1、八面體與剪應力,n=le1+ me2+ ne3= (e1+ e2+ e3)， lmn,該斜截面上的正應力是 n = T( n)n=l21+ m22 + n23 應力矢量的模為 = (l1)2+( m2)2+( n3)2 = (l1)2+( m2)2+( n3)2(l21+ m22 + n23)2 經(jīng)整理得 l2m2(12)2+ m2n2 (23)2 + n2l2(31)2,8= (1+2+3),等效應力 若將x，y，z軸取為主軸，則J2可由主應力表示為 J2= (12)2+(23)2+(31)2 簡單拉伸時，應力狀態(tài)為1=，2=3=0，因此得,等效應變，類似于等效應力，它被定義為 式中1、2、

2、3是主應變 單軸拉伸時，若假定材料是體積不可壓縮的，即體積應變?yōu)榱悖?則應變狀態(tài)為1 = ，2 = 3 = /2，得：,對于簡單應力狀態(tài)，我們可以根據(jù)實驗很容易確定其屈服條件。 （1）單軸拉伸 = s （2）純剪 = s,對于復雜應力加載，在應力空間中，屈服條件的數(shù)學表達式可概括為： f (ij) = 0,屈 服 條 件,屈服條件的一般形式 f (1、2、3、1、2、3) = 0,兩個簡化假定： （1）材料初始是各向同性的。與1、2、3無關， f (1，2，3)=0 f (I1，I2，I3)=0 （2）靜水壓力不影響塑性狀態(tài)， f(J2，J3)=0 式中J2，J3是偏應力張量s的不變量。,建立

3、由1、2、3為坐標軸的直角坐標系，稱之為主應力空間,主應力空間中任意一點P（1、2、3）代表物體內(nèi)一點的應力狀態(tài),屈服面f (1，2，3)=0代表主應力空間中的一個曲面,當P點位于屈服面f (1，2，3)=0上，表示應力狀態(tài)滿足屈服條件。 當P點在屈服面內(nèi)部，即f (1，2，3)0，表示處在彈性狀態(tài)。,主應力空間,p,平面,過原點O以 為法線的平面，稱為平面,與各坐標軸夾相同角度, 平 面,S,在平面上的一點Q，其應力為 1，2，3 1230 說明平面上矢量所代表的應力狀態(tài)只有偏量部分,在ON上的一點S，其應力為 1，2，3 1=2=30 代表靜水壓力,= 1e1+ 2e2+ 3e3 = (s

4、1+0)e1+ (s2+0)e2+(s3+ 0)e3 = (s1e1+ s2e2+ s3e3)+ (0e1+ 0e2+ 0e3) =,在應力空間中任意一點P，其應力為 1，2，3,對于同一點， 平面的平面坐標與主應力空間的空間坐標相互轉(zhuǎn)換關系,一個應力狀態(tài)是否會進入屈服只取決于它平面上的投影,將e1、e2、e3，投影在平面上，得 ，相互間的夾角為,矢量s1e1+ s2e2+ s3e3，該矢量在平面上的投影為 s1cos,+s2cos,+s3cos,與x軸的夾角分別為300和300，而 與y軸重合,x= (s1 s3) = ( 1 3) y= (2s2 s1s3) = ( 22 13),與e1軸

5、的夾角,在簡單應力狀態(tài)下，的值分別為： （1）單軸拉伸 = 1： （2）純剪 = 0； （3）單軸壓縮 = 1。 若規(guī)定123，則 11 300300,極坐標,偏應力由平面坐標表示,屈服面的一般形狀,是垂直于平面的柱面,s,2,p,s,1,s,3,屈服面在平面上的投影在每300分割段中都具有相似形。,(1) 關于 對稱。,（s1，s2，s3）,（s1，s3，s2）,（s1，s2，s3）和（s1，s3，s2）兩種應力狀態(tài)在平面上關于 對稱,(2) 關于 的垂直線對稱。,Tresca 屈服條件,Tresca認為當最大剪應力達到某個極限值時材料將進入屈服,f (ij) =,x= (s1 s3) =

6、(1 3) = k1,12 = 2k1 13 = 2k1 23 = 2k1,若1、2、3不規(guī)定大小順序，則屈服條件是,在平面上是直線,材料常數(shù)k1值可由簡單實驗確定,（1）單軸拉伸：屈服時1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 k1= s/2,（2）簡單剪切：屈服時 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服條件 k1= s,s=2s,Mises屈服條件,Mises在1913年提出了屈服條件：當偏應力的第二不變量達到某個極限時,f (ij) =,r= k2 =const，,Mises屈服條件在平面上是一個圓，在應力空間是一圓柱體，,sijeij= sijsij= J2,J2與彈性狀態(tài)的形狀改

7、變能成正比,J2 的物理意義,J2也與材料八面體上的剪應力成比例,材料常數(shù)k2由簡單實驗確定 （1）單軸拉伸：屈服時 1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 （2）剪切：屈服時 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服條件 J2= =k2 k2 = s。 因此，如果材料服從Mises屈服條件，則 s= s,兩種屈服條件比較,如假定單軸拉伸時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓； 如假定簡單剪切時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形外切于Mises圓,例： 一薄壁圓管，平均半徑為R，壁厚為t，受內(nèi)壓p作用，討論下列三種情況： （1） 管的兩端是自由的； （2） 管的兩端是封閉的

8、； 分別使用Mises和Tresca屈服條件，討論p多大時管子開始屈服（規(guī)定純剪時兩種屈服條件重合）,解： 將Mises和Tresca中的材料常數(shù)k1和k2都使用純剪時的屈服極限表示， 并使得兩種屈服條件重合，則有 Mises屈服條件: J2 = s2 Tresca屈服條件: 13=2s,（1） 管的兩端是自由的； 應力狀態(tài)為，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t 對于Mises屈服條件: p = 3st/R 對于Tresca屈服條件: 13 =k1=2s p = 2

9、st/R,2,2,2,= s2,=,k,J,（2）管段的兩端是封閉的； 應力狀態(tài)為，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t 對于Mises屈服條件： p = 2st/R 對于Tresca屈服條件： p = 2st/R,例 一種材料在二維主應力空間中進行試驗，所得屈服時的應力狀態(tài)為(1，2)=(3t，t)，假定此材料為各向同性，與靜水壓力無關且拉壓屈服應力相等。 （1）由上述條件推斷在12空間中的各屈服點應力。 （2）證明Mises屈服條件在12空間中的曲線通過（a）中所有點。,解：由于

10、靜水壓力無關的條件得出屈服在以下各點會發(fā)生： (1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t) (1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t),再由于各向同性的條件，很容易看出11空間中的以下五個應力點也是屈服點 A2： (1，2，3) = (t，3t，0) B1： (1，2，3) = (3t，2t，0) B2： (1，2，3) = (2t，3t，0) C1： (1，2，3) = (2t，t，0) C2： (1，2，3) = (t，2t，0),還有，由于拉壓屈服應力相等，因而可得到12空間中的另外六個應力屈服點 A3：(1，2，3)

11、 = (3t，t，0) A4：(1，2，3) = (t，3t，0) B3：(1，2，3) = (3t，2t，0) B4：(1，2，3) = (2t，3t，0) C3：(1，2，3) = (2t，t，0) C4：(1，2，3) = (t，2t，0) 因此，根據(jù)這些點的數(shù)據(jù)，可以作出在12空間中的屈服面。容易證明Mises屈服條件 通過以上所有屈服點。,Lode實驗 1926年，Lode進行了薄壁圓筒受拉力T和內(nèi)水壓p共同作用的實驗。取圓筒的平均半徑為R，厚度為t，,任一點的應力狀態(tài)是,= z = r=0,Lode參數(shù)為,改變T與p的比值關系，可以得到不同的。例如 當T=0，= 1；T=R2p，=0；T=2R2p，=1。 當