1、1,第 8 章 組合變形及連接部分的計算,2,3,8-1 概 述,構件在荷載的作用下如發(fā)生兩種或兩種以上基本形式的變形，且?guī)追N變形所對應的應力（和變形）屬于同一數量級，則構件的變形稱為組合變形（combined deformation）。,. 組合變形,煙囪(圖a)有側向荷載（風荷，地震力）時發(fā)生彎壓組合變形。,4,齒輪傳動軸（圖b）發(fā)生彎曲與扭轉組合變形（兩個相互垂直平面內的彎曲加扭轉）。,吊車立柱（圖c）受偏心壓縮，發(fā)生彎壓組合變形。,5,兩個平面內的彎曲(圖d)由于計算構件橫截面上應力及橫截面位移時，需要把兩個平面彎曲的效應加以組合，故歸于組合變形。,6,對于組合變形下的構件，在線性彈性

2、范圍內且小變形的條件下，可應用疊加原理將各基本形式變形下的內力、應力或位移進行疊加。,在具體計算中，究竟先按內力疊加（按矢量法則疊加）再計算應力和位移，還是先計算各基本形式變形下的應力或位移然后疊加，須視情況而定。,7,.連接件的實用計算,螺栓連接中，螺栓主要受剪切及擠壓（局部壓縮）。,連接件（螺栓、鉚釘、鍵等）以及構件在與它們連接處實際變形情況復雜。,8,鍵連接中，鍵主要受剪切及擠壓。,9,工程計算中常按連接件和構件在連接處可能產生的破壞情況，作一些簡化的計算假設（例如認為螺栓和鉚釘的受剪面上切應力均勻分布）得出名義應力（nominal stress）,然后與根據在相同或類似變形情況下的破壞

3、試驗結果所確定的相應許用應力比較，從而進行強度計算。這就是所謂工程實用計算法（engineering method of practical analysis）。,10,具有雙對稱截面的梁，它在任何一個縱向對稱面內彎曲時均為平面彎曲。,8-2 雙對稱截面梁在兩個相互垂直平面內的彎曲,故具有雙對稱截面的梁在兩個縱向對稱面內同時承受橫向外力作用時，在線性彈性且小變形情況下，可以分別按平面彎曲計算每一彎曲情況下橫截面上的應力和位移，然后疊加。,11,圖示懸臂梁 x 截面上的彎矩和任意點C處的正應力為：,由于水平外力F1 由于豎直外力F2,彎曲正應力,彎 矩 My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (

4、x-a),12,這里彎矩的正負號系根據圖b所示，由右手螺旋法則按它們的矢量其指向是否與y軸和z軸的指向一致來確定的。在F1和F2共同作用下x 截面上C 點處的正應力為,13,利用上式固然可求算x 截面上任意點處的彎曲正應力，但對于圖中所示那類橫截面沒有外棱角的梁，由于My 單獨作用下最大正應力的作用點和Mz 單獨作用下最大正應力的作用點不相重合，所以還不好判定在My和Mz共同作用下最大正應力的作用點及其值。,14,注意到在F1 作用下x 截面繞中性軸y 轉動，在F2 作用下x 截面繞中性軸z 轉動,可見在F1和F2共同作用下，x 截面必定繞通過y 軸與z 軸交點的另一個軸轉動，這個軸就是梁在兩

5、個相互垂直平面內同時彎曲時的中性軸，其上坐標為y、z的任意點處彎曲正應力為零。,15,故有中性軸的方程：,中性軸與y軸的夾角q（圖a）為,其中j 角為合成彎矩 與y的夾角。,16,這就表明，只要 IyIz ，中性軸的方向就不與合成彎矩M的矢量重合，亦即合成彎矩M 所在的縱向面不與中性軸垂直，或者說，梁的彎曲方向不與合成彎矩M 所在的縱向面重合。正因為這樣，通常把這類彎曲稱為斜彎曲（oblique bending）。,17,確定中性軸的方向后，作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點（圖a中的點D1、D2）就是該截面上拉應力和壓應力為最大的點。從而可分別計算水平和豎直平面內彎曲

6、時這兩點的應力，然后疊加。,18,對于如圖b所示橫截面具有外棱角的梁，求任何橫截面上最大拉應力和最大壓應力時，可直接按兩個平面彎曲判定這些應力所在點的位置，而無需定出中性軸的方向角q。,工程計算中對于實體截面的梁在斜彎曲情況下，通常不考慮剪力引起的切應力。,19,對于圖示懸臂梁，試問：,4. 該梁自由端的撓度（大小和方向）如何計算？,2. 在固定端處梁的中性軸又大致在什么方向？,3. 在固定端和F2作用截面之間，梁的中性軸的方向是否隨橫截面位置變化？,1. 外力F2作用截面處梁的中性軸在什么方向？,思考:,20,圖a所示懸臂梁，由20a號工字鋼制成，梁上的均布荷載集度為q (N/m)，集中荷載

7、為 。試求梁的許用荷載集度q。已知：a =1 m; 20a號工字鋼：Wz=23710-6 m3，Wy=31.510-6 m3；鋼的許用彎曲正應力s =160 MPa。,例題 8-1,21,1. 將集中荷載F 沿梁橫截面的兩個對稱軸y、z分解為,例題 8-1,解:,22,2. 梁的計算簡圖如圖b所示，并分別作水平彎曲和豎直彎曲的彎矩My圖和Mz 圖（圖c ,d）。,例題 8-1,23,3. 分析梁的危險截面，并求smax A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,該截面上Mz雖不是最大，但因工字鋼WyWz ，故A截面是可能的危險截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：,故D

8、截面也是可能的危險面。為確定危險截面，需比較A截面和D 截面上的最大彎曲正應力。,例題 8-1,24,由于 ，可見A截面為危險截面。由圖e可見A截面上的外棱角D1和D2處分別為sc,max和st,max 。,例題 8-1,25,根據強度條件 ，有 （21.510-3)q 160106 Pa,4. 求許可荷載集度q。,于是 q=7.44103 N/m =7.44 kN/m,解得,例題 8-1,26,8-2+ 平面彎曲的條件,8-2中討論的是具有雙對稱截面的梁在兩個相互垂直的縱向對稱面內同時發(fā)生彎曲的情況，其實質就是兩個相互垂直的縱向面內平面彎曲的組合。,27,現在的問題是，如果梁的橫截面只有一個

9、對稱軸（圖a）而荷載作用在與對稱軸垂直的方向，或者橫截面根本就沒有對稱軸（圖b），那么還會發(fā)生平面彎曲嗎？荷載沿什么方向的形心軸時才會發(fā)生平面彎曲呢？這就要分析梁發(fā)生平面彎曲的條件。,28,橫截面如圖a所示無對稱軸的梁，如果橫截面繞形心軸z轉動發(fā)生平面彎曲，則根據平面假設，橫截面上的正應力在與z軸垂直的y軸方向按線性規(guī)律變化（圖b），即 ；,而這些正應力不應構成對y軸的力矩，故應有 ，亦即應有,29,由此可知，如果梁發(fā)生平面彎曲而z軸為中性軸，則必須滿足,反之如果荷載產生的彎矩作用在包含z軸的縱向面內，亦發(fā)生平面彎曲。,換句話說，如果梁上的荷載所產生的彎矩作用在包含滿足 的y軸的那個縱向面內，

10、則與之垂直的形心軸z就是中性軸，梁發(fā)生平面彎曲。,30,稱為橫截面對于一對相互垂直軸y、 z的慣性積 （product of inertia）,用Iyz表示。,而滿足Iyz=0 且通過橫截面形心的一對正交軸（y軸和z軸）稱為形心主慣性軸（principal centroidal axis of inertia）。,橫截面對于形心主慣性軸的慣性矩則稱為形心主慣性矩(principal centroidal moment of inertia)。,31,顯然當梁的橫截面具有一個對稱軸時，這個對稱軸和它垂直的形心軸都是形心主慣性軸，外力產生的彎矩作用在包含其中任何一根軸的縱向面內時梁都發(fā)生平面彎曲。

11、,下節(jié)講述對于沒有對稱軸的截面確定主慣性軸和主慣性矩的相關問題。,32,-4 慣性矩和慣性積的轉軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩,在下面的分析中為使結果具有普遍性，坐標軸的原點O并不要求必須是形心C。此外，坐標軸按所用教材的附錄I標為x軸和y軸。,33,I. 慣性矩和慣性積的轉軸公式,圖示任意形狀的截面，其面積A以及對于坐標軸x，y的慣性矩Ix、Iy和慣性積Ixy為已知，現在來求截面對于繞原點O旋轉a 角（以逆時針為正）后的坐標軸x1、y1的慣性矩 , 和慣性積 。,34,由圖可見，截面上任一微面積dA在x、y和x1 、y1兩個坐標系中坐標的關系為,于是有,35,式(a) 、(b) 、(c)就

12、是慣性矩和慣性積的轉軸公式。,利用三角函數,由上式得,(a),同理，根據,(c),36,1. 截面對于任何軸的慣性矩是否總是正值？截面對于相互垂直的一對軸的慣性積是否可能是負值？,思考:,2. 將慣性矩的轉軸公式(a)和(b)相加可得到什么結論？這又意味著什么？,試利用 從基本概念上論證 (2)中的問題。,37,II. 截面的主慣性軸和主慣性矩,有,截面對于通過任意點O的主慣性軸x0，y0的方向角a0，只需利用慣性積的轉軸公式令 便可導出。由,38,根據上式利用三角函數關系將cos2a0和sin2a0寫為,以此代入慣性矩的轉軸公式即得主慣性矩的計算公式：,39,(b),與7-2中關于平面應力狀

13、態(tài)下求a 斜截面上正應力和切應力的公式完全相似：,(7-1),(7-2),注意到慣性矩的轉軸公式(a)和慣性積的轉軸公式(b):,(a),40,而慣性矩轉軸公式(b)所示 的表達式實際上只需在 的表達式(a)中以(a +90)代替a 即得，這與求sa +90也完全相似。因此慣性矩和慣性積的轉軸公式也可用與應力圓類似的一個圓慣性圓來表達。上述計算主慣性軸方向角和主慣性矩值的公式也就可根據慣性圓上的幾何關系來記憶。,由慣性圓顯然可見，主慣性矩 和 就是截面對于通過同一點的所有軸的慣性矩中的極大值Imax和極小值Imin。,41,在確定截面的形心主慣性軸位置和計算形心主慣性矩時，須先確定截面的形心C

14、的位置，并取一對通過形心而相互垂直的軸xC , yC作為參考軸，計算出 、 、 ，然后求主慣性軸的方向角a0和主慣性矩 和 。,42,1. 試根據慣性積的轉軸公式判斷是否任何形心軸都是形心主慣性軸？,思考: 對于正方形截面:,2. 試根據慣性矩的轉軸公式判斷截面對于任何形心軸的慣性矩的值是否都是相等的？,43,對于由若干基本幾何圖形組成的截面(例如圖中所示者)，在求 、 和 時需要應用慣性矩和慣性積的平行移軸公式。前已在第四章中講述了慣性矩的平行移軸公式及其應用。下面講述慣性積的平行移軸公式。,44,III. 慣性積的平行移軸公式(參見教材附錄I-3 ),圖示任意形狀的截面對于坐標軸x、y的慣

15、性積Ixy可以由截面對分別平行于x,y軸的形心軸xC，yC的慣性積IxC yC，以及截面形心C在x,y坐標系中的坐標 求出如下：,45,這就是慣性積的平行移軸公式。 應該注意的是： (1) 公式中的 必須是截面對于一對形心軸的慣性積； (2) 公式中的a、b是指截面形心在平行移動后的坐標系x，y中的坐標，它是有正負的。,46,試確定圖示不等邊角形截面的形心主慣性軸的位置，并計算截面的形心主慣性矩。截面形心C的位置已示于圖中。,例題 I-7,47,矩形的形心在參考坐標系中的坐標為 a=15 mm, bI=20 mm 矩形的形心在參考坐標系中的坐標為 a =-25 mm, b=-35 mm,1.

16、取與截面周邊平行的形心軸xC、yC作為參考軸。將截面分為、兩個矩形(如圖所示)，其面積分別為 A=1 200 mm2, A=700 mm2,例題 I-7,解:,48,2. 利用平行移軸公式求截面的 、 和,例題 I-7,49,例題 I-7,50,由于通過矩形和各自形心而平行于xC ，yC的軸是它們各自的對稱軸，故上式在計算中每一矩形對于其一對相互垂直的形心軸的慣性積為零。,例題 I-7,51,3. 確定形心主軸位置,因為上式右端的分子和分母均為負號，所以2a0為第三象限角，即,形心主軸x0和y0的位置如圖b所示,例題 I-7,52,形心主軸x0和y0的位置如圖b所示,例題 I-7,53,4.

17、該截面的形心主慣性矩為,例題 I-7,54,8-3 拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形,. 橫向力與軸向力共同作用,圖a為由兩根槽鋼組成的桿件，受橫向力F和軸向力Ft作用時的計算簡圖，該桿件發(fā)生彎曲與拉伸的組合變形。,55,軸向拉力會因桿件有彎曲變形而產生附加彎矩，但它與橫向力產生的彎矩總是相反的，故在工程計算中對于彎一拉組合變形的構件可不計軸向拉力產生的彎矩而偏于安全地應用疊加原理來計算桿中的應力。,56,至于發(fā)生彎曲與壓縮組合變形的桿件，軸向壓力引起的附加彎矩與橫向力產生的彎矩為同向，故只有桿的彎曲剛度相當大（大剛度桿）且在線彈性范圍內工作時才可應用疊加原理。,57,圖a所示發(fā)生彎一拉組合變形的

18、桿件，跨中截面為危險截面，其上的內力為FN=Ft， 。該橫截面上與軸力FN對應的拉伸正應力st為均勻分布(圖b)， ，而與最大彎矩Mmax對應的彎曲正應力在上、下邊緣處(圖c)，其絕對值 。,58,在FN 和Mmax共同作用下，危險截面上正應力沿高度的變化隨sb和st的值的相對大小可能有圖d 、e 、f 三種情況。危險截面上的最大正應力是拉應力：,注意到危險截面最大拉應力作用點（危險點）處為單向應力狀態(tài)，故可把st,max直接與材料的許用正應力進行比較來建立強度條件。,59,圖a所示折桿ACB由兩根鋼管焊接而成，A和B處為鉸支座，C 處作用有集中荷載F=10 kN。試求折桿危險截面上的最大拉應

19、力和最大壓應力。已知鋼管的外直徑D =140 mm，壁厚d =10 mm。,例題 8-2,60,1. 約束力為FA=FB=5 kN。折桿的受力圖如圖b所示。,根據對稱性，只需分析折桿的一半，例如AC桿。將FA分解為沿AC 桿軸線和垂直于AC軸線方向上的兩個分力FAx和FAy 。,例題 8-2,解:,61,由圖a所示的幾何關系，可見sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC桿的長度為2m，m-m截面上的內力分別為,FN=-FAx=-3 kN,Mmax=FAy2m= 8 kNm,可見此桿產生彎、壓組合變形。,例題 8

20、-2,62,2. AC桿危險截面m-m上的最大拉應力st,max和最大壓應力sc,max分別發(fā)生在該截面的下邊緣f點處和上邊緣g點處(圖b)，其計算公式分別為,例題 8-2,63,3. 鋼管橫截面的幾何性質分別為,例題 8-2,64,4. 將FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得,例題 8-2,65,II.偏心拉伸(壓縮),偏心拉伸或偏心壓縮是指外力的作用線與直桿的軸線平行但不重合的情況。,圖a所示等直桿受偏心距為e 的偏心拉力F 作用，桿的橫截面的形心主慣性軸為y軸和z軸。,66,(1) 偏心拉(壓)桿橫截面上的內力和應力,將偏心拉力F向其作用截面的形心O1簡化為軸向拉力F和力偶矩Fe

21、，再將該力偶矩分解為對形心主慣性軸y和z的分量Mey和Mez(圖b及圖c)：,Mey=Fe sina =FzF , Mez=Fe cosa =FyF,67,由于Mey和Mez作用在包含形心主慣性軸的縱向面內，故引起的都是平面彎曲?？梢娖睦欤▔嚎s）實為軸向拉伸（壓縮）與平面彎曲的組合，且當桿的彎曲剛度相當大時可認為各橫截面上的內力相同。,68,圖c所示任意橫截面n-n上的內力為,FN=F，My=Mey=FzF，Mz=Mez=FyF,橫截面上任意點C ( y, z ) 處的正應力為,(b),69,在工程計算中，為了便于分析一些問題，常把慣性矩Iy和Iz寫作如下形式：,上列式中的iy和iz分別稱

22、為截面對于y軸和z軸的慣性半徑(radius of gyration)，其單位為m或mm；它們也是只與截面形狀和尺寸有關的幾何量截面的幾何性質。于是式(b)亦可寫作,(c),上式是一個平面方程，它表明偏心拉伸時桿的橫截面上的正應力按直線規(guī)律變化。,70,現在來確定橫截面繞著轉動的中性軸的位置。設中性軸上任意點的坐標為y0、z0，以此代入式(c)并令s =0可得中性軸的方程,(2) 偏心拉(壓)桿橫截面上中性軸的位置,可見，偏心拉伸時中性軸為一條不通過橫截面形心的直線（圖a）。,71,而中性軸在形心主慣性軸y、z上的截距（圖b）為,或,由此還可知，中性軸與偏心拉力作用點位于截面形心的相對兩側。,

23、72,中性軸與z軸的夾角b 的正切為,式中的角a 為偏心拉力作用點與截面形心的連線(亦即力偶矩Fe作用的縱向面）和y軸之間的夾角。,73,由此式可知：,1. 若偏心拉力作用在形心主慣性軸y上(即tana=0)或者作用在形心主慣性軸z上,則恒有tanb =tana ,即中性軸垂直于力偶矩Fe所在的縱向面；,2. 當偏心拉力不作用在任何一根形心主慣性軸而tana 0，tana 90時，只要橫截面的形心主慣性矩IzIy， 則中性軸就不與力偶矩Fe所在的縱向面垂直。,74,(3) 橫截面上危險點的位置,對于沒有外棱角的截面，為找出橫截面上危險點的位置，可在確定中性軸位置后作平行于中性軸的直線使與橫截面

24、周邊相切(圖b)，切點D1和D2分別就是最大拉應力和最大壓應力的作用點，根據它們的坐標即可確定最大拉應力和最大壓應力的值。,橫截面有外棱角的桿件受偏心拉伸時，危險點必定在橫截面的外棱角處。,(b),75,它們疊加后的應力則如圖d，圖中還示出了中性軸的位置。,例如，矩形截面桿受偏心拉力F作用時,其橫截面上分別對應于軸力F，彎矩My=FzF和Mz=FyF的正應力變化規(guī)律如圖a、b、c所示；,76,由此式還可以看出，如果偏心距e(亦即yF ，zF)較小，則橫截面上就可能不出現壓應力，亦即中性軸不與橫截面相交。,最大拉應力st,max和最大壓應力sc,max 作用在外棱角D1和D2處，其值為,77,試

25、求圖示桿件橫截面上的最大拉應力和最大壓應力。外力F與桿件的軸線平行。,(a),例題8-3,78,軸向外力F未通過橫截面形心，故桿件為偏心拉伸。,1. 確定橫截面形心的位置,橫截面的形心C必位于對稱軸z上，只需計算形心C距參考軸y1的距離z(圖a)。,例題8-3,(a),解:,79,形心主慣性矩Iy為,由于z軸為對稱軸，且y、z軸的交點過形心，故圖c中y軸和z軸的為形心主慣性軸。,2. 確定形心主慣性軸，并求形心主慣性矩,例題8-3,80,形心主慣性矩Iz為,例題8-3,81,3. 計算橫截面上的內力,FN=F，My=F2a， Mz=F2a,將F力向形心C簡化，可得桿的內力分別為,例題8-3,8

26、2,4. 確定最大拉應力和最大壓應力作用點位置并計 算應力值,由My和Mz產生的彎曲應力 及 沿z和y軸的分布規(guī)律如圖d所示。 為沿橫截面均勻分布的拉應力，所以st,max的作用點為D1點， sc,max的作用點為D2點。,例題8-3,83,例題8-3,84,III. 截面核心,土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現拉應力。這就要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的某個范圍內；這個范圍稱之為截面核心（core of section）。,要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現拉應力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與

27、周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時偏心壓力作用點的位置來確定的。,85,圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其形心主慣性軸。,為確定截面核心的邊界(圖中的封閉曲線1-2-3-4-5-1)，可作一系列與截面周邊相切和外接的直線把它們視為中性軸。,86,得出每一與圓邊相切或外接的直線（中性軸）所對應的偏心壓力作用點的位置，亦即截面核心邊界上相應點的坐標ryi，rzi,根據這些直線中每一直線在y軸和z 軸上的截距ayi和azi即可由前面已講過的中性軸在形心主慣性軸上截距的計算公式,87,連接這些點所得封閉曲線其包圍的范圍就是截面核心。應該注意的是，截面核心的每一邊界點與對應的截

28、面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對兩側。,88,(1) 圓截面的截面核心,圓截面對圓心（形心）O是極對稱的，因而其截面核心的邊界必然也是一個圓心為O的圓。作一條如圖所示與截面周邊相切的直線，它在形心主慣性軸y和z上的截距為,而對于圓截面有,從而,89,這就是截面核心邊界上點1的坐標。以O為圓心，以d /8為半徑所作的圓其包圍的范圍就是圓形截面的截面核心。,90,一個外直徑為D，內直徑為D/2的空心圓截面，試檢驗該截面的：,1. 對于形心主慣性軸的慣性半徑為 ,2. 該截面核心為半徑等于 的圓。,思考:,91,(2) 矩形截面的截面核心,圖中y軸和z軸為矩形截面的形心主慣

29、性軸。對于這兩根軸的慣性半徑iy和iz的平方為,作與周邊相切的直線、 、，將它們視為中性軸，根據它們在形心主慣性軸 y, z上的截距便可求得截面核心邊界上的相應點1、2、3、4。,92,現以計算與周邊上切線相應的核心邊界點1的坐標ry1、rz1例作具體計算：,截距,核心邊界點坐標,對應于周邊上其他三條切線的截面核心邊界點的坐標可類似地求得，并也已標注以圖中。,93,現在的問題是,確定截面核心邊界上的四個點1、2、3、4后，相鄰各點之間應如何連接。,實際上這就是說，當與截面相切的直線（中性軸）繞截面周邊上一點旋轉至下一條與周邊相切的直線時，偏心壓力的作用點按什么軌跡移動?，F以切線繞B點旋轉至切線

30、時的情況來說明。,94,前面已講過，桿件偏心受力時橫截面上中性軸的方程為,當中性軸繞一點B轉動時，位于中性軸上的B點的坐標yB、zB 不變，亦即上式中的y0、z0在此情況下為定值yB、zB，而偏心壓力的作用點yF、zF在移動，將上式改寫為,顯然，這是關于yF、zF的直線方程。,95,這表明，當截面周邊的切線（中性軸）繞周邊上的點轉動時，相應的偏心壓力的作用點亦即截面核心的邊界點沿直線移動。,于是在確定截面核心邊界上的點1、2、3、4后，順次以直線連接這些點所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。該菱形的對角線長度分別為h/3和b/3(如圖所示)。,96,試確定圖示T形截面的截面核心邊界。圖中y、z

31、軸為形心主軸。已知：截面積A=0.6 m2；慣性矩Iy=4810-3 m4, Iz=27.510-3 m4；慣性半徑的平方 ， 。,例題 8-4,97,因為當偏心壓力作用在截面核心的邊界上時，中性軸與截面周邊相切，亦即中性軸不能穿過截面。對于圖示T形截面，不能用與DE、EF、GH、HA邊相切的直線作為中性軸，因為它們穿過截面，所以DEFGHA部分只能用 作為中性軸。 確定截面核心邊界，是已知中性軸的位置，即已知截矩ay、az求與中性軸對應的偏心壓力的作用點坐標ry、rz，ry=-iz2/ay，rz=-iy2/az 。,例題 8-4,解:,98,1. 計算截面核心邊界各點的坐標,圖中的6條直線,

32、便是用以確定該T形截面核心邊界點1,2 ,6的中性軸；其中分別與周邊AB、BC、CD、FG相切，和分別為 根據它們各自在形心主慣性軸上的截距計算所對應的偏心壓力作用點的位置ry、rz列表如下：,例題 8-4,99,例題 8-4,100,中性軸繞一點旋轉時，相應的外力作用點的移動的軌跡為一直線的關系，將六個點的相鄰兩點用直線連接，即得截面核心的邊界。,2. 確定截面核心邊界,例題 8-4,101,8-4 扭轉和彎曲的組合變形,機械中的許多構件在工作時往往發(fā)生扭轉與彎曲的組合變形，而且它們多半是實心或空心圓截面桿，圖中所示傳動軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。

33、,102,本節(jié)講述圓截面桿發(fā)生扭彎組合變形時的強度計算。,圖a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其AB桿的受力圖如圖b所示。該桿為直徑為d 的圓截面桿。,103,圖c、d示出了AB桿的彎矩圖（M 圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭彎組合變形情況下不考慮剪力對強度的影響，故未示出剪力圖（FS圖）。 該AB桿的危險截面為固定端處的A截面。,104,危險截面上彎曲正應力在與中性軸C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉切應力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。,由此可知危險截面上的危險點為C1和C2。由于桿的材料是拉壓許用應力相等的塑性材料，C1和C2兩點的危險程度相同，故只需對其中的一個點作強度計算

34、即可。,105,圍繞點C1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應力如圖g所示，而,106,點C1處于平面應力狀態(tài)，其三個主應力為,按第三強度理論作強度計算，相當應力為,(a),按第四強度理論作強度計算，相當應力為,(b),強度條件為 或,107,究竟按哪個強度理論計算相當應力，在不同設計規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭彎變形的圓截面桿，其危險截面上危險點處：,為便于工程應用，將上式代入式(a)、(b)可得：,式中，M和T分別為危險截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的彎曲截面系數。,108,需要注意的是，以上所述對于傳動軸的強度計算是靜力強度計算，只能用于傳動軸的初步設計，此時s

35、的值取得也比較低。事實上，傳動軸由于轉動，危險截面任何一點處的彎曲正應力是隨軸的轉動交替變化的。這種應力稱為交變應力（alternating stress），工程設計中對于在交變應力下工作的構件另有計算準則。,109,圖a所示鋼制實心圓軸其上的兩個齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪C 的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點構成的圓）直徑dC=400 mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200 mm。已知許用應力 s =100 MPa。試按第四強度理論求軸的直徑。,例題 8-5,110,將作用在齒輪上的切向力向軸的形心簡化，傳動軸的受力圖如圖b所示，在水平荷載作用下，軸將在xy平面內彎曲，彎矩Mz圖如圖c所示；在豎

36、直荷載作用下，軸將在xz平面內彎曲，彎矩My圖如圖d所示；彎矩圖均畫在受拉側，不注明正負。在兩個力偶矩作用下，軸產生扭轉，扭矩T圖如圖e所示。,1. 軸的受力圖和內力圖,例題 8-5,解:,111,2. 確定危險截面及危險截面上的內力 由于圓截面的任何形心軸均為形心主慣性軸，且形心主慣性矩相同，故可將同一截面上的彎矩Mz和My按矢量相加，即,B截面上的總彎矩MB(圖g)為：,例題 8-5,112,并且由扭矩圖可見B截面上的扭矩與C截面上相同，TB-1000 Nm，于是判定橫截面B為危險截面。,C截面的總彎矩為,例題 8-5,113,根據MB和TB按第四強度理論建立的強度條件為,即,亦即,于是得

37、,3. 求軸的直徑,例題 8-5,114,8-5 連接件的實用計算法,圖a所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：,. 螺栓被剪斷(參見圖b和圖c)；,. 螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）(圖d)；,. 鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。,實用計算法中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。,115,(1) 剪切的實用計算,在實用計算中，認為連接件的剪切面（圖b、c）上各點處切應力相等，即剪切面上的名義切應力為,式中，FS為剪切面上的剪力， As為剪切面的面積。,其中的許用應力則是通過同一材料的試件在類似變形情況下的試驗（稱為直接試驗）測得的破壞剪力也

38、按名義切應力算得極限切應力除以安全因數確定。,強度條件,116,(2) 擠壓的實用計算,在實用計算中，連接件與被連接件之間的擠壓應力（bearing stress）是按某些假定進行計算的。,對于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個圓柱形面（圖b），擠壓面上擠壓應力沿半圓周的變化如圖c所示，而最大擠壓應力sbs的值大致等于把擠壓力Fbs除以實際擠壓面（接觸面）在直徑面上的投影。,117,故取名義擠壓應力為,式中，d 為擠壓面高度，d 為螺栓或鉚釘的直徑。,118,擠壓強度條件為,其中的許用擠壓應力sbs也是通過直接試驗，由擠壓破壞時的擠壓力按名義擠壓應力的公式算得的極限擠壓應力除以安全因數確定的。,

39、應該注意，擠壓應力是連接件與被連接件之間的相互作用，因而當兩者的材料不同時，應校核許用擠壓應力較低的連接件或被連接件。工程上為便于維修，常采用擠壓強度較低的材料制作連接件。,119,(3) 拉伸的實用計算,螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強度應以釘孔中心所在橫截面為依據；在實用計算中并且不考慮釘孔引起的應力集中。被連接件的拉伸強度條件為,式中：FN為檢驗強度的釘孔中心處橫截面上的軸力；A為同一橫截面的凈面積，圖示情況下A=(b d )d 。,120,當連接中有多個鉚釘或螺栓時，最大拉應力smax可能出現在軸力最大即FN= FN,max所在的橫截面上，也可能出現在凈面積最小的

40、橫截面上。,121,8-6 鉚釘和螺栓連接的計算,螺栓連接示例,122,鉚釘連接主要有三種方式：1.搭接（圖a），鉚釘受單剪；2.單蓋板對接（圖b），鉚釘受單剪；3.雙蓋板對接（圖c），鉚釘受雙剪。,123,實際工程結構的鉚釘連接都 用一組鉚釘來傳力，在此情況 下，由于鉚釘和被連接件的彈 性變形，所以鉚釘組中位于兩 端的鉚釘所傳遞的力要比中間的鉚釘所傳遞的力大。,但為了簡化計算，并考慮到鉚釘和被連接件都將發(fā)生塑性變形，在實用計算中如果作用于連接上的力其作用線通過鉚釘組中所有鉚釘橫截面的形心，而且各鉚釘的材料和直徑均相同，則認為每個鉚釘傳遞相等的力。,124,搭接和單蓋板對接的鉚釘連接中，鉚釘會

41、發(fā)生彎曲，被連接件會發(fā)生局部彎曲，在實用計算中對此不加考慮。,銷釘連接和螺栓連接的分析計算方法與鉚釘連接相同。至于在螺栓連接中使用高強度螺栓，將螺帽擰得很緊以利用螺栓的預緊力藉鋼板之間的摩擦力來傳遞連接所受外力，則不屬于這里討論的范圍。,125,. 作用于連接上的力其作用線通過鉚釘組形心,此情況下每一鉚釘所傳遞的力可認為相等，Fi= F / n。據此進行鉚釘剪切強度和擠壓強度的計算；對被連接件進行擠壓強度計算，并按危險截面進行拉伸強度計算。,126,某鋼桁架的一個節(jié)點如圖a所示。斜桿A由兩根63 mm6 mm的等邊角鋼組成，受軸向力F =140 kN作用。該斜桿用直徑為d =16 mm螺栓連接

42、在厚度為10 mm的結點板上，螺栓按單行排列。已知角鋼、結點板和螺栓材料均為Q235鋼，許用應力為s =170 MPa,t =130 MPa,sbs=300 MPa。試選擇所需的螺栓個數，并校核角鋼的拉伸強度。,例題 8-7,127,1. 按剪切強度條件選擇螺栓個數,由于此連接中各螺栓的材料和直徑相同，且斜桿上的軸向力其作用線通過該組螺栓的截面形心，故認為每個螺栓所受的力相等，設螺栓個數為n，則每個螺栓所受的力為F/n。,例題 8-7,解:,128,螺栓的剪切強度條件為,此連接中的螺栓受雙剪（圖b），每個剪切面上的剪力為,例題 8-7,129,2. 校核擠壓強度,由于結點板的厚度（10 mm）

43、小于兩根角鋼肢厚度之和（26 mm）,所以應校核螺栓與結點板之間的擠壓強度。每個螺栓所傳遞的力為 F/n ，亦即每個螺栓與結點板之間的擠壓壓力為,例題 8-7,130,而擠壓應力為,其值小于許用擠壓應力sbs =300 MPa，滿足擠壓強度條件。,例題 8-7,131,斜桿上三個螺栓按單行排列（圖b）。圖c示出了該斜桿（含兩角鋼）的受力圖和軸力FN圖。,3. 校核角鋼的拉伸強度,該斜桿在圖c中所示的m-m截面上軸力最大，而凈截面面積又最小，故為危險截面。,例題 8-7,132,該截面上：FN,max=F=140 kN,從而得危險截面上的拉伸應力：,其值小于許用拉應力s = 170 MPa，滿足

44、拉伸強度條件。,例題 8-7,133,在計算m-m截面上的拉應力時應用了軸向拉伸的正應力公式，實際上，由于角鋼上的螺栓孔，使橫截面發(fā)生應力集中現象。但考慮到桿的材料為Q235鋼，具有良好的塑性，當桿接近破壞時，危險截面m-m上各部分材料均將達到屈服，各點處的正應力趨于相等，故假設該截面上各點處的正應力相等是可以的。,例題 8-7,134,由兩根鋼軌鉚接成的組合梁，其連接情況如圖a，b 所示。在所研究的梁段內，剪力FS=50 kN為常值。試校核鉚釘的剪切強度。,已知：(a)每根鋼軌橫截面的幾何性質為: 面積 A18000 mm2，形心距軌底的高度c=80 mm，對于自身形心軸 z1的慣性矩Iz1

45、=1600104 mm4；(b)鉚釘的直徑d =20 mm，縱向間距s = 150 mm，許用切應力t = 95 MPa。不考慮上、下兩鋼軌間的摩擦。,例題 8-8,135,圖d示出了長度為鉚釘的縱向間距s的一段梁，其 上面鋼軌的兩側橫截面上的彎曲正應力和它們組成的合力FT和FT1 。,1. 鉚釘所受剪力的分析,例題 8-8,解:,136,這兩個合力之差 FT1- FT 就是兩個鉚釘所共同承受的剪力 ，它等于每個鉚釘承受的剪力 的兩倍， 。,例題 8-8,137,以A1表示一根鋼軌的橫截面面積。長度為斜的一段梁的左、右兩個橫截面上的彎矩分別為M和M+FSs則FT 和FT1的算式為,2. 計算鉚釘所受