1、Chap 3幾何建模技術(shù)，幾何建模技術(shù)是研究計(jì)算機(jī)如何表示對(duì)象模型的形狀的技術(shù)。幾何建模技術(shù)具有描述主體的3d模型線框模型曲面模型實(shí)體模型。1 .線框模型(wire frame model):電腦圖形和CAD/CAM領(lǐng)域中用于表示對(duì)象的第一個(gè)模型，電腦繪圖是這些模型的重要應(yīng)用程序。線框模型用頂點(diǎn)和邊來(lái)表示對(duì)象。由于沒(méi)有面的信息，所以無(wú)法表示曲面上有曲面的對(duì)象。由于無(wú)法明確定義給定點(diǎn)和對(duì)象之間的關(guān)系(點(diǎn)在對(duì)象內(nèi)部、外部、曲面上)，因此線框模型無(wú)法處理許多重要問(wèn)題，例如剖切、移除、著色顏色映射生成、數(shù)控加工等。復(fù)蓋范圍受到很大限制。2 .曲面模型：基于線框模型添加有關(guān)對(duì)象面的信息，使用面集合表示對(duì)

2、象，以及使用環(huán)定義面的邊界。曲面模型可擴(kuò)展線框模型的應(yīng)用范圍，以滿足面相交、線側(cè)移除、著色顏色映射、數(shù)控加工等需求。在牙齒模型中，沒(méi)有明確的定義：物體存在于表面的哪一側(cè)，不能計(jì)算和分析物體的整體特性(如物體的表面積、體積、重心等)。此外，不能對(duì)牙齒物體整體上與其他物體相關(guān)的特性(如是否相交等)進(jìn)行調(diào)查。3 .實(shí)體模型是最高級(jí)的模型，可以完整地表示對(duì)象的所有形狀信息?？梢源_定點(diǎn)是位于對(duì)象外部、內(nèi)部還是曲面上，而不存在任何歧義。這種模型可以進(jìn)一步滿足物性計(jì)算、有限元分析等應(yīng)用要求。3.1參數(shù)曲線和曲面、3.1曲線曲面表示曲線和曲面的方式分為參數(shù)表示和非參數(shù)表示，非參數(shù)表示分為顯式表示和隱式表示。(

3、1)非參數(shù)表示法(a)顯示y=f(x)，x值對(duì)應(yīng)y值的缺點(diǎn)：不能表示閉合曲線或多值曲線。例如，不能顯式表示圓或橢圓。(b)寫(xiě)隱式表示平面曲線表達(dá)式：以f(x，y)=0的形式給定的x不能精確給定正確的y?？梢员硎鹃]合曲線和多值曲線。優(yōu)點(diǎn)：很容易判斷函數(shù)f(x，Y)是否大于、小于或等于0。也就是說(shuō)，很容易判斷點(diǎn)和曲線的相對(duì)位置關(guān)系。(畫(huà)圓和畫(huà)直線的時(shí)候都是這樣。)非參數(shù)化表示曲線的問(wèn)題。1.傾斜為無(wú)窮大(與x軸垂直的直線)無(wú)法表示。2.與坐標(biāo)軸有關(guān)。3.非平面曲線，對(duì)于曲面，很難用非參數(shù)函數(shù)表示，(2)參數(shù)化表示：由曲線、曲面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)和參數(shù)的函數(shù)表示。假定參數(shù)顯示為t，則二維平面曲線上的所有

4、點(diǎn)p可以表示為p (t)=x (t)，y (t)?？臻g曲線上的所有三維點(diǎn)p都是p (t)=x (t)、y (t)、z(t)；最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線是直線段。例如，端點(diǎn)為P1，P2的直線段參數(shù)方程式可以表示為P(t)=P1 (P2-P1)t t0，1。超出點(diǎn)P1 (2，3)、p2 (6，8)的參數(shù)方程式為P(t)=P1 (P2-P1)t=2，3 4，5t t0，1。圓廣泛用于電腦圖形，第一象限內(nèi)單位圓弧的非參數(shù)顯式表示法(r=1):參數(shù)格式，參數(shù)表示法的優(yōu)越性：1?？梢詽M足幾何不變性的要求。2.控制曲線、曲面外觀的自由度更大。明確顯示2D三維曲線時(shí)，控制曲線造型的系數(shù)只有四個(gè)。通過(guò)參數(shù)表達(dá)創(chuàng)建(具有可

5、用于控制牙齒曲線形狀的8茄子系數(shù)):(3)通過(guò)非參數(shù)表達(dá)式表示的曲線，要轉(zhuǎn)換曲面，必須對(duì)曲線和曲面上的每個(gè)類型值點(diǎn)執(zhí)行幾何轉(zhuǎn)換。用參數(shù)表示的曲線、曲面可直接對(duì)其參數(shù)方程執(zhí)行幾何轉(zhuǎn)換。(4)使用切向量而不是斜率。也就是說(shuō)，如果斜率無(wú)限，則很容易處理。(5)在參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)相關(guān)變量完全分離，變量的數(shù)量不受限制，用戶可以將低維空間中的曲線和曲面延伸到高維空間。(6)規(guī)格化參數(shù)變量t0，1使相應(yīng)的幾何組件成為有限的，無(wú)需使用其他參數(shù)定義邊界。(7)可以通過(guò)矢量和矩陣輕松表示幾何分量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。3.1.2曲線的基本概念參數(shù)表示的三維曲線是一組邊界點(diǎn)，可以作為具有以下格式參數(shù)的連續(xù)單值

6、的數(shù)學(xué)函數(shù)寫(xiě)入：x=x (t)，y=y (t)，z也就是說(shuō)，有單位向量。引入?yún)?shù)T后，設(shè)置為：3.與法向矢量平行的法向矢量在該點(diǎn)處稱為曲線的主法向矢量N矢量積。垂直于t和N的第三個(gè)單位矢量。平行于向量B的法線向量稱為曲線的副法線向量。表示參數(shù)曲線的切向量。4.曲率和撓曲稱為曲率，幾何意義是曲線的單位切線與弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)曲率k的倒數(shù)稱為曲率半徑。撓曲的絕對(duì)值等于弧長(zhǎng)相對(duì)于次要法線方向(或相鄰平面)的旋轉(zhuǎn)。3.1.3插值、擬合、平滑1。插值、擬合、給定對(duì)齊數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi集近似、i=0、1、n、通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)建曲線順序、這些數(shù)據(jù)點(diǎn)插值、構(gòu)建的曲線稱為插值曲線1。給定函數(shù)f(x)近似替換兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2

7、的值中的一個(gè)線性函數(shù)y=(x)=ax b，f(x)，其中y=(x)稱為f(x)，其中線性函數(shù)的系數(shù)a，b由條件x1和x2的值確定。2 .拋物線插值拋物線插值也稱為二次插值。必須通過(guò)將徐璐其他三點(diǎn)x1、x2和x3已知的函數(shù)值設(shè)定為y1、y2和y3來(lái)配置函數(shù)。(x)=ax2 bx c，(x)節(jié)點(diǎn)xi(i=1，2，3)，擬合：從某種意義上說(shuō)，構(gòu)造最接近給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(不一定通過(guò))。擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)稱為擬合曲線，構(gòu)造的曲線稱為擬合曲線。在電腦圖形中，插值和擬合都可以看作近似。這里，近似是使用性質(zhì)好的函數(shù)近似表示性質(zhì)不好的函數(shù)。在電腦圖形中，近似繼承了牙齒方面的含義，因此插值和擬合都可以視為近似。2 .

8、光滑的通俗意義是曲線的拐點(diǎn)太多，渡邊杏，曲線一轉(zhuǎn)彎就看不慣了。對(duì)于平面曲線，相對(duì)平滑的條件是存在a .二次幾何連續(xù)性(G2)牙齒。b .沒(méi)有不必要的拐點(diǎn)和奇點(diǎn)。c .曲率變化較小。3.1.4參數(shù)化三點(diǎn)P0、P1和P2配置參數(shù)表示的插值多項(xiàng)式可以無(wú)數(shù)次，因?yàn)橄鄳?yīng)的參數(shù)T在0，1間隔內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)。也就是說(shuō)，P0、P1和P2可以徐璐對(duì)應(yīng)于其他參數(shù)值。例如，這些參數(shù)中的每個(gè)值都稱為節(jié)點(diǎn)(knot)。參數(shù)化：對(duì)于插值曲線，類型點(diǎn)P0，P1，Pn與其參數(shù)字段t0，tn中的節(jié)點(diǎn)之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于由對(duì)齊值點(diǎn)集確定的參數(shù)分割，稱為牙齒值點(diǎn)集的參數(shù)化。參數(shù)化方法：統(tǒng)一參數(shù)化方法、累積弦長(zhǎng)參數(shù)化方法、向心參數(shù)化方

9、法、修正弦長(zhǎng)參數(shù)化方法、3.1.5參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何格式1。代數(shù)形式三次曲線的代數(shù)形式，方程中12個(gè)代數(shù)系數(shù)唯一確定一個(gè)參數(shù)曲線的位置和形狀。向量表達(dá)式為：其中a3，a2，a1，a0是代數(shù)系數(shù)向量，P(t)是三次參數(shù)曲線上任意點(diǎn)的位置向量，2 .幾何格式對(duì)三次參數(shù)曲線使用端點(diǎn)位矢量P(0)、P(1)。(2)，(2)將樣式輸入到(1)樣式中，并將其清理為p(t)=(2 T3-3 T2 1)P0(-2 T3 T2)P1(T3-2 T2 t)P0調(diào)和函數(shù)()一個(gè)是函數(shù)的可微性。也就是說(shuō)，組合參數(shù)曲線在接合中稱為N階連續(xù)導(dǎo)引向量，即N階連續(xù)，即Cn或N階參數(shù)連續(xù)性。另一種稱為幾何連續(xù)性。組合曲線滿足

10、連接中與Cn不同的一組約束。這稱為N階幾何連續(xù)性，簡(jiǎn)稱為Gn C連續(xù)性和G連續(xù)關(guān)系。C連續(xù)比G連續(xù)強(qiáng)，因此C連續(xù)通常包含G連續(xù)。必須是C1連續(xù)，G1連續(xù)。但是，有沒(méi)有C1連續(xù)、G1連續(xù)性的特殊情況。相反范例：上述方程式表示直線，但不是C1連續(xù)。用參數(shù)連續(xù)描述平滑度不合適。因此，引入了新的連續(xù)性測(cè)量，即幾何連續(xù)。如果連接必須連續(xù)或連續(xù)，即兩條曲線在連接處連續(xù)。在連接中必須達(dá)到連續(xù)的情況下，即兩條曲線在連接中滿足連續(xù)條件。當(dāng)，連續(xù)成為連續(xù)。在接合中需要達(dá)到連續(xù)的情況下，這意味著兩條曲線結(jié)合起來(lái)滿足連續(xù)的條件，并且具有共同的曲率向量。也就是說(shuō)，我們已經(jīng)連續(xù)保證，連續(xù)保證，連續(xù)保證，連續(xù)保證，但反之亦

11、然。也就是說(shuō)，連續(xù)的條件比連續(xù)的條件更苛刻。(大衛(wèi)亞設(shè)，Northern Exposure(美國(guó)電視電視劇)。3.1.7參數(shù)表面的基本概念在汽車、飛機(jī)、船舶等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)和放樣工作中的應(yīng)用非常廣泛，牙齒部門(mén)對(duì)表面的研究非常重視。電腦圖形中常用的曲面表示是參數(shù)化表示，通常將矩形字段用作曲面的參數(shù)字段。從某種意義上說(shuō)，曲面的表達(dá)可以看作是曲線表達(dá)的延伸和延伸。范例：平面曲線：空間曲線：x(t)，y(t)，x(t)，y(t)，z (t)，p (u，v)=，曲面曲面上一點(diǎn)的切向矢量(切向矢量):3。曲面上一點(diǎn)的法向矢量(法向矢量)，4。角點(diǎn)：使用曲面的參數(shù)方程式P(u，v)取代參數(shù)u，v=0或1，以

12、取得曲面。曲面的四個(gè)邊界P(u，0)、P(u，1)、P(0，v)、P(1，v)，3 . 2 . 1 bezier曲線的定義和特性給定n 1點(diǎn)的位置矢量Pi(i=0，1，2，n)的bezier曲線由參數(shù)表達(dá)式表示。其中Pi構(gòu)成bezier曲線的特征多邊形，bi=1，Betnstein基本函數(shù)的特性(1)正(2)端點(diǎn)特性，(3)權(quán)重可通過(guò)二項(xiàng)式定理得出。(4)對(duì)稱是因?yàn)椋?5)重復(fù)性。也就是說(shuō)，高一次的Bernstein基本函數(shù)可以由兩個(gè)低Bernstein調(diào)和函數(shù)的線性組合組成。因?yàn)椋?6)導(dǎo)數(shù)(7)最大值。達(dá)到最大值。(8)升序公式，(9)積分，bezier曲線是參數(shù)化多項(xiàng)式曲線，由控制多邊形

13、折線的一組頂點(diǎn)唯一定義。控制多邊形折線形成控制多邊形?？刂贫噙呅蔚拿總€(gè)頂點(diǎn)中只有第一個(gè)和最后一個(gè)頂點(diǎn)位于曲線上，其馀頂點(diǎn)用于定義曲線的倒數(shù)、階數(shù)和圖形。曲線的形狀傾向于控制多邊形的形狀，因此更改多邊形的頂點(diǎn)將更改曲線的形狀。bezier曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是多項(xiàng)式混合函數(shù)，可以在第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)之間插值。bezier曲線是階數(shù)小于1的多項(xiàng)式，等于曹征頂點(diǎn)數(shù)。一階bezier曲線(n=1，具有兩個(gè)控制點(diǎn))二階bezier曲線(n=2，具有三個(gè)控制點(diǎn))三階bezier曲線(n=3，具有四個(gè)控制點(diǎn))、二階bezier曲線n=；如果T=1，則P(1)=Pn。因此，bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與特征多

14、邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合。(2)因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，主導(dǎo)數(shù)為P(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=n(Pn-Pn-1)，(3實(shí)際上，R階導(dǎo)向量與(r 1)個(gè)相鄰點(diǎn)相關(guān)，與更遠(yuǎn)的點(diǎn)無(wú)關(guān)。將曲率公式指定為，和，后，bezier曲線端點(diǎn)處的曲率可以分別使用，d.)k階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的差，這表示N階bezier曲線的K階導(dǎo)數(shù)。其中，高階前進(jìn)差分矢量由低階前進(jìn)差分矢量反復(fù)定義。范例：(4)鏡射。bezier曲線是對(duì)稱的。也就是說(shuō)，如果保持控制多邊形頂點(diǎn)的位置不變，反轉(zhuǎn)順序，將下標(biāo)為K的控制點(diǎn)Pk更改為下標(biāo)為n-k的控制點(diǎn)Pn-k，則曲線保持不變，只是相反的方向。由控制頂點(diǎn)組成的新bezier曲線與原始bezier曲線具有相同的形狀，并且移動(dòng)方向相反。因?yàn)椋貉例X屬性描述了bezier曲線位于起點(diǎn)的幾何屬性，終點(diǎn)也具有相同的屬性。(5)由于凸形輪廓性，牙齒結(jié)果是T在0，1部分發(fā)生變化時(shí)T值的P(t)是特征多邊形中每個(gè)頂點(diǎn)的權(quán)重總和，權(quán)重因子為：在幾何體中，這意味著bezier曲線P(t)是中每個(gè)點(diǎn)的控制點(diǎn)Pi的凸面線性組合。也就是說(shuō)，曲線落在由Pi組成的凸面包中，如圖3.1.9所示。凸形輪廓通過(guò)包含所有頂點(diǎn)的最小凸多邊形bezier曲線的凸性，使曲線