1、4.2圓錐曲線的共同特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解橢圓、雙曲線的第二定義.2.了解圓錐曲線的共同特征.3.會用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解決問題.知識點(diǎn)一橢圓的第二定義思考橢圓是如何定義的？(第一定義)梳理(1)定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到一條定直線l：x(ac0)的距離之比為常數(shù)_的點(diǎn)的軌跡為橢圓(點(diǎn)F不在直線l上)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).其中，定點(diǎn)F(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，定直線x為橢圓的_，常數(shù)就是橢圓的_.(2)兩點(diǎn)說明在上述定義中，只有當(dāng)0e1時(shí)才表示橢圓.焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對應(yīng)關(guān)系：對于橢圓1(ab0)，左焦點(diǎn)F1(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線為直線x，右焦點(diǎn)F2(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線為直線x；

2、對于橢圓1(ab0)，上焦點(diǎn)F2(0，c)對應(yīng)的準(zhǔn)線為直線y，下焦點(diǎn)F1(0，c)對應(yīng)的準(zhǔn)線為直線y.知識點(diǎn)二雙曲線的第二定義思考雙曲線的第一定義是什么？梳理(1)雙曲線的第二定義內(nèi)容平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到一條定直線l：x(ca0)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為雙曲線(點(diǎn)F不在直線l上)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0).其中，定點(diǎn)F(c,0)是右焦點(diǎn)，定直線l：x是右準(zhǔn)線，常數(shù)就是雙曲線的離心率e.(2)兩點(diǎn)說明在上述定義中，只有當(dāng)e1時(shí)才表示雙曲線.左焦點(diǎn)對應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對應(yīng)右準(zhǔn)線，對于雙曲線1(a0，b0)，對應(yīng)焦點(diǎn)F1(c,0)的準(zhǔn)線方程為x，對應(yīng)焦點(diǎn)F2(c,0)的準(zhǔn)線方

3、程為x.知識點(diǎn)三圓錐曲線的共同特征統(tǒng)一定義圓錐曲線上的點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比為定值e.當(dāng)0e1時(shí)，圓錐曲線是_；當(dāng)e1時(shí)，圓錐曲線是_；當(dāng)e1時(shí)，圓錐曲線是_.此即為圓錐曲線的統(tǒng)一定義.類型一由圓錐曲線的共同特征確定曲線的形狀及方程例1方程|xy2|表示的曲線是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.不能確定反思與感悟在圓錐曲線的共同特征中，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比是一常數(shù)，這本身就是一個(gè)幾何關(guān)系.由此求曲線方程時(shí)，直接進(jìn)行坐標(biāo)的代換即可求出曲線的方程.可以根據(jù)常數(shù)的大小(與1比較)來判斷所求軌跡是什么曲線.跟蹤訓(xùn)練1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(

4、2，0)與到定直線x6的距離之比為，求點(diǎn)M的軌跡方程.類型二依據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求其方程例2根據(jù)下列條件分別求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過點(diǎn)(1，)，且一條準(zhǔn)線為直線x5；(2)兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2.反思與感悟圓錐曲線的準(zhǔn)線方程是圓錐曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)，已知準(zhǔn)線方程可得a，c之間的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合其他已知條件可求出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線的漸近線方程為3x4y0，一條準(zhǔn)線的方程為5y30，求此雙曲線的方程.類型三橢圓、雙曲線的第二定義及應(yīng)用例3橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是()A

5、.(0， B.(0，C.1,1) D.，1)反思與感悟橢圓(雙曲線)上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)所連線段的長稱為焦半徑.(1)橢圓的焦半徑公式當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P(x0，y0)是橢圓上任一點(diǎn)，則|PF1|aex0，|PF2|aex0.推導(dǎo)如下：由統(tǒng)一定義，得e(d1為點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離)，則|PF1|ed1e(x0)aex0.同理，得|PF2|aex0.簡記為：左“”右“”.同理可知，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦半徑公式為|PF1|aey0，|PF2|aey0(F1為下焦點(diǎn)，F(xiàn)2為上焦點(diǎn)).綜上可知，過焦點(diǎn)的弦的弦長僅與焦點(diǎn)弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān).(2)雙曲線的焦半徑公

6、式對于雙曲線1(a0，b0)(F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn))：若點(diǎn)P(x1，y1)在左支上，則|PF1|aex1，|PF2|aex1；若點(diǎn)P(x1，y1)在右支上，則|PF1|aex1，|PF2|aex1.對于雙曲線1(a0，b0)(F1為下焦點(diǎn)，F(xiàn)2為上焦點(diǎn))：若點(diǎn)P(x1，y1)在下支上，則|PF1|aey1，|PF2|aey1；若點(diǎn)P(x1，y1)在上支上，則|PF1|aey1，|PF2|aey1.跟蹤訓(xùn)練3已知雙曲線x23y23上一點(diǎn)P到左，右焦點(diǎn)的距離之比為12，求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離.1.橢圓y21的準(zhǔn)線方程為()A.x B.xC.y D.y2.若雙曲線1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條

7、準(zhǔn)線的距離之比為32，則雙曲線的離心率是()A.3 B.5 C. D.3.如果雙曲線1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是_.4.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|_.5.已知橢圓1上一點(diǎn)P到直線x的距離等于10，求它到點(diǎn)(8,0)的距離.應(yīng)用橢圓和雙曲線的第二定義，解題時(shí)需要注意“到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e(0e1或e1)”，其中“定點(diǎn)”是指焦點(diǎn)，“定直線”是指相應(yīng)準(zhǔn)線.一定要注意“左焦點(diǎn)對應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對應(yīng)右準(zhǔn)線”.橢圓、雙曲線的定義從不同的角度反映了橢圓、雙曲線的特征，

8、解題時(shí)要靈活運(yùn)用.一般地，如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的第一定義，如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)與一定直線的距離問題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的第二定義.橢圓、雙曲線的第二定義揭示了橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到對應(yīng)準(zhǔn)線距離的關(guān)系，因此可以把橢圓、雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到其準(zhǔn)線的距離.提醒：完成作業(yè)第三章44.2答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距.梳理(1)右準(zhǔn)線離心率e知識點(diǎn)二思考我們把平面內(nèi)到兩定

9、點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線.定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距.雙曲線定義中的“常數(shù)”常用2a(a0)表示，焦距常用2c(c0)表示.知識點(diǎn)三橢圓拋物線雙曲線題型探究例1C跟蹤訓(xùn)練1解由題意得 ，整理，得1，即為點(diǎn)M的軌跡方程.例2解(1)因?yàn)闄E圓的一條準(zhǔn)線為直線x5，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).根據(jù)題意，得解得或故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)根據(jù)題意，得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.跟蹤訓(xùn)練2解由題意得雙曲線的準(zhǔn)線方程為y，漸近線方程為3x4y0.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.根據(jù)題意，得設(shè)a3k，b4k(k0)，則c5k，代入，得a，b.故所求雙曲線的方程為1.例3D跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，則解得設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則，d6，即點(diǎn)P到