1、五、線性多步法,第九章 微分方程初值問題的數(shù)值解法,1. 線性多步法的一般理論,線性多步法的基本思想: 如果充分利用前面多步的信息來預(yù)測 yn+k , 則可以期望獲得較高的精度.,記 y(xn)的近似值為 yn , xn = x0+ nh , 并記 fn = f (xn , yn ), 則 k 步線性多步法的一般形式為:,其中 均為常數(shù), 不全為零. 由于上式兩端可同乘一常數(shù), 故一般可設(shè) , 則上式可寫成:,或?qū)懗?注: k=1時(shí), 即為一種單步法. 如k=1, 0= -1, 0=1 ,1=0 就是Euler方法; k=1, 0= -1, 0= 1=1/2 就是梯形方法.,其中 任意給出,

2、s = 0,1,2,迭代到滿足給定的精度要求為止.,對于隱式情形的公式( ), 由于f (x , y)一般是非線性函數(shù), 很難求得 yn+k 的顯式表達(dá)式, 故常用迭代法求解:,可以證明, 當(dāng)f (x , y)關(guān)于 y 滿足Lipschitz條件(或 )時(shí),若 , 則為隱式方法; 若 , 則為顯式方法. 上式稱為k 步線性法.,只要 , 迭代關(guān)系式就是收斂的.,Def : 對于線性多步法,定義 xn+k 處的局部截?cái)嗾`差為:,或在 yn+j = y ( xn+j ) ( j = 0,1,2, k -1)的假定下, 定義 xn+k 處的局部截?cái)嗾`差為Rn+k = y ( xn+k ) - yn+

3、k .,Rn+k 按 h 展開的首項(xiàng)稱為主局部截?cái)嗾`差.,Def : 若 , 則稱線性多步法為 p 階方法.,若線性多步法為 p 階方法, 則,設(shè) yn+j = y ( xn+j ), j = 0,1,2, k -1, 則有,其中Cp+1稱為主局部截?cái)嗾`差系數(shù).,又,上兩式相減, 得:,由微分中值定理,即主局部截?cái)嗾`差為:,其中 介于 y ( xn+k )與 yn+k 之間, 因此,故在 y ( xn+j ) = yn+j ( j = 0,1,2, k -1) 假設(shè)下, 若 (顯式公式), 則:,若 (隱式公式), 且 , 即為 p 階方法, 則當(dāng) y(x)充分可微時(shí),即Rn+k 的首項(xiàng)與 y

4、 ( xn+k ) - yn+k 的首項(xiàng)相同, 因此兩種方法局部截?cái)嗾`差的定義是相同的.,2. 線性多步法的構(gòu)造,注2: 可以證明, 顯式線性多步法的整體截?cái)嗾`差比局部截?cái)嗾`差低一階., 基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法,注1: Euler方法的主局部截?cái)嗾`差為: 梯形法的主局部截?cái)嗾`差為:,將 兩端從 yn -j 到 yn+k 積分, 得:,構(gòu)造 p 次Lagrange插值多項(xiàng)式:,其中,對 f ( t , y (t ), 取等距節(jié)點(diǎn) , 對應(yīng)的函數(shù)值為,代入 式有,用 yn - i 代替 y( xn -i ), fn-i 表示 f ( xn-i , yn-i ), 則得線性多步法顯式公式:,所以,若

5、令 t = xn + s h , 則,(1) 取 k=1, j=0可得Adams顯式公式:,對k , j 和 p 選擇不同的值, 則可得到不同類型的具體公式.,其中,其中,再用n+1代替 n , 得到:,最常用的是 p=3 的情形:,(2) 取 k=0, j=1可得Adams 隱式公式:,最常用的也是 p=3 的情形:,(3) 取 k=1, j=1可得Nystrm 顯式公式:,于是線性多步法,(4) 取 k=0, j=2可得Milne 隱式公式(用n+1代替n ):,由于,的局部截?cái)嗾`差為:,對于Adams顯式與隱式公式, 由于 在0,1( j=0, k=1, 顯式公式) 上恒為正; 在0,1

6、( j = 0, k =1, 隱式公式) 上恒為負(fù). 由微分中值定理可得:,當(dāng)p=3時(shí),其中 為某中間點(diǎn), E表示Explicit, I表示Implicit .,由此可知, 在 f (x , y(x)具有p+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件下, p+1階Adams顯式方法和隱式方法的局部截?cái)嗾`差與 同階, 即它們都是p+1階方法. 特別地, 當(dāng)p=3時(shí), 它們都是4階方法.,上式右邊近似認(rèn)為,Taylor展開法更具一般性, 下面構(gòu)造4步方法, 即k=4 . 用Taylor展開法構(gòu)造下述公式, 使其為4階方法, 并求其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)., 基于Taylor展開的構(gòu)造方法,將函數(shù) 及 在點(diǎn) xn 處按 h的

7、冪展開, 則得:,(1),比較 (1), (2) 兩式中h 的同次冪, 可得:,另一方面, 有,(2),如果要求前6個(gè)方程成立, 得到的公式的局部截?cái)嗾`差為O( h6 ). 也可要求前面的幾個(gè)方程成立.,(1) Simpson公式:,要求前4個(gè)方程成立, 令 可得:,公式為:,即:,此時(shí), 第五個(gè)方程恰好也成立. (2) - (1) 得:,得隱式的Adams公式:,(2) 隱式的Adams公式:,要求前5個(gè)方程成立, 令 , 可得:,將 (2) - (1) 得:,(3) 顯式的Adams公式:,要求前5個(gè)方程成立, 令 , 可得:,得顯式的Adams公式:,將 (2) - (1) 得:,(4)

8、 Milne 方法(四步四階):,要求前4個(gè)方程成立, 令 , 可得:,此時(shí), 第五個(gè)方程恰好成立.,得Milne 公式:,將 (2) - (1) 得:,(5) Hamming方法:,要求前5個(gè)方程成立, 令 , 可得:,即:,得Hamming 公式:,將 (2) - (1) 得:,Remark 1: 用Taylor展開法比用數(shù)值積分法推導(dǎo)線性多步法更加靈活, 推導(dǎo)出的方法也比積分法更多. 用數(shù)值積分法可以得到的方法, 用Taylor展開方法都可以得到; 但用Taylor展開法得到的方法, 數(shù)值積分法卻不一定能夠得到.,例: 求微分方程初值問題,在0,1上的解, 取步長 h = 0.1 .,Remark 2: 應(yīng)用線性多步法求解初值問題時(shí), 開始幾點(diǎn)處的函數(shù)值要用別的方法先計(jì)算出來. 一般選用與多步法同階或更高階的單步法. 如Runge-Kutta方法、Taylor展開方法等.,Remark 3: 對線性隱式多步法, 除開始幾點(diǎn)處的函數(shù)值需要單獨(dú)計(jì)算外,