1、第4講算法、推理與證明、計數(shù)原理A組基礎(chǔ)題組1.設(shè)M,N是兩個非空集合,定義MN=(a,b)|aM,bN,若P=0,1,2,3,Q=1,2,3,4,5,則PQ中元素的個數(shù)是()A.4B.9C.20D.242.(2017課標(biāo)全國,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績3.(2017成都第一次診斷性檢測)執(zhí)行如圖所示

2、的程序框圖,如果輸出的結(jié)果為0,那么輸入的x為()A.B.-1或1C.1D.-14.在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中含x2項的系數(shù)是()A.-56B.-35C.35D.565.若從1,2,3,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有()A.60種B.63種C.65種D.66種6.(2017貴州適應(yīng)性考試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的a,b的值分別為56,140,則輸出的a=()A.0B.7C.14D.287.(2017蘭州診斷考試)如圖的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b,i的值分

3、別為6,8,0,則輸出的i=()A.3B.4C.5D.68.設(shè)ABC的三邊長分別為a,b,c,ABC的面積為S,則ABC的內(nèi)切圓半徑為r=.將此結(jié)論類比到空間四面體:設(shè)四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,則四面體的內(nèi)切球半徑為()A.B.C.D.9.(2017課標(biāo)全國,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.8010.把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展開成關(guān)于x的多項式,其各項系數(shù)和為an,則=()A.2nB.2n-1C.2D.2-11.(2017福州綜合質(zhì)量檢測)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸

4、入的m=168,n=112,則輸出的k,m的值分別為()A.4,7B.4,56C.3,7D.3,5612.(2017湖南湘中名校高三聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果運行結(jié)果為5 040,那么判斷框中應(yīng)填入()A.k6?B.k6?D.k7?13.(2017蘭州高考實戰(zhàn)模擬)觀察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,由以上可推測出一個一般性結(jié)論:對于nN*,則1+2+n+2+1=.14.(2017昆明教學(xué)質(zhì)量檢測)某小區(qū)一號樓共有7層,每層只有1家住戶,已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多一家有快遞,且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少一家有快遞,則在同一天這7

5、家住戶有無快遞的可能情況共有種.15.(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.16.(2017張掖第一次診斷考試)設(shè)f(x)是的展開式中的中間項,若f(x)mx在區(qū)間上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.B組提升題組1.如圖所示的數(shù)陣中,用A(m,n)表示第m行的第n個數(shù),則依此規(guī)律A(8,2)為()A.B.C.D.2.已知數(shù)列an是正項等差數(shù)列,若cn=,則數(shù)列cn也為等差數(shù)列.已知數(shù)列bn是正項等比數(shù)列,類比上述結(jié)論可得()A.若dn滿足dn=,則dn也是等比數(shù)列B.若dn滿足dn=,則dn也是等比數(shù)列C.若dn滿足dn=(b12b23b3nbn)1+2+3+n,

6、則dn也是等比數(shù)列D.若dn滿足dn=(b1,則dn也是等比數(shù)列3.已知-的展開式中含x2與x3的項的系數(shù)絕對值之比為16,則a2+b2的最小值為()A.6B.9C.12D.184.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2在x=-1處取得極大值,記g(x)=.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果S,則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是()A.n2 016?B.n2 017?C.n2 016?D.n2 017?5.(2017武漢武昌調(diào)研考試)若的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和為1 024,則該展開式中的常數(shù)項是()A.-270B.270C.-90D.906.現(xiàn)需編

7、制一個八位的序號,規(guī)定如下:序號由4個數(shù)字和2個x、1個y、1個z組成;2個x不能連續(xù)出現(xiàn),且y在z的前面;數(shù)字在0,1,2,9之間任選,可重復(fù),且4個數(shù)字之積為8,則符合條件的不同序號的種數(shù)為()A.12 600B.6 300C.5 040D.2 5207.我們可以用隨機數(shù)法估計的值,如圖所示的程序框圖表示其基本步驟(函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù),它能隨機產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個實數(shù)),若輸出的結(jié)果為521,則由此可估計的近似值為()A.3.119B.3.126C.3.132D.3.1518.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角形”.該表由若干行數(shù)

8、字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為()A.2 01722 015B.2 01722 014C.2 01622 015D.2 01622 0149.若用1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字中的六個組成沒有重復(fù)數(shù)字且任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的六位數(shù),則這樣的六位數(shù)共有個.(用數(shù)字作答)10.(2016山東)觀察下列等式:+=12;+=23;+=34;+=45;照此規(guī)律,+=.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.C依題意,a有4種取法,b有5種取法,由分步乘法計數(shù)原理,得有45=20種不同取法,所以共有20個不同元素,故選C.2.D本題主要考查

9、邏輯推理能力.由題意可知,“甲看乙、丙的成績,不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個優(yōu)秀一個良好,則乙看了丙的成績,可以知道自己的成績;丁看了甲的成績,也可以知道自己的成績.故選D.3.B當(dāng)x0時,由-x2+1=0,得x=-1;當(dāng)x0時,第一次對y賦值為3x+2,第二次對y又賦值為-x2+1,所以y=-x2+1,于是由-x2+1=0,得x=1,綜上知輸入的x為-1或1,故選B.4.A因為展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大,所以展開式共有9項,所以n=8,所以二項展開式的通項公式為Tr+1=x8-r(-x-1)r= (-1)rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展開式中含x2項的系數(shù)是(-

10、1)3=-56.5.D9個整數(shù)中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù),要使和為偶數(shù),則4個數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),或2個奇數(shù)和2個偶數(shù),故不同的取法有+=66種.6.D第一次循環(huán):a=56, b=140-56=84;第二次循環(huán):a=56,b=84-56=28;第三次循環(huán):a=56-28=28,b=28,退出循環(huán),輸出的a=28,因此選D.7.B執(zhí)行程序框圖,a=6,b=8,i=0;i=1,不滿足ab,不滿足a=b,b=8-6=2;i=2,滿足ab,a=6-2=4;i=3,滿足ab,a=4-2=2;i=4,不滿足ab,滿足a=b,故輸出的a=2,i=4.故選B.8.C設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,球

11、心O到四個面的距離都是R,則四面體的體積等于以O(shè)為頂點,分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和,即V=(S1+S2+S3+S4)R,所以R=.9.C(2x-y)5的展開式的通項為Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr.其中x2y3的系數(shù)為(-1)322=-40,x3y2的系數(shù)為(-1)223=80.于是(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為-40+80=40.10.D令x=1,得an=1+2+22+2n=2n+1-1,故=2-.11.C執(zhí)行第一個當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),第一次循環(huán):k=1,m=84,n=56,m,n均為偶數(shù);第二次循環(huán):k=2,m=42,n=28,

12、m,n均為偶數(shù);第三次循環(huán):k=3,m=21,n=14,因為m不是偶數(shù),所以結(jié)束第一個循環(huán).又mn,所以執(zhí)行第二個當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),第一次循環(huán):d=|21-14|=7,m=14,n=7,mn;第二次循環(huán):d=|14-7|=7,m=7,n=7,因為m=n,所以結(jié)束循環(huán),輸出k=3,m=7,故選C12.D第一次循環(huán),得S=2,k=3;第二次循環(huán),得S=6,k=4;第三次循環(huán),得S=24,k=5;第四次循環(huán),得S=120,k=6;第五次循環(huán),得S=720,k=7;第六次循環(huán),得S=5 040,k=8,此時滿足題意,退出循環(huán),輸出的S=5 040,故判斷框中應(yīng)填入“k7?”,故選D.13.答案n2解析由1

13、=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,歸納猜想可得1+2+n+2+1=n2.14.答案12解析分三類:(1)同一天2家有快遞:可能是2層和5層、3層和5層、3層和6層,共3種情況;(2)同一天3家有快遞:考慮將有快遞的3家插入沒有快遞的4家形成的空位中,有種插入法,但需減去1層、3層與7層有快遞,1層、5層與7層有快遞這兩種情況,所以有-2=8種情況;(3)同一天4家有快遞:只有1層、3層、5層、7層有快遞這一種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知,同一天7家住戶有無快遞的可能情況共有3+8+1=12種.15.答案3解析設(shè)f(x)=(a+

14、x)(1+x)4,則其所有項的系數(shù)和為f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,又奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為f(1)-f(-1),(a+1)16=32,a=3.16.答案5,+)解析的展開式中的中間項為第四項,即f(x)=(x2)3=x3,f(x)mx在區(qū)間上恒成立,mx2在上恒成立,m=5,實數(shù)m的取值范圍是5,+).B組提升題組1.C由數(shù)陣知A(3,2)=,A(4,2)=,A(5,2)=,則A(8,2)=,故選C.2.D設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q0),則b1=b1(b1q)2(b1q2)3(b1qn-1)n=(b1)q12q23q(n-1)n=q12+23+(n-1)n=,所以dn=(

15、b1=b1,即dn也是等比數(shù)列.3.C-的展開式中含x2項的系數(shù)為a2-b2=,含x3項的系數(shù)為a3-b3=10(a-b),則由題意,得=,即|ab|=6,則a2+b2=|a|2+|b|22|ab|=12,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時取得等號.4.Bf (x)=3ax2+x,則f (-1)=3a-1=0,解得a=,g(x)=-,g(n)=-,則S=1-+-+-=1-=,因為輸出的結(jié)果S,分析可知判斷框中可以填入的判斷條件是“n2 017?”,故選B.5.C的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和等于的展開式中所有項系數(shù)之和.令x=1,得4n=1 024,n=5.的通項Tr+1=(-)r=35-r(-1)r

16、,令+=0,解得r=3,展開式中的常數(shù)項為T4=32(-1)3=-90,故選C.6.B因為4個數(shù)字之積為8,則這4個數(shù)字的所有情況為1,1,2,4;1,2,2,2;1,1,1,8.當(dāng)這4個數(shù)字為1,1,2,4時,可組成的不同序號有=3 780種;當(dāng)這4個數(shù)字為1,2,2,2或1,1,1,8時,可組成的不同序號有=1 260種.故符合條件的不同序號共有3 780+1 260+1 260=6 300種,選B.7.B在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,不等式組表示的區(qū)域是棱長為1的正方體區(qū)域,相應(yīng)區(qū)域的體積為13=1;不等式組表示的區(qū)域是棱長為1的正方體區(qū)域內(nèi)的球形區(qū)域,相應(yīng)區(qū)域的體積為13=,因此,即3.126,選B.8.B由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,第2 015行數(shù)的公差為22 014,第1行的第一個數(shù)為22-1,第2行的第一