1、,復(fù)變函數(shù)和場論,西安電子科技大學(xué),電子工程學(xué)院,第五講,積分的概念 積分的定義 積分存在條件和計算方法 柯西古薩基本定理 復(fù)合閉路定理,積分的定義 設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線. 如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向), 則將C理解為帶有方向的曲線, 稱為有向曲線. 設(shè)曲線C的兩個端點為A與B, 如果將A到B的方向作為C的正方向, 則從B到A的方向就是C的負方向, 并記作C-. 常將兩個端點中一個作為起點, 另一個作為終點, 則正方向規(guī)定為起點至終點的方向. 而簡單閉曲線的正方向是指當(dāng)曲線上的點P順此方向沿該曲線前進時, 鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方.,

2、定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi), C為在區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線. 把曲線C任意分成n個弧段, 設(shè)分點為A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=B,在每個弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一點k, 并作和式,容易看出, 當(dāng)C是x軸上的區(qū)間axb, 而f(z)=u(x)時, 這個積分定義就是一元實函數(shù)定積分的定義.,積分存在的條件及計算法 設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb(3.1.2)給出, 正方向為參數(shù)增加的方向, 參數(shù)a及b對應(yīng)于起點A及終點B, 并且z (t)0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(x

3、,y)在D內(nèi)處處連續(xù), 則u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 設(shè)k=k+ik, 由于zk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=xk+iyk,所以,由于u,v都是連續(xù)函數(shù), 根據(jù)線積分的存在定理, 我們知道當(dāng)n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 不論對C的分法如何, 點(k,k)的取法如何, 上式右端的兩個和式的極限都是存在的. 因此有,上式右端可以寫成,如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲線首尾連接而成, 則我們定義,3.積分的性質(zhì),例1 計算 , 其中C為以z0為中心, r為半徑的正向圓周, n為整數(shù).,z0,r

4、,q,z-z0=reiq,z,O,x,y,解 C的方程可寫作z=z0+reiq, 0q2p, dz=ireiqdq,所以,這個結(jié)果以后經(jīng)常要用到, 它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān). 應(yīng)當(dāng)記住.,例2 計算,其中 1)C為原點到點3+4i的直線段. 1)C為原點到點(3,0)的線段加上從（3,0）到（3+4i)的折線段.,解1)直線的方程可寫作x=3t, y=4t, 0t1, 或z=3t+i4t, 0t1. 在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是,解2)C1的直線的方程可寫作x=3t, y=0 0t1, z=3t, dz=3dt.,C2的直線方程可寫作 x=3,

5、 y=4t 0t1. z=3+4it, dz=4idt. 于是,Lets have a rest!,練： C為圓周|z-1|=2，證明,證法一：,C的長度L=2*2,法二：,法二：,余同,計算 , 其中C為以z0為中心, r為半徑的正向圓周, n為整數(shù).,練 計算,其中 1)C為原點到點3+4i的直線段. 2)C為原點到點(3,0)的線段C1加上從（3,0）到（3+4i)的折線段C2.,Z平面,（3+4i),(3,0),解1)C直線的方程可寫作x=3t, y=4t, 0t1, 或z=3t+i4t, 0t1. 在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是,解2)C1的直線的方程

6、可寫作x=3t, y=0 0t1, z=3t, dz=3dt.,C2的直線方程可寫作 x=3, y=4t 0t1. z=3+4it, dz=4idt. 于是,柯西-古薩基本定理 如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則它在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:,C,B,設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析, C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線,推廣,當(dāng)C的內(nèi)部完全含于D時,設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析, C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線, 當(dāng)C的內(nèi)部不完全含于D時,？,將上面兩等式相加, 得,(3.3.1)說明, 如果將C及C1-看成一條復(fù)合閉路G, 其正向為:沿C逆時針, 沿C1-順時針, 則,(3.

7、3.2)說明, 在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)不解析的點. 這一重要事實, 稱為閉路變形原理,變形過程中不能夠經(jīng)過f(z)不解析的點,定理(復(fù)合閉路定理) 設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線, C1,C2,.,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn為邊界的區(qū)域全含于D. 如果f(z)在D內(nèi)解析, 則,G為由C及Ck(k=1,2,.,n)所組成的復(fù)合閉路(C按順時針, Ck按逆時針,D,C,C1,C2,C3,例如 從本章1的例2知: 當(dāng)C為以z0為中心的正向圓周時,解 函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個奇點外是處處解析的. 由于G 是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線, 因此, 它也包含這兩個奇點. 在G 內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2, C1只包含奇點z=0, C2只包含奇點z=1.,例 計算 的值, G為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線.,則根據(jù)復(fù)合閉路定理的i), 可得,x,y,O,1,G,C1,C2,第三章