1、, 一元微積分學(xué),高 等 數(shù) 學(xué) A（1）,第六講 無窮小量、無窮大量,授課教師：彭亞新,第二章 極 限,本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“”和 “X ” 語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。,第二章 極 限,第三節(jié) 無窮小量、無窮大量,一.無窮小量及其運(yùn)

2、算性質(zhì),二. 無窮大量,一、無窮小量及其運(yùn)算性質(zhì),簡(jiǎn)言之, 在某極限過程中, 以 0 為極限的量稱該極限過程中的一個(gè)無窮小量.,1.無窮小量的定義,定義,2. 函數(shù)的極限與無窮小量的關(guān)系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出 什么結(jié)論 ?,定理,同一個(gè)極限過程中的有限個(gè)無窮小量之和仍是一個(gè)無窮小量.,同一個(gè)極限過程中的有限個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量.,3.無窮小量的運(yùn)算法則,常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.,在某極限過程中, 以極限不 為零的函數(shù)除無窮小量所得到商 仍為一個(gè)無窮小量.,在某一極限過程中, 無窮小量 與有界量之積仍是一個(gè)無窮小量.,證,證,證,證明,(i) 一般說來,有界量的倒數(shù)

3、不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).,(ii) 我們沒有涉及兩個(gè)無窮小量商的極限的 情形,因?yàn)樗那樾屋^復(fù)雜,將在以后專 門討論.,注意：,解,二. 無窮大量,定義,1.無窮大量的定義,無窮大量是否一定是無界量 ?,在某極限過程中,無界量是否一定是無窮大量 ?,當(dāng) x 時(shí), 函數(shù) sinx、cosx, 是否為無窮大量 ？,因?yàn)閟inx、cosx 是有界函數(shù), 所以在任何極限過程中它們都不是無窮大量.,在某一極限過程中,定理,2. 無窮大量與無窮小量的關(guān)系,無窮大量一定是同一 極限過程中的無界量.,反之不真,3.無窮大量的運(yùn)算性質(zhì),在某極限過程中, 兩個(gè)無窮大量之積 仍是一個(gè)無窮大量.,在某極限過程中, 無窮大量與 有界量之和仍為無窮大量.,不是無窮大量,是無窮大量,兩個(gè)無窮大量的和是否仍為無窮大量?,考察,有界量與無窮大量的乘積,是否一定為無窮大量？,不著急, 看個(gè)例題:,有界量與無