1、*3.3 垂徑定理1理解垂徑定理和推論的內(nèi)容，并會(huì)證明，利用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題；(重點(diǎn))2利用垂徑定理及其推論解決實(shí)際問題(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖某公園中央地上有一些大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚20cm的磚塞在球的兩側(cè)(如圖所示)，他量了下兩磚之間的距離剛好是80cm，聰明的你能算出大石頭的半徑嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：垂徑定理【類型一】 利用垂徑定理求直徑或弦的長度 如圖所示，O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD6cm，則直徑AB的長是()A2cm B3cmC4cm D4cm解析：直徑ABDC，CD6，DP3.連接OD，P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，

2、則OD為2x，在RtDOP中，根據(jù)勾股定理列方程32x2(2x)2，解得x.OD2，AB4.故選D.方法總結(jié)：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問題變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題【類型二】 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的)，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是上一點(diǎn)，OCAB，垂足為D，AB300m，CD50m，則這段彎路的半徑是_m.解析：本題考查垂徑定理，OCAB，AB300m，AD150m.設(shè)半徑為R，根據(jù)勾股定理可列方程R2(R50)21502，解得R250.故答案為250.方法總結(jié)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

3、數(shù)學(xué)問題，再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題【類型三】 垂徑定理的綜合應(yīng)用 如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CFAD.(1)請(qǐng)證明：點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)；(2)若AB8，求CD的長解析：(1)要證明E是OB的中點(diǎn)，只要求證OEOBOC，即OCE30；(2)在直角OCE中，根據(jù)勾股定理可以解得CE的長，進(jìn)而求出CD的長(1)證明：連接AC，如圖，直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，ACAD.過圓心O的直線CFAD，AFDF，即CF是AD的垂直平分線，ACCD，ACADCD，即ACD是等邊三角形，F(xiàn)CD3

4、0.在RtCOE中，OEOC，OEOB，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；(2)解：在RtOCE中，AB8，OCOBAB4.又BEOE，OE2，CE2，CD2CE4.方法總結(jié)：解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第5題探究點(diǎn)二：垂徑定理的推論【類型一】 利用垂徑定理的推論求角的度數(shù) 如圖所示，O的弦AB、AC的夾角為50，M、N分別是、的中點(diǎn)，則MON的度數(shù)是()A100 B110C120 D130解析：已知M、N分別是、的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦”得OMAB、ONAC，所以AEOAFO90，而BAC50，由

5、四邊形內(nèi)角和定理得MON360AEOAFOBAC360909050130.故選D.變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】 利用垂徑定理的推論求邊的長度 如圖，點(diǎn)A、B是O上兩點(diǎn)，AB10cm，點(diǎn)P是O上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合)，連接AP、BP，過點(diǎn)O分別作OEAP于E，OFPB于F，求EF的長解析：運(yùn)用垂徑定理先證出EF是ABP的中位線，然后運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)把要求的EF與AB建立關(guān)系，從而解決問題解：在O中，OEAP，OFPB，AEPE，BFPF，EF是ABP的中位線，EFAB105(cm)方法總結(jié)：垂徑定理雖是圓的知識(shí)，但也不是孤立的，它常和三角形等知識(shí)綜合來解決問

6、題，我們一定要把知識(shí)融會(huì)貫通，在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題【類型三】 動(dòng)點(diǎn)問題 如圖，O的直徑為10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長度范圍解析：當(dāng)點(diǎn)P處于弦AB的端點(diǎn)時(shí)，OP最長，此時(shí)OP為半徑的長；當(dāng)OPAB時(shí)，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí)OP的長解：作直徑MN弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得ADDBAB4cm.又O的直徑為10cm，連接OA，OA5cm.在RtAOD中，由勾股定理，得OD3cm.垂線段最短，半徑最長，OP的長度范圍是3cmOP5cm.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確OP最長、最短時(shí)的情況，靈活利用垂徑定理求解容易出錯(cuò)的地方是不能確定最值時(shí)的情況三、板書設(shè)計(jì)垂徑定理1垂徑定理2垂徑定理的推論垂徑定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的定理，由于它涉及的條件結(jié)論比較多，學(xué)生容易搞混淆，本節(jié)課采取了講練結(jié)