對于質(zhì)量輸運問題，稱為紊動施密特(Schmidt)數(shù)。實驗表明,在流場中各點，甚至在不同型式的水流中，紊動普朗特數(shù)幾乎不變。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型 介紹三種比較簡單的紊流模型（常數(shù)模型，混合長模型，自由剪力層模型），均采用紊動粘性概念，均不包含紊動量的微分輸運方程。 確定紊動粘性系數(shù)

9、的方法 一是直接根據(jù)實驗資料，用嘗試法建立經(jīng)驗公式；主要是常數(shù)模型。 二是將紊動粘性系數(shù)與時均速度的分布建立聯(lián)系。主要指混合長模型，自由剪力層模型。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型常數(shù)模型 對于大體積水體水力計算的計算方法，對整個流場采用一個常數(shù)作為紊動粘性（擴散）系數(shù)，其數(shù)值根據(jù)實驗資料確定。 在充分發(fā)展紊流區(qū)，紊動粘性系數(shù)是一個常數(shù)。沒有固體邊界的自由剪切紊流，如射流和尾流，紊動粘性系數(shù)都是常數(shù)。 缺陷：在管道或者槽道的流動中，常數(shù)模型過粗，如在明渠水流中，紊動粘性系數(shù)沿水深的分布近似為拋物線，如果取為常數(shù)，將得不出合理的流速場。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度

10、模型 在氣體運動中，氣體分子以隨機的方式運動，氣體分子運動一個平均分子自由程后與其他氣體分子發(fā)生碰撞，并產(chǎn)生動量交換。 普朗特（1925年）提出混摻長度理論：假設在紊流運動中，與氣體分子運動相似，流體微團在運動過程中保持原有的運動特征不變，直到運行某一距離后與周圍其它微團相混摻，失去原有的運動特征（動量、熱量、含沙量等），與當?shù)氐钠骄再|(zhì)取得一致。這一運動距離l，相當于微團的生命跨度，稱為紊流的摻混長度。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 定義 的平均流速差為脈動，則根據(jù)泰勒展開,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 根據(jù) v與u具有相同量級，且符號相反，則

11、有 考慮紊動應力與粘性應力符號的一致性有,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 寫成紊動粘性系數(shù)的形式 如此則封閉了雷諾方程。 混摻長度l由實驗確定，它不是流體的一種物理性質(zhì)，而是與流動情況有關的一個量度。 紊流切應力主要是動量交換產(chǎn)生，則動量交換系數(shù)：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 普朗特假定l與從固體壁面算起的法向距離y成正比： ，k=0.4（平板紊流邊界層ly 分布圖） 對于自由剪切紊流，混摻長度與斷面混摻區(qū)寬度成正比 則,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 卡門相似理論?？ㄩT假定：（1）除了在周界外，紊流現(xiàn)象與水流的粘性無關；（

12、2）水流中各點紊動的基本格局彼此相似，所不同的只是時間和長度尺度。 假定水層y1和y2處的流速分別為u1和u2，則在其附近，流速變化可以用泰勒級數(shù)表示：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 卡門相似理論。既然水流中各點紊動的基本格局彼此相似，則影響流速變化的各個因素之間應該成一定比例： 因此,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 卡門相似理論。上式每一項都有長度的尺度，假定與混摻長度成比例，即 卡門在分析時只取上式的第一項 k為卡門常數(shù)，一般為0.4。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型混摻長度模型 由混摻長度理論和卡門相似理論，即,雷諾方程數(shù)值模擬（R

13、ANS）,零方程模型混摻長度模型 還存在其他混摻長度計算方法，不一一敘述。 缺陷： 對于速度梯度為零的點，零方程模型給出該點紊流切應力為零的錯誤結(jié)論；均未考慮紊動量的對流和擴散輸運；缺少通用性，對于不同形式的水流需采用不同的經(jīng)驗常數(shù)。 一般說來，混合長模型可用以計算許多簡單的剪力層型的流動，因為這種情況下可用經(jīng)驗方法確定；對于紊動輸運過程占有重要地位的復雜的水流，很難確定，混合長模型將不再適用。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,零方程模型自由剪力層模型 普朗特在1942年提出了只能用于自由剪力層的模型，比混合長假設更為簡單。 他假設在剪力層的任何截面上均為常數(shù)，紊動常數(shù)比尺正比于寬度，速度比尺正

14、比于橫截面上的最大速度差： 模型中的經(jīng)驗常數(shù)：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 零方程缺陷：流動的所有信息包含在t或混合長度l之中。而確定t和l時，最多與時均流場的特征相聯(lián)系，沒有考慮湍流脈動特征的影響。 隱含一個事實：湍流脈動特性對時均速度場沒有影響。 單方程模型：為了彌補混合長度假設的局限性，增加一個脈動動能k的輸運方程：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 脈動部分能量方程，由時均總能量減去時均部分能量得到： 左側(cè)第一、二項為單位體積流體脈動動能的當?shù)刈兓屎瓦w移變化率，第三項為脈動壓能和動能的遷移變化率；右側(cè)第一項為脈動粘性力對脈動流場的做功，第二項為脈動粘性力對脈動流

15、場變形速率做的變形功，是耗散項，第三項為脈動能量的產(chǎn)生項，表示從時均流動中獲取能量維持脈動。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 不考慮質(zhì)量力，或在重力場中，壓力項代表流體動壓力。N-S瞬時方程： 雷諾方程： 兩式相減：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 將上式中腳標j改為l（因為是啞標，對方程式無影響，而對下一步推導卻帶來很大方便），得,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 將上式i方向乘以uj，j方向乘以ui，然后相加，進行時間平均得,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 令i=j，將

16、k帶入，可得,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 可見二者相同。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 代表脈動動能的當?shù)嘏c遷移變化率； 為產(chǎn)生項，雷諾應力對時均流速場所作的變形功； 代表脈動流場中單位質(zhì)量流體雷諾應力的遷移變化率、由于脈動壓力引起的湍流擴散；,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 代表由粘性引起的湍流應力擴散，實質(zhì)為分子擴散； 代表動能方程中的脈動粘性耗散項。 渦粘系數(shù)計算式 湍流脈動動能耗散率計算式,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,單方程模型 一般說來，采用紊動粘性概念的單方程模型零方程的應用范圍更廣。 但是，單方程模型中如何確定長度比尺L仍為不易解決的問題。對

17、于比剪力層復雜的流動，確定長度比尺的分布如同在混合長模型當中確定混合長的分布一樣，很難用經(jīng)驗方法解決。這使得單方程模型迄今為止仍限用于剪力層流動。對于剪力層型的流動，前已述及，混合長模型也可得出滿意的結(jié)果，但比單方程模型更為簡單。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型 不考慮質(zhì)量力，或在重力場中，壓力項代表流體動壓力。N-S瞬時方程： 雷諾方程： 兩式相減：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型 將上式對xl 求偏微分可得：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型 將上式兩側(cè)同時乘以 ，并取時均平均可得：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程

18、模型 整理可得 改變式中啞標可得：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型 1中的前兩項代表湍流擴散項、第三項代表分子擴散； 2及3為產(chǎn)生項； 4代表小渦拉伸產(chǎn)生項； 5代表粘性破壞項。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型 渦粘系數(shù)： 耗散率： 常用系數(shù):,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-優(yōu)點 （1）雙方程紊流模型不僅考慮到紊流速度比尺的輸運，而且考慮到紊流長度比尺的輸運，因而能確定各種復雜水流的長度比尺分布。尤其是有些形態(tài)的水流，其長度比尺不可能用簡單的方法經(jīng)驗的確定，這時，雙方程模型便是有希望成功的計算這些水流的最簡單模型。例如，回流和一些由幾個自由層和璧面層相互作用形成

19、的復雜剪力層，用零方程和單方程模型均難得出較好的結(jié)果，用雙方程模型卻能得到極好的計算結(jié)果。 （2）雙方程紊流模型已經(jīng)在相當廣的應用范圍內(nèi)得到驗證，證明有效。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-缺點 （1）模型中的經(jīng)驗常數(shù)，通用性尚不令人十分滿意，對弱剪力層和軸對稱射流，必須用一些函數(shù)代替幾個經(jīng)驗常數(shù)。 （2）紊動粘性系數(shù)是各向同性的標量，無法反映應力的各向異性及由此造成的流動宏觀參數(shù)的改變。 （3）k-方程適用于紊流雷諾數(shù)足夠大的區(qū)域。紊流問題中涉及低雷諾數(shù)的固體壁面及其上的邊界層（粘性底層及過渡層），k-方程必須做出修正，或?qū)Ρ诿娓浇臏u粘系數(shù)做出特殊的處理。 處理方法：1）低雷諾數(shù)

20、模型；2）壁面函數(shù)法；3）區(qū)域模型。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-低雷諾數(shù)模型 高Re數(shù)k-模型應用到靠近壁面的粘性低Re數(shù)區(qū)域，必須做三個方面的修正（Jones和Launder，1973）：k-方程中的擴散系數(shù)必須同時包括紊流擴散系數(shù)和分子擴散系數(shù)；低Re數(shù)區(qū)，C，C2等是紊流雷諾數(shù)的函數(shù)；考慮壁面附近脈動動能的耗散各向異性， 在k-方程中加入修正項。 Jones.WPand Launder.B.EThe calculation of Low-Reynolds-Number Phenomena with a Two-Equation Model of TurbulenceJ.I

21、nt.J.Heat Mass Transfer,1973(16):1119-1130,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-低雷諾數(shù)模型 低雷諾數(shù)模型可以一直用到貼近壁面的地方，并獲得較為滿意的解，但近壁區(qū)需要布置相當多的結(jié)點，多達2030個，計算工作量大。 布置相當多結(jié)點,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 紊流核心區(qū)采用高Re模型，第一內(nèi)結(jié)點直接布置在旺盛紊流區(qū)域內(nèi)，近壁影響集中在該結(jié)點控制體內(nèi)。 雖然此處速度變化劇烈，但速度梯度仍按第一內(nèi)結(jié)點與壁面的一階差分計算，關鍵是根據(jù)經(jīng)驗和半經(jīng)驗方法合理選擇各方程在邊界結(jié)點的擴散系數(shù)或邊界第一內(nèi)結(jié)點的值，使之能反映近壁區(qū)的全部

22、影響。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 v方向，由于壁面無滑移和不可穿透條件 故取壁面擴散系數(shù) u方向，壁面切應力 ，壁面上速度梯度用 第一內(nèi)結(jié)點速度和壁面速度的一階差分來代替。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 u方向，壁面上速度梯度 用第一內(nèi)結(jié)點速度和壁面速度的一階差分來代替： 則當量擴散系數(shù),雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 如何確定u+和y+，即u*？ 近壁邊界層中與 w相等，并認為邊界層流動中脈動動能的產(chǎn)生與耗散平衡： 根據(jù)渦粘性假設和混摻長度理論：,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 如何確定u+和y+

23、，即u*？ 近壁邊界層中與 w相等，并認為邊界層流動中脈動動能的產(chǎn)生與耗散平衡： 將 帶入可得,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 確定擴散系數(shù) u方向 v方向,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-壁面函數(shù)法 確定邊界條件 對于k方程，如果第一內(nèi)結(jié)點設置在粘性底層內(nèi)貼近壁面的地方，k=0，但按壁面函數(shù)法的要求將第一內(nèi)結(jié)點布置在對數(shù)規(guī)律層，那里k的產(chǎn)生與耗散都比向壁面的擴散大得多，取壁面上k / y = 0。 對于方程，用混合長度理論： 注意：第一個內(nèi)節(jié)點與壁面間的無量綱距離應滿足,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,雙方程模型-區(qū)域模型 為了克服壁面函數(shù)法和低Re數(shù)模型的缺陷

24、，近年來發(fā)展了區(qū)域模型法。 基本思想是： y+接近100的邊壁區(qū)，用現(xiàn)在的 k-模型計算。 近壁區(qū)紊流動能耗散率和紊流渦粘性系數(shù)，都可以由充分?；叡诟浇恼承杂绊懞臀闪鞲飨虍愋蕴匦缘拇鷶?shù)方程來確定。 外部區(qū)域是另外一部分計算區(qū)，k-模型模擬。,雷諾方程數(shù)值模擬（RANS）,二階矩封閉模型 雷諾應力輸運模型(RSM)：放棄了渦粘性假設，與雙方程模型相比，在理論上具有更好的通用性和精度。但模型要求解雷諾應力的所有分量所滿足的微分方程，同時還要求解k、方程，從而使求解的模型方程數(shù)大大增加，對計算機容量和計算費用的要求也大大增加。 代數(shù)應力模型(ASM)：在雷諾應力方程模型的基礎上，用雷諾應力的代數(shù)

25、關系取代其微分方程，和k、方程構(gòu)成ASM。ASM在一定程度上綜臺了標準k、模型的經(jīng)濟性和RSM的通用性。在有必要計及體積力效應(浮力、流線彎曲、旋轉(zhuǎn)等)時，ASM的優(yōu)點尤為突出。,大渦模擬（LES）,前言 紊流分解成平均運動和脈動運動兩部分。 紊流運動理論分析或計算方法：雷諾平均方法。 由于紊流運動的隨機性和N-S方程的非線性，利用平均的方法必然導致方程的不封閉性，形成了紊流理論的致命傷。 要使方程組封閉，借助經(jīng)驗數(shù)據(jù)、物理類比、甚至直覺想像構(gòu)造出五花八門的模型假設統(tǒng)稱為紊流模式理論。,大渦模擬（LES）,紊流模式理論的缺陷 （1）通過平均運算將脈動運動的全部行為細節(jié)一律抹平，丟失了包含在脈動

26、運動中大量有重要意義的信息。（2）各種湍流模型都有一定的局限性、對經(jīng)驗數(shù)據(jù)的依賴和預報程度較差等缺點。 大渦與平均流動的相互作用：它由平均運動提供能量，依賴于初始條件和邊界的形狀和性質(zhì)，其形態(tài)與強度因流動的不同而不同各向異性；它對平均流動有強烈的影響，大部分質(zhì)量、動量、能量的輸運是由大渦引起的。 小渦是通過大渦間非線性相互作用間接產(chǎn)生，與平均運動或流場邊界形狀沒有關系各向同性；它對平均運動只有輕微影響，主要起粘性耗散作用。,大渦模擬（LES）,數(shù)值模擬：計算區(qū)域尺寸應大到足以包含最大尺度的渦；計算網(wǎng)格尺度應小到足以分辨最小渦的運動。 大渦模擬：比網(wǎng)格尺度大的大渦運動通過數(shù)值求解N-S方程；比網(wǎng)格尺度小的小渦運動對大尺度運動的影響，則通過建立模型來模擬。 直接數(shù)值模擬DNS？最先進計算機還不容許。 大渦模擬可靠性：由于小尺度渦運動受流動邊界條件和大渦運動的影響甚小，且近似是各向同性的，能找到一個廣泛適用的模型；流動中大部分質(zhì)量、動量