1、1,主要內(nèi)容 集合的基本概念 屬于、包含 冪集、空集 文氏圖等 集合的基本運(yùn)算 并、交、補(bǔ)、差等 集合恒等式 集合運(yùn)算的算律、恒等式的證明方法,第二部分 集合論,第六章 集合代數(shù),2,6.1 集合的基本概念,1. 集合定義 集合沒有精確的數(shù)學(xué)定義 理解：由離散個體構(gòu)成的整體稱為集合，稱這些個體為集 合的元素 例：方程x210的實(shí)數(shù)解集合； 26個英文字母的集合； 坐標(biāo)平面上所有點(diǎn)的集合； 教室內(nèi)的桌椅、圖書館的藏書、全國的高等學(xué)校、自 然數(shù)的全體、直線上的點(diǎn) 常見的數(shù)集：N, Z, Q, R, C 等分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有 理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)集合,3,6.1 集合的基本概念,2. 集合表示法

2、列元素法（枚舉法）-是列出集合的所有元素, 元素之間 用逗號隔開, 并把它們用花括號括起來. 例如 A=a, b, c, , z N=0,1,2,3, Z=0, 1, 2, 謂詞表示法-通過謂詞概括集合元素的性質(zhì) 例如： S= x | x是實(shí)數(shù) x21=0 表示方程x210的實(shí)數(shù)解集.,有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它們之間 可以相互轉(zhuǎn)化，但是有些集合不能用列元素法，如實(shí)數(shù)集,4,3.集合的性質(zhì) (1) 互異性：集合的元素是彼此不同的, 如 1, 1, 2, 2, 31, 2, 3 （2）無序性：集合的元素是無序的, 如 1, 2, 33, 1, 2 （3）確定性：集合中的元素是確定

3、的，對元素a和集合A，有 a A或a A，必居其一且只居其一 （）任意性：集合的元素也可以是集合,5,元素與集合,元素與集合的關(guān)系 隸屬關(guān)系： 或者 集合的樹型層次結(jié)構(gòu) 例如：A= a, b,c ,d , d 這里,dA ，b,cA，dA。 但是 bA，dA 可以用一種樹形圖來表示這種隸屬關(guān)系。,6,元素與集合,在本課程所中所采用的體系中規(guī)定集合的元素都是集合.,7,集合與集合,集合與集合之間的關(guān)系：, =, , , , 6. 同一個層次上的兩個集合的關(guān)系 定義6.1 設(shè)A, B為集合, 如果B中的每個元素都是A中的元 素, 則稱B是A的子集合, 簡稱子集. 這時也稱B被A包含, 或A 包含B

4、, 記作B A. B A x ( xB xA) 例如 N Z Q R C, 如果B不被A包含, 則記作B A.,8,顯然對任何集合A都有A A.隸屬關(guān)系和包含關(guān)系都是兩個集合之間的關(guān)系, 對于某些集合可 以同時成立這兩種關(guān)系. 例如 Aa,a和a 既有aA, 又有a A. 前者把它們看成是不同層次上的兩個 集合, 后者把它們看成是同一層次上的兩個集合. 定義6.2 設(shè)A, B為集合, 如果A B且B A, 則稱A與B相等, 記作AB. 如果A與B不相等, 則記作AB. 相等的符號化表示為: AB A BB A,9,定義6.3 設(shè)A, B為集合, 如果B A且BA, 則稱B是A的真 子集, 記作

5、B A.如果B不是A的真子集, 則記作B A.真子集的符號化表示為 B A B ABA 例如 N Z Q R C, 但N N. 思考： 和 的定義 注意 和 是不同層次的問題,10,空集、全集和冪集,定義6.4 空集 ：不含有任何元素的集合。 空集可以符號化表示為 x|xx. 實(shí)例： x | xR x2+1=0 是方程x2+1=0的實(shí)數(shù)解 集, 因?yàn)樵摲匠虩o實(shí)數(shù)解, 所以是空集. 定理6.1 空集是任何集合的子集。 證 對于任意集合A，由子集定義有 A x (x xA) 右邊的蘊(yùn)涵式因前件假而為真命題, 所以A 也為真.,11,推論 空集是唯一的. 證：假設(shè)存在空集1和2, 由定理6.1有 1

6、 2 2 1 根據(jù)集合相等的定義, 有1 2 . 含有n個元素的集合簡稱n元集, 它的含有m(mn)個元素 的子集叫做它的m元子集. 任給一個n元集, 怎樣求出它的全部子集呢？舉例說明 如下：,12,例6.1 A1,2,3, 將A的子集分類： 0元子集, 也就是空集, 只有一個： ； 1元子集, 即單元集：1, 2, 3； 2元子集：1,2, 1,3, 2,3； 3元子集：1,2,3.注:由0元子集的個數(shù),加1元子集的個數(shù),可得到子集總數(shù) 2n.,13,定義6.5 設(shè)A為集合, 把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的 冪集, 記作P(A)(或PA, 2A). 冪集的符號化表示為 P(A)x|x A

7、對于例6.1中的集合A有 P(A), 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3 若A是n元集, 則P(A)有2n個元素.,冪集,14,定義6.6 在一個具體問題中, 如果所涉及的集合都是某個集合的子集, 則稱這個集合為全集, 記作E. 全集是有相對性的, 不同的問題有不同的全集, 即使是同一個問題也可以取不同的全集. 例如在研究平面上直線的相互關(guān)系時, 可以把整個平面(平面上所有點(diǎn)的集合)取作全集, 也可以把整個空間(空間上所有點(diǎn)的集合)取作全集. 一般地說, 全集取得小一些, 問題的描述和處理會簡單些.,全集,15,6.2 集合的運(yùn)算,1.初級運(yùn)算 集合的基本運(yùn)算

8、有 定義6.7 設(shè)A, B為集合, A與B的并集AB, 交集AB, B對 A的相對補(bǔ)集AB分別定義如下： 并 AB = x | xA xB 交 AB = x | xA xB 相對補(bǔ) AB = x | xA xB 由定義可以看出, AB是由A或B中的元素構(gòu)成, AB由A 和B中的公共元素構(gòu)成, AB由屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成.,16,例如 Aa, b, c, Ba, Cb, d 則有 ABa, b, c, ABa, ABb, c, BA , BC 如果兩個集合的交集為 , 則稱這兩個集合是不相交的. 例如B和C是不相交的. 并和交運(yùn)算可以推廣到n個集合上，即 A1 A2 An = x | xA

9、1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn,17,上述的并和交可以也可以寫作： A1 A2 An A1 A2 An 并和交運(yùn)算還可以推廣到無窮多個集合的情況： A1 A2 A1 A2 ,18,定義6.8 設(shè)A, B為集合, A與B的對稱差集AB定義為： A B(AB)(BA) 例如 Aa, b, c, Bb, d, 則A Ba, c, d. 對稱差運(yùn)算的另一種定義是 A B(AB)(AB),19,在給定全集E以后, AE, A的絕對補(bǔ)集A定義如下： 定義6.9 AEAx|xExA 因?yàn)镋是全集, xE是真命題, 所以A可以定義為 Ax|xA 例如 Ea, b, c

10、, d, Aa, b, c, 則 Ad.,20,以上集合之間的關(guān)系和運(yùn)算可以用文氏圖(Venn Diagram) 給予形象的描述. 文氏圖的構(gòu)造方法如下： 首先畫一個大矩形表示全集E(有時為簡單起見可將全集省 略), 其次在矩形內(nèi)畫一些圓(或任何其他的適當(dāng)?shù)拈]曲線), 用圓 的內(nèi)部表示集合. 不同的圓代表不同的集合. 如果沒有關(guān)于集合 不交的說明, 任何兩個圓彼此相交. 圖中陰影的區(qū)域表示新組成 的集合. 圖6.2就是一些文氏圖的實(shí)例.,21,文氏圖,22,幾點(diǎn)說明,A B AB = AB = AB = A,23,廣義運(yùn)算,2. 集合的廣義并與廣義交 定義6.10 設(shè)A為集合，A的元素的元素構(gòu)

11、成的集合稱為A的廣 義并，符號化： A = x | z ( zA xz ) 定義6.11 設(shè)A為非空集合，A的所有元素的公共元素構(gòu)成的 集合稱為A的廣義交，符號化： A= x | z ( zA xz ) 實(shí)例 1, 1,2, 1,2,3=1,2,3 1, 1,2, 1,2,3=1 a=a， a=a a=a， a=a,24,關(guān)于廣義運(yùn)算的說明,2. 廣義運(yùn)算的性質(zhì) (1) =，無意義 (2) 單元集x的廣義并和廣義交都等于x (3) 廣義運(yùn)算減少集合的層次（括弧減少一層） (4) 廣義運(yùn)算的計(jì)算：一般情況下可以轉(zhuǎn)變成初級運(yùn)算 A1, A2, , An=A1A2An A1, A2, , An=A1

12、A2An 3. 引入廣義運(yùn)算的意義 可以表示無數(shù)個集合的并、交運(yùn)算，例如 x | xR=R 這里的 R 代表實(shí)數(shù)集合.,25,運(yùn)算的優(yōu)先權(quán)規(guī)定,一類運(yùn)算：稱廣義并，廣義交，冪集,絕對補(bǔ)運(yùn)算 二 類運(yùn)算：并,交,相對補(bǔ),對稱差運(yùn)算 混合運(yùn)算：一類運(yùn)算優(yōu)先于二類運(yùn)算 運(yùn)算由右向左進(jìn)行 優(yōu)先順序由括號確定,例1 A=a,a,b，計(jì)算A(AA). 解： A= a,b， A= a， A= ab， A = a A(AA) = a,b(ab) a) = (ab)(ab)a) = (ab)(ba) = b,26,1. 文氏圖法 使用文氏圖可以很方便地解決有窮集的計(jì)數(shù)問題. 首先根據(jù)已知條件把對應(yīng)的文氏圖畫出來

13、. 一般地說, 每一條性質(zhì)決定一個集合. 有多少條性質(zhì), 就有多少個集合. 如果沒有特殊說明, 任何兩個集合都畫成相交的, 然后將已知集合的元素?cái)?shù)填入表示該集合的區(qū)域內(nèi). 通常從n個集合的交集填起, 根據(jù)計(jì)算的結(jié)果將數(shù)字逐步填入所有的空白區(qū)域. 如果交集的數(shù)字是未知的, 可以設(shè)為x. 根據(jù)題目中的條件, 列出一次方程或方程組, 就可以求得所需要的結(jié)果,有窮集合元素的計(jì)數(shù),27,例6.2 對24名會外語的科技人員進(jìn)行掌握外語情況的調(diào)查. 其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：會英、日、德和法語的人分別為13, 5, 10和9人, 其中同時會英語和日語的有2人, 會英、德和法語中任兩種語言的都是4人. 已知會日語的人既

14、不懂法語也不懂德語, 分別求只會一種語言(英、德、法、日)的人數(shù)和會三種語言的人數(shù). 解: 令A(yù), B, C, D分別表示會英、法、德、日語的人的集合. 根據(jù)題意畫出文氏圖如圖6.3所示. 設(shè)同時會三種語言的有x人, 只會英、法或德語一種語言的分別為y1, y2和y3人. 將x和y1, y2, y3填入圖中相應(yīng)的區(qū)域, 然后依次填入其他區(qū)域的人數(shù).,28,根據(jù)已知條件列出方程組如下： 解得x1, y14, y22, y33.,29,例6.3 求1到1000之間（包含1和1000在內(nèi)）既不能被5和6整除，也不能被8整除的數(shù)有多少個？ 解 方法一 設(shè) S= x | xZ 1x1000 A= x |

15、 xS x可被5整除 B= x | xS x可被6整除 C= x | xS x可被8整除 用|T|表示有窮集T中的元素?cái)?shù), x 表示小于等于x的最大整數(shù), lcm(x1,x2,xn)表示x1,x2,xn的最小公倍數(shù), 則有,30,|S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6= 166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5

16、,6,8) = 1000/120 = 8,畫出文氏圖，然后填入相應(yīng)的數(shù)字，解得 N=1000(200+100+33+67) =600,31,有窮集合元素的計(jì)數(shù),2. 包含排斥原理 定理6.2 設(shè)集合S上定義了n條性質(zhì)，其中具有第 i 條性質(zhì)的 元素構(gòu)成子集Ai, 那么集合中不具有任何性質(zhì)的元素?cái)?shù)為,推論 S中至少具有一條性質(zhì)的元素?cái)?shù)為,32,實(shí)例,解：方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 10

17、00/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600,例6.3 求1到1000之間（包含1和1000在內(nèi)）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的數(shù)有多少個？,33,6.3 集合恒等式,集合算律 1只涉及一個運(yùn)算的算律： 交換律、結(jié)合律、冪等律,34,集合算律,2涉及兩個不同運(yùn)算的算律： 分配律、吸收律,35,集合算律,3涉及補(bǔ)運(yùn)算的算律： DM律，雙重否定律,36,集合算律,4涉及全集和空集的算律： 補(bǔ)

18、元律、零律、同一律、否定律,37,集合恒等式,下面的恒等式給出了集合運(yùn)算的主要算律, 其中A, B, C代表任意集合. 冪等律 AAA AAA 結(jié)合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 交換律 ABBA ABBA,38,分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 同一律 AA AEA 零律 AEE A 排中律 AAE矛盾律 AA,39,吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC E E 雙重否定律 (A)A,40,集合證明題,證明方法：命題演算法、等式置換法 命題演算證明法的

19、書寫規(guī)范 (以下的A和B代表集合公式) (1) 證AB 任取x， xA xB (2) 證A=B 方法一 分別證明 AB 和 BA 就是對于任意的x,有 xAxB和xBxA 方法二 任取x，xA xB 注意：在使用方法二的格式時，必須保證每步推理都是充 分必要的,41,選證其中的一部分, 在證明中大量用到命題邏輯的等值式, 在 敘述中采用半形式化的方法. 方法一：命題演算法 例6.4 證明（德摩根律） A(BC)(AB)( AC). 證 對任意的x xA(BC) xAxBC xA(xBxC),42, x A( x B x C) x A xB x C ( x A x B) ( x A x C) x

20、 AB x AC x ( AB)(AC) 所以 A(BC)(AB)( AC),43,例6.5 證明（同一律） AEA.,證 對任意的x, xAExAxExA(因?yàn)閤E是恒真命題), 所以 AEA.,44,集合等式的證明,例6.6 證明（吸收律） A(AB) = A 證 任取x, xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A.,45,等式代入法,方法二：等式置換法 例6.8 假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立，證明吸 收律. 證 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交換律） = AE （零律） = A

21、（同一律）,46,另一些關(guān)于集合運(yùn)算性質(zhì)的重要結(jié)果 ABA, ABB AAB, BAB ABA ABAB A B =BA B A B =AA-B= ABBA (AB) CA (BC) AA AA ABACBC,47,例6.9 證明等式ABAB.,證 對于任意的x, xABxAxB xAxB xAB所以 ABAB.,上面等式把相對補(bǔ)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成交運(yùn)算, 這在證明有關(guān)相 對補(bǔ)的恒等式中是很有用的.,48,例6.10 證明(AB)BAB,證明 (AB)B (AB)B (AB)(BB) (AB)E AB,49,包含等價(jià)條件的證明,例6.11 證明AB=B AB AB=A AB= 證明思路： 確定問題中含

22、有的命題：本題含有命題 , , , 確定命題間的關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要證明的結(jié)論）：本題中每個命題都可以作為已知條件，每個命題都是要證明的結(jié)論 確定證明順序：， 按照順序依次完成每個證明（證明集合相等或者包含）,50,證： ABBAB 對于任意的x, （A A B ） xA xAxB xAB xB (因?yàn)锳BB)所以A B. A B ABA. 顯然有AB A, 下面證A AB. 對于任意的x, xAxAx A xAxB (因?yàn)锳B) xAB 則 A AB 由集合相等的定義有ABA.,51, ABA AB AB AB (AB)B (因?yàn)锳BA) A(BB) A AB= ABB 由

23、例6.10（(AB)BAB）及AB有 ABB(AB)B B 例6.11給出了A B的另外三種等價(jià)的定義, 這不僅為證明兩個集合之間的包含關(guān)系提供了新方法, 同時也可以用于集合公式的化簡.,52,例6.12 化簡(ABC)(AB)(A(BC)A).,解 因?yàn)锳BABC, AA(BC), 有 (ABC)(AB)(A(BC)A) (AB)A BA,53,證 已知A BA C, 所以有 A (A B)A (A C) (A A) B(A A) C B C B C BC,例6.13 已知AB A C, 證明BC.,54,第六章 習(xí)題課,主要內(nèi)容 集合的兩種表示法 集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)

24、系的區(qū)別與聯(lián)系 特殊集合：空集、全集、冪集 文氏圖及有窮集合的計(jì)數(shù) 集合的, , , , 等運(yùn)算以及廣義, 運(yùn)算 集合運(yùn)算的算律及其應(yīng)用,55,基本要求,熟練掌握集合的兩種表示法 能夠判別元素是否屬于給定的集合 能夠判別兩個集合之間是否存在包含、相等、真包含等關(guān)系 熟練掌握集合的基本運(yùn)算（普通運(yùn)算和廣義運(yùn)算） 掌握證明集合等式或者包含關(guān)系的基本方法,56,練習(xí)1,1判斷下列命題是否為真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b,解

25、 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為真，其余為假.,57,方法分析,(1) 判斷元素a與集合A的隸屬關(guān)系是否成立基本方法： 把 a 作為整體檢查它在A中是否出現(xiàn)，注意這里的 a 可 能是集合表達(dá)式. (2) 判斷AB的四種方法 若A,B是用枚舉方式定義的，依次檢查A的每個元素是否在B中出現(xiàn). 若A,B是謂詞法定義的，且A, B中元素性質(zhì)分別為P和Q, 那么“若P則Q”意味 AB，“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味= 通過集合運(yùn)算判斷AB，即AB = B, AB = A, AB = 三個等式中有一個為真. 通過文氏圖判斷集合的包含（注意這里是判斷，而不是證明,58,練習(xí)2,2設(shè) S1=1, 2,

26、 , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 確定在以下條件下X是否與S1,S5中某個集合相等？如果是，又與哪個集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X S1,59,解答,解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于與S2不交，不能含有偶數(shù)， 因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有 偶數(shù)，因此 X=S1, S2或

27、S4. (4) XS3=意味著 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此這樣的X不存在.,60,練習(xí)3,3. 判斷以下命題的真假，并說明理由. （1）AB = A B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果AB = B，則A = E. （5）A = xx，則 xA且x A.,61,解題思路,先將等式化簡或恒等變形. 查找集合運(yùn)算的相關(guān)的算律，如果與算律相符，結(jié)果為真. 注意以下兩個重要的充要條件 AB = A AB = AB = AB AB = B AB = A 如果與條件相符，則命題為真. 如果不符合算律，也不符合上述條件

28、，可以用文氏圖表示集合，看看命題是否成立.如果成立，再給出證明. 試著舉出反例，證明命題為假.,62,解答,解 (1) AB = A B= B=是AB=A的充分條件，但不是必要條件. 當(dāng)B不空但是 與A不交時也有AB=A. (2) A(BC) = (AB)(AC) 這是DM律，命題為真. (3) AA = A 不符合算律，反例如下： A=1，AA=，但是A. (4)如果AB = B，則A = E命題不為真. AB=B的充分必要條 件是 BA，不是A=E. (5) A = xx，則 xA且x A命題為真，因?yàn)?x 既是 A 的元 素，也是 A 的子集,63,練習(xí)4,4證明 AB = AC AB = AC B = C,解題思路 分析命題：含有3個命題： AB = AC , AB = AC, B = C 證明要求 前提：命題和 結(jié)論：命題 證明方法： 恒等式代入 反證法 利用已知等式通過運(yùn)算得到新的等式,64,解答,方法一：恒等變形法 B = B(BA) （吸收律） = B(AB) （交換律） = B(AC) AB = AC = (BA)(BC)(分配律） = (AC