1、第5課時(shí)空間中的垂直關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1直線與平面垂直 (1)定義：如果直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，則直線l與此平面垂直 (2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，則該直線與此平面垂直,任意一條,相交,(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_ 2二面角的有關(guān)概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角,平行,兩個(gè)半平面,垂直于棱,3平面與平面垂直 (1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是_，就說這兩個(gè)平面互相垂直 (2)判定定理：一個(gè)平面過另

2、一個(gè)平面的_，則這兩個(gè)平面垂直 (3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)_的直線與另一個(gè)平面垂直,直二面角,垂線,垂直于交線,思考探究 垂直于同一平面的兩平面是否平行？ 提示：可能平行，也可能相交,4直線和平面所成的角 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角 當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為_.,90和0,課前熱身 1將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2),則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(),A相交且垂直 B相交但不垂直 C異面且垂直 D異面但不垂直,2設(shè)a

3、，b，c是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則ab的一個(gè)充分條件是 () Aac，bc B，a，b Ca，b Da，b,解析：選C.對(duì)于選項(xiàng)C，在平面內(nèi)作cb,因?yàn)閍，所以ac，故ab；A，B選項(xiàng) 中,直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項(xiàng)中一定有aB.故選C.,3一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_ 解析：由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行，再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論 答案：垂直相交,4ABC中，ABC90，PA平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是 _ 答案：4,考點(diǎn)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì),(

4、1)證明：PQ平面DCQ； (2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值,【解】(1)證明：由條件知四邊形PDAQ為直角梯形 因?yàn)镼A平面ABCD，QA平面PDAQ， 所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD. 又四邊形ABCD為正方形，DCAD， DCPD，PDADD， 所以DC平面PDAQ，可得PQDC.,【題后感悟】證線面垂直的方法： (1)利用線面垂直定義：證一直線垂直于平面內(nèi)任意一直線，則這條直線垂直于該平面; (2)用線面垂直的判定定理：證一直線與平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直；(3)用線面垂直的性質(zhì)：兩平行線之一垂,直于這個(gè)平面,則另一條也必垂直于這個(gè)平面

5、; (4)用面面垂直的性質(zhì)定理：兩平面垂直,在一個(gè)面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一平面；(5)用面面平行的性質(zhì)：一直線垂直于兩平行平面之一，則必垂直于另一平面,備選例題(教師用書獨(dú)具),(1)AC平面BDE； (2)AC平面BEF. 【證明】(1)因?yàn)槠矫鍭BCD平面ADEF,ADE90， 所以DE平面ABCD， 所以DEAC. 因?yàn)锳BCD是正方形，所以ACBD，,變式訓(xùn)練 1如圖，已知三棱錐ABPC中, APPC,ACBC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且PMB為正三角形求證：,(1)MD平面APC； (2)BC平面APC. 證明：(1)M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn), MDAP.又MD平面AP

6、C，AP平面APC,MD平面APC.,考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì) (2011高考江蘇卷)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)求證：,(1)直線EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD.,【證明】(1)在PAD中, 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD 的中點(diǎn)，所以EFPD. 又因?yàn)镋F平面PCD, PD平面PCD, 所以直線EF平面PCD.,(2)連接BD.因?yàn)锳BAD，BAD60,所以ABD為正三角形 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD. 因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PA

7、D. 又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.,【題后感悟】證明兩個(gè)平面垂直，一般要轉(zhuǎn)化成線面垂直，即證其中一個(gè)平面經(jīng)過另一平面的一條垂線可以先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再說明這條垂線在另一平面內(nèi)或與另一平面的一條垂線平行,備選例題(教師用書獨(dú)具) 如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1 ABBC3，AC2， D是AC的中點(diǎn),(1)求證：B1C平面A1BD； (2)求證：平面A1BD平面ACC1A1； (3)求三棱錐AA1BD的體積 【解】(1)證明：設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)E,連接DE，則E為AB1的中點(diǎn),在AB1C中，D為AC的中點(diǎn),E為AB1的中點(diǎn), DEB1C. 又D

8、E平面A1BD，B1C平面A1BD， B1C平面A1BD.,變式訓(xùn)練 2如圖，四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，PAD為等腰直角三角形，APD90,而PAD面ABCD，AB1，AD2.,(1)求證：面PDC面PAD； (2)求四棱錐PABCD的體積 解：(1)證明：面PAD面ABCD, CDAD，面PAD面ABCDAD, 又AD面PAD，CD面PAD， CDPA.,APPD，PDCDD，AP面PCD. 又AP面PAD， 面PDC面PAD.,考點(diǎn)3線面垂直的綜合應(yīng)用 如圖，四棱錐P ABCD中,底面ABCD是 DAB60的菱形, 側(cè)面PAD為正三角形, 其所在平面垂直于底面 ABCD.,(1)

9、求證：ADPB； (2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結(jié)論,【解】(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD. PAD為等邊三角形， PGAD，,又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD. 在ABD中，DAB60，ADAB， ABD為等邊三角形， BGAD， 又PGBGG， AD平面PBG，,ADPB. (2)連接CG，DE，且CG與DE相交于H點(diǎn), 在PGC中作HFPG，交PC于F點(diǎn)，連接DF，EF， FH平面ABCD， 又FH平面DEF，,平面DEF平面ABCD. H是CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)， 在PC上存在一點(diǎn)F，即為

10、PC的中點(diǎn)，使得平面DEF平面ABCD.,【題后感悟】對(duì)于這類問題應(yīng)先把題目中已確定的位置、大小關(guān)系作出全面認(rèn)識(shí)和正確的推理，再對(duì)變化不定的線面關(guān)系進(jìn)行觀察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔助面進(jìn)行判斷，另外還要靈活運(yùn)用觀察、聯(lián)想、類比、猜想、分析、綜合、一般化、特殊化等科學(xué)的思維方法，才能使開放性問題快速有效地解決,備選例題(教師用書獨(dú)具) 如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，,【解】(1)證明：E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.,F，M分別是BD1，

11、CC1中點(diǎn)，F(xiàn)MAC.DFFM. D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1為正方形 F為BD1的中點(diǎn)，DFBD1. FMBD1F，DF平面BD1M.,變式訓(xùn)練 3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中, E、F分別是CD、A1D1的中點(diǎn) (1)求證：AB1BF； (2)求證：AEBF；,(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF平面 AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存 在，說明理由,解：(1)證明：連接A1B，則AB1A1B， 又AB1A1F，且A1BA1FA1， AB1平面A1BF.AB1BF.,(2)證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，則FGAE， 又BAGADE， ABGDAE. AEB

12、G.又BGFGG， AE平面BFG.AEBF.,(3)存在取CC1中點(diǎn)P，即為所求連接EP,AP，C1D， EPC1D，C1DAB1，EPAB1. 由(1)知AB1BF， BFEP. 又由(2)知AEBF，且AEEPE， BF平面AEP.,方法技巧 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵,失誤防范 1在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與

13、平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化 2面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可,命題預(yù)測(cè) 從近幾年的高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)等是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質(zhì)；主觀題考查較全面，,在考查上述知識(shí)的同時(shí)，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力 預(yù)測(cè)2013年高考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象以及邏輯推理能力

14、,規(guī)范解答,(本題滿分12分)(2011高考山東卷)如圖，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.求證:,(1)AA1BD； (2)CC1平面A1BD.,【證明】(1)法一：因?yàn)镈1D平面ABCD,且BD平面ABCD， 所以D1DBD.1分 在ABD中，由余弦定理，得 BD2AD2AB22ADABcosBAD. 又因?yàn)锳B2AD，BAD60，,所以BD23AD2，3分 所以AD2BD2AB2，因此ADBD. 又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.6分,法二：因?yàn)镈D1平面ABCD，且BD平面ABCD， 所以BDD1D.1分 如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG. 在ABD中，由AB2AD，得AGAD.又BAD60， 所以ADG為等邊三角形，2分 所以GDGB，故DBGGDB.,又AGD60，所以GDB30， 所以ADBADGGDB603090， 所以BDAD.4分 又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.6分,由棱臺(tái)的定義及AB2AD2A1B1， 知A1C1EC，且A1C1EC， 所以四邊形A1ECC1為平行四邊形， 因此CC1EA1.10分 又因?yàn)镋A1平面A1BD，CC1平面A1BD， 所以CC1