1、2006屆高三第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)定理學(xué)案一、考試要求：1理解不等式的性質(zhì)及其證明。2掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。二 考點(diǎn)掃描1不等式的幾個重要性質(zhì)(1)可乘性：； (2)可除性：反之不可； (3)3、基本不等式：若，則 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號（1） （2） 幾個結(jié)論 ：， ；如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）（此公式成立的充要條件為）4、求最值方法 ：1、基本不等式法。2、函數(shù)單調(diào)性法。3、函數(shù)圖像法。4、求導(dǎo)法5、法，等利用均值不等式求最值，必須同時滿足下面三個條件：_；_；_.

2、5、重要函數(shù)的單調(diào)性.利用定義可證明，在_上是減函數(shù)，在_上是增函數(shù).6. 著名的柯西不等式：對任意的實(shí)數(shù)其 中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立特別地 ，7、不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)變形判斷符號(值)三小題訓(xùn)練（1）已知、為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值（2）求函數(shù)的最小值 （3）求的值域 （4）已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 。（5）設(shè)的最大值為 （6）設(shè),則下列不等式中不成立的是( ).A. B.

3、 C. D. 四典型例題例1（1）已知實(shí)數(shù)滿足（），求得最大值（2）若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范圍（3）（1999全國，17）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是 .例2（1）設(shè)恒成立,求n的值（2）若.（3）已知.求證: . 五強(qiáng)化訓(xùn)練1（2005福建卷文第5題）下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)BC的最小值為2 D當(dāng)無最大值2（2005福建卷理第11題）設(shè)的最小值是（ ）ABC3D3. (2005重慶卷理第5題) 若x，y是正數(shù)，則的最小值是（ ）A3 B C4 D4. 已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a2+b2=m，x2+y2=n

4、，則ax+by的最大值是（ ）A B C D 5. (2005重慶卷文第14題)若的最大值是 6. 04重慶卷文14已知,則的最小值是_7（2001京春）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.2. 8湖南卷理7設(shè)則以下不等式中不恒成立的是（ ）A B C D 9已知，則2a+3b的取值范圍是 A B C D 10 04湖北卷理若，則下列不等式； 中，正確的不等式有（ ） A1個 B2個C3個D4個11已知，求證: .江蘇省贛馬高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)不等式作業(yè)1已知，則2a+3b的取值范圍是 A B C D 2已知函數(shù)f (x)= 在區(qū)間1，2 上函數(shù)值

5、恒為非正數(shù)，那么bc A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 3（2005湖南卷理第8題）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件，則b的取值范圍可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b24若,則( )(A)abc (B)cba (C)cab (D)bab0，且，則m的取值范圍是（ ）A. mR B. m0 C. m0 D. bm1，則y=x+的最小值為_12已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 則ax+by+cz的最大值為 13若，且，都是正數(shù)，則，從小到大依次為 14設(shè)求證：15設(shè)且，求得最大值16、已知a,b,c為不等正數(shù)，且abc=1

6、，求證：江蘇省贛馬中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)不等式教案一、考試要求：1理解不等式的性質(zhì)及其證明。2掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。二、知識梳理1不等式的幾個重要性質(zhì)(1)可乘性：； (2)可除性：反之不可； 如：已知x3 ,求的范圍解得：(3)3、基本不等式：若，則 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號（1） （2） 幾個結(jié)論 ：， ；如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）（此公式成立的充要條件為）4、利用均值不等式求最值，必須同時滿足下面三個條件：_；_；_.缺一不可5、重要函數(shù)的單調(diào)性.利用定義可證明，在_上是減

7、函數(shù)，在_上是增函數(shù).6. 著名的柯西不等式：對任意的實(shí)數(shù)其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立特別地 ，三小題訓(xùn)練（1）已知、為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值（2）求函數(shù)的最小值 （3）求的值域 （4）已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 。（5）設(shè)的最大值為 （6）設(shè),則下列不等式中不成立的是( ).A. B. C. D. （1）（2）（3）（4）錯解一、因?yàn)閷0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4。錯解二、，所以z的最小值是。錯解分析：解一等號成立的條件是相矛盾。解二等號成立的條件是，與相矛盾。正解：z=，令t=xy, 則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時 有最小值,所以當(dāng)時z有最小值。（5）分析:

8、是常數(shù),的積可能有最大值.可把里面去考慮,注意到的積,應(yīng)處理成.解:,=.當(dāng)且僅當(dāng).（6）:由于是選擇題,可用特值法,如取,代入各選項中的不等式,易判斷不成立.分析2:可逐項使用均值不等式判斷:A. ,不等式成立.B.:.C. 又成立.D.,不成立,故選(D)四典型例題例1（1）已知實(shí)數(shù)滿足（），求得最大值（2）若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范圍（3）（1999全國，17）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是 .解： 1、上述解法中使用了不同的方法結(jié)果不同，表面上看似乎都有道理，但是解法錯誤。因?yàn)槿〉忍柕臈l件是，取等號的條件

9、是，但是這樣一來，取等號的條件是且，從而就有。因此，不是它的最大值。正解1：構(gòu)造向量，則，因?yàn)?，所以。?dāng)且僅當(dāng)取最大值。正解2：利用柯西不等式正解3：（三角換元），則令當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值。 這里，等價于。學(xué)習(xí)了圓的方程后，會更容易理解。2分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范

10、圍是6，10解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組()所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范圍是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯解：2b，84a12，

11、-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高3.。答案：ab9解析一：令=t（t0）由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3.故ab9.解析二：由已知得abb=a+3，b（a1）=a+3，b=（a1）ab=a=（a1）+1=a+3+=a1+4+=a1+52+5=9.當(dāng)且僅當(dāng)a1=時取等號.即a=b=3時ab的最小值為9.所以ab的取值范圍是（9，+）.評述：本

12、題考查基本不等式的應(yīng)用及不等式的解法及運(yùn)算能力.解法一重在思考a+b與ab的關(guān)系聯(lián)想均值不等式.而解法二是建立在函數(shù)的思想上，例2（1）設(shè)恒成立,求n的值分析:由于不等式等價于要使原不等式恒成立,就要使的最小值不小于n.【解】:= 的值為1或2或3或4.（2）若.分析: .證法1: =(當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號).此題若能妙用“1”，證法更簡捷.證法2:(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).（3）已知.求證: .已知.求證: .證法1(比較法): =,即(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號).證法2(分析法): 因?yàn)轱@然成立,所以原不等式成立.(評述:分析法是基本的數(shù)學(xué)方法,使用時,要證保”后一步”是”前一步”的充分條件.)證法

13、3(綜合法):由上分析法逆推獲證(略).證法4(反證法):假設(shè),則.由,這與矛盾.所以.證法5(放縮法):.(評述:根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及這個特點(diǎn),選用基本不等式)證法6(均值換元): 因?yàn)椤?=. (當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立).評述:形如結(jié)構(gòu)式的條件,一般可以采用均值換元.證法7(利用一元二次方程根的判別式):設(shè).所以.故.五強(qiáng)化訓(xùn)練1（2005福建卷文第5題）下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)BC的最小值為2 D當(dāng)無最大值2（2005福建卷理第11題）設(shè)的最小值是（ C ）ABC3D3. (2005重慶卷理第5題) 若x，y是正數(shù)，則的最小值是（ C ）A3 B C4 D4. 已知實(shí)數(shù)a、b、x、

14、y滿足a2+b2=m，x2+y2=n，則ax+by的最大值是（A ）A B C D 5. (2005重慶卷文第14題)若的最大值是 6. 04重慶卷文14已知,則的最小值是_（6）7（2001京春）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ B ）A.18 B.6 C.2 D.2. 8湖南卷理7設(shè)則以下不等式中不恒成立的是（ ）A B C D 9已知，則2a+3b的取值范圍是 DA B C D 錯解：對條件“”不是等價轉(zhuǎn)化，解出a,b的范圍，再求2a+3b的范圍，擴(kuò)大了范圍。正解：用待定系數(shù)法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出結(jié)果為D。10 04湖北卷理若，則下列不等式；

15、中，正確的不等式有（ ） A1個 B2個C3個D4個11已知，求證: .證明：同理,三式相加得若，則證：江蘇省贛馬高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)不等式作業(yè)1已知，則2a+3b的取值范圍是 A B C D 錯解：對條件“”不是等價轉(zhuǎn)化，解出a,b的范圍，再求2a+3b的范圍，擴(kuò)大了范圍。正解：用待定系數(shù)法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出結(jié)果為D。2已知函數(shù)f (x)= 在區(qū)間1，2 上函數(shù)值恒為非正數(shù)，那么bc A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 解析：，兩式相加，得。答案：B 3（2005湖南卷理第8題）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件，則b的取值

16、范圍可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b24若,則( ) (C)cab0，且，則m的取值范圍是（ ）A. mR B. m0 C. m0 D. bm1，則y=x+的最小值為_答案：點(diǎn)評：誤填：4，錯因：，當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時等號成立，忽略了運(yùn)用基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”的條件。12已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 則ax+by+cz的最大值為 答案：3錯誤原因：忽視使用基本不等式時等號成立的條件，易填成5。應(yīng)使用如下做法：9a2+x26ax, 9b2+y2 6by，9c2+z26cz，6(ax+by+cz)9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz313若，且，都是正數(shù)，則，從小到大依次為 解：令，則， ，； 同理可得：，（3）取