1、第六章 IIR DF 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),6-1 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器：輸入、輸出：數(shù)字信號(hào) 運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)頻率成分的比例，濾出某些頻率成分。,2. 現(xiàn)代濾波器 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等 從混有隨機(jī)噪聲的記錄中估計(jì)出所關(guān)心的信號(hào)。,一、數(shù)字濾波器的分類 1. 經(jīng)典濾波器(處理信號(hào)和噪聲的頻譜不交疊情況) 按頻帶分：低通、高通、帶通、帶阻和全通。（注意數(shù)字頻率） 按單位脈沖響應(yīng)分類：IIR、FIR,濾波器設(shè)計(jì)的步驟,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是確定其系統(tǒng)函數(shù)并實(shí)現(xiàn)的過程。,根據(jù)任務(wù)，確定性能指標(biāo)。 用因果系統(tǒng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 用有限精度算法實(shí)現(xiàn)這個(gè)系

2、統(tǒng)函數(shù)。（包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、選擇合適的字長(zhǎng)、有效數(shù)字處理方法） 用適當(dāng)?shù)能洝⒂布夹g(shù)實(shí)現(xiàn) 包括采用：通用計(jì)算機(jī)軟件、數(shù)字濾波器硬件、或者二者結(jié)合。,二 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,1.數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù),稱為幅頻特性，,稱為相頻特性,2、DF的技術(shù)要求（低通為例）,通帶截止頻率,阻帶截止頻率,濾波器設(shè)計(jì)應(yīng)滿足技術(shù)要求：,一般幅頻特性用dB 表示，若通帶內(nèi)允許的最大衰減為 ，阻帶內(nèi)允許的最小衰減為 。幅頻特性應(yīng)滿足的關(guān)系為：,三、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述 1、IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 （第6章） （1）借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì) Ha(s)H(z) （2）直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì) 2、FI

3、R濾波器的設(shè)計(jì)方法（第7章） （1）窗函數(shù)和頻率采樣法 （2）切比雪夫等波紋逼近法,6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì),低通,高通,帶通,帶阻,各種理想濾波器的幅頻特性,模擬濾波器常見的幾種形式,我們一般只需設(shè)計(jì)低通，其它形式可以通過變換得到。,一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法,1. 模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo),尋找一個(gè)傳輸函數(shù) 使其幅度平方函數(shù)滿足給定指標(biāo) ，即：,由于一般濾波器的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)數(shù)，其傳遞函數(shù)是對(duì)稱的，有：,2、逼近方法,根據(jù)上式求出幅度平方函數(shù),確定 極、零點(diǎn)，并將左半S平面極點(diǎn)分配給 ， 得到濾波器的傳遞函數(shù) ，此系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。,二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法 1、幅度平方

4、函數(shù),其中，N為整數(shù)，是濾波器的階數(shù)； 為3dB 截止頻率。 當(dāng) 時(shí)，則,當(dāng),則,（1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性； （2）通帶和阻帶內(nèi)幅度特性單調(diào)變化 （3）N愈大通帶內(nèi)幅度愈接近1，過 渡帶幅度下降愈快，愈接近理 想曲線。 （2）不管N為多少，都通過 點(diǎn)。,2、幅頻特性,N=2,N=4,N=8,1,巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系,3、巴特沃斯濾波器的極、零點(diǎn)分布,由于 所以其零點(diǎn)全部 在 處；,也就是說，這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布 在巴特沃斯圓上（半徑為 ）， 共有2N點(diǎn)。,令分母0，得極點(diǎn)：,例如，N=3時(shí)，,極、零點(diǎn)分布特征：,零點(diǎn)在S平面無窮遠(yuǎn)處。 虛軸無極點(diǎn)。 極點(diǎn)分布關(guān)于虛軸

5、對(duì)稱，分布在半徑為 的圓上 極點(diǎn)個(gè)數(shù)為2N個(gè)。,4、巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù),將S平面左半平面的極點(diǎn),實(shí)際各濾波器的幅頻特性不同,為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一,將所有的頻率歸一化,歸一化的Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布以及相應(yīng)系數(shù)都有現(xiàn)成表可查（P157）。,因?yàn)?歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為,5、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù),式中的,為歸一化極點(diǎn)，可查表得到. 也可用下式計(jì)算：,根據(jù)：,低通巴特沃斯filter的設(shè)計(jì)步驟,計(jì)算3dB截止頻率,低通巴特沃斯filter的設(shè)計(jì)舉例,解：,(1) 確定階數(shù)N.,=0.0242,取N=5,已通帶截止頻率 ，通帶最大衰減 阻帶截止頻率 ，阻帶最

6、小衰減 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。,(2)求歸一化傳遞函數(shù),(3)將 去歸一化,表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),作業(yè)： P193：第1題,三、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法,巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是 頻率的單調(diào)函數(shù)。因此，但通帶邊界處指標(biāo)滿足要求時(shí)，阻帶內(nèi)肯定會(huì)有余量。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法是將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求?？赏ㄟ^選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。,切比雪夫I型濾波器的幅頻特性,切比雪夫?yàn)V波器的兩種型式： （1）振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪

7、夫I型濾波器。,切比雪夫II型,（2）振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫II型濾波器。,1、CN(x): N階Chebyshev多項(xiàng)式,0,1,-1,1,-1,x,CN(x),切比雪夫多項(xiàng)式的特性 （1）切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在 的范圍內(nèi)； （2）當(dāng) 時(shí)， ，在 的范圍內(nèi)具有等波 紋性； （3）當(dāng) 時(shí)， 是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。,C0(x),2、切比雪夫?yàn)V波器（I型）的幅度平方函數(shù),為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度。 稱為通帶截止頻率。 N為濾波器階數(shù)。,(1)求 定義允許的通帶波紋,因此,(2)求階數(shù)N,（a）N階特性一般討論,階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個(gè)數(shù)的

8、總和。 可由幅頻特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)： N=奇數(shù)，則=0處有一最大值， N=偶數(shù)，則=0處有一最小值。,(b)求階數(shù)N公式 （通過阻帶求）,4、極點(diǎn)分布,求解極點(diǎn)過程可參考其它書籍,設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=i+ji，可以證明：,上式是一個(gè)橢圓方程，長(zhǎng)半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實(shí)軸上)。,設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖 (極點(diǎn)用X表示)。,為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即,(6.2.32),c是待定系數(shù)。可導(dǎo)出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為,(6.2.33a),(6.2.39),5、歸一化系統(tǒng)函數(shù),去歸一化后的傳輸函數(shù)為,5

9、 . 切比雪夫型濾波器設(shè)計(jì)步驟: 1) 確定技術(shù)要求p,p,s和s p是=p時(shí)的衰減系數(shù)，s是=s時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)?(6.2.34),(6.2.35),這里p就是前面定義的通帶波紋，見(6.2.21)式。 歸一化頻率,2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù),這樣，先求出k-1， 再求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。 求。,將極點(diǎn)pk代入(6.2.33)式，得到：,(6.2.38),3) 求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p) 先求出歸一化極點(diǎn)pk, k=1,2,:,N。,4) 將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s),(6.2.39),6、切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)小結(jié),解：（1）濾波器的技術(shù)要求：,例6.2

10、.2 設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率 通帶最大衰減 ，阻帶截止頻率 阻帶最小衰減,（2）求階數(shù) N 和,取N=5,（3）求,根據(jù)已經(jīng)求出的N，求極點(diǎn),將所求的極點(diǎn),代入,中得,（4）將 去歸一化得到,作 業(yè),P193, 第2題。,低通 濾波器,頻率變換,四、模擬濾波器的頻率變換 模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì),高通、帶通、帶阻濾波器的傳輸函數(shù)可以通過頻率變換，分別由低通濾波器的傳輸函數(shù)求得。,模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟(自學(xué)）,將高通、帶通或帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 設(shè)計(jì)該低通濾波器。 通過頻率變換，將低通的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成所需要類型的濾波器的傳

11、輸函數(shù)。,1. 低通到高通的頻率變換,0,0,低通與高通濾波器的幅度特性,模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 （1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （2）確定相應(yīng)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （3）設(shè)計(jì)歸一化低通函數(shù) （4）求模擬高通的,例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器， ， ，幅度特性單調(diào)下降， 處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減,歸一化頻率,（2）低通技術(shù)要求：,2. 低通到帶通的頻率變換,帶通與低通濾波器的幅度特性,：帶通濾波器的通帶上限和下限頻率; ：通帶帶寬。 ：下阻帶的上限頻率和上阻帶的下限頻率。 ：通帶中心頻率，,歸一化邊界頻率為：,與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系,由 與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到低通到帶通的歸一化頻率變換公式：

12、,把 轉(zhuǎn)換成帶通的,模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)步驟：,（1）模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo),（2）確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo),歸一化后：,解：,3。低通到帶阻的頻率變換,0,帶阻與低通濾波器的幅度特性,0,與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系,0,0,0,是帶阻濾波器的技術(shù)要求， 為阻帶的中心頻率， ，阻帶帶寬B， 相應(yīng)的歸一化邊界頻率為：,由 與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到低通到帶阻的歸一化頻率變換公式：,將上式代入 ，并去歸一化，得到,直接有歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式為：,6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器,將 H（S）轉(zhuǎn)換成 H（Z），即將S平面映射到Z平面。,由模擬變換到數(shù)字的映射必須滿足兩條基 本 要 求： H(z

13、)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)。S 平 面 的 虛 軸 j 必須映射到 Z 平面的單位圓上。, 因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z).為 保 持 濾 波 器 穩(wěn) 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 須 映 射 到Z 平 面 的 單 位 圓 內(nèi)， 即Res0 ， |z|1,1、沖擊響應(yīng)不變法原理,沖激響應(yīng)不變法是從時(shí)域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n) 對(duì)應(yīng)于模擬濾波器ha(t) 的等間隔抽樣。,2、設(shè)計(jì)公式推導(dǎo),3、沖擊響應(yīng)不變法存在的問題（S平面和Z平面間的映射關(guān)系）,（1）序列Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系,由于采樣信號(hào)得頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，即：,

14、（2）沖擊響應(yīng)不變法存在的問題,（3）從S平面到Z平面的映射的幾何關(guān)系,S平面的虛軸映射為Z平面的單位圓,S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi),S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面上每一條寬為 的橫帶重復(fù)地映射成整個(gè)Z平面。,討論：（混疊現(xiàn)象）,4、沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器小結(jié),5、 修正的H(Z) 由于DF的頻響與T成反比，當(dāng)T很小時(shí)，DF的增益過高，為此做如下修正：,選取T=1s,選取T=0.1s,T的選取應(yīng)按照采樣頻率大于濾波器的最高截止頻率的2倍 以上選取，否則則會(huì)使 附近頻率混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。,見P174，圖6.3.3,6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器,用脈沖

15、響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，不可避免的會(huì)產(chǎn)生 混疊現(xiàn)象。為了克服混疊現(xiàn)象，采用雙線性變換法。,一、變換原理,二、雙線性變換的特點(diǎn),1、優(yōu)點(diǎn),2、缺點(diǎn),非線性映射示意圖,改進(jìn)辦法預(yù)崎變,三、采用雙線性變換設(shè)計(jì)方法小結(jié),1. 直接代入法,例6。4。1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將下圖所 示的低同模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。,R,C,作業(yè)：P194，5，6，8題,寫出該濾波器的傳輸函數(shù),利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換得到的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),利用雙線性變換變法轉(zhuǎn)換得到的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設(shè)a=1000，T=0.001 和0.002, ， ， 的歸一化幅頻 特性如圖,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,200