1、2.2第一課時等差數(shù)列的概念及通項公式預習課本P3638，思考并完成以下問題 (1)等差數(shù)列的定義是什么？如何判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列？(2)等差數(shù)列的通項公式是什么？(3)等差中項的定義是什么？ 1等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示點睛(1)“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合(2)“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調(diào)了：作差的順序；這兩項必須相鄰(3)定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項減去前一項都等于同一

2、個常數(shù)，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列2等差中項如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項這三個數(shù)滿足的關系式是A.3等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.遞推公式通項公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)點睛由等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果設pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常數(shù)當p0時，an是關于n的一次函數(shù)；當p0時，anq，等差數(shù)列為常數(shù)列1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)等差數(shù)列an的單調(diào)

3、性與公差d有關()(3)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可以求出數(shù)列中的任意一項()(4)若三個數(shù)a，b，c滿足2bac，則a，b，c一定是等差數(shù)列()解析：(1)錯誤若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列(2)正確當d0時為遞增數(shù)列；d0時為常數(shù)列；d1)，記bn.求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：法一定義法bn1，bn1bn，為常數(shù)(nN*)又b1，數(shù)列bn是首項為，公差為的等差數(shù)列法二等差中項法bn，bn1.bn2.bnbn22bn120.bnbn22bn1(nN*)，數(shù)列bn是等差數(shù)列等差數(shù)列判定的常用的2種方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN

4、*)an為等差數(shù)列(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an為等差數(shù)列活學活用已知，成等差數(shù)列，并且ac，ac，ac2b均為正數(shù)，求證：lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)也成等差數(shù)列解：，成等差數(shù)列，即2acb(ac)(ac)(ac2b)(ac)22b(ac)(ac)222aca2c22ac4ac(ac)2.ac，ac2b，ac均為正數(shù)，上式左右兩邊同時取對數(shù)得，lg(ac)(ac2b)lg(ac)2，即lg(ac)lg(ac2b)2lg(ac)，lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差數(shù)列層級一學業(yè)水平達標1已知等差數(shù)列an的通項公式為an32n，則它的公差為()

5、A2B3C2 D3解析：選Can32n1(n1)(2)，d2，故選C.2若等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an35，則n()A50 B51C52 D53解析：選D依題意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.3設x是a與b的等差中項，x2是a2與b2的等差中項，則a，b的關系是()Aab Ba3bCab或a3b Dab0解析：選C由等差中項的定義知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.4數(shù)列an中，a12,2an12an1，則a2 015的值是()A1 006 B1 007C1 008 D1 009解析：選D由

6、2an12an1，得an1an，所以an是等差數(shù)列，首項a12，公差d，所以an2(n1)，所以a2 0151 009.5等差數(shù)列an的首項為70，公差為9，則這個數(shù)列中絕對值最小的一項為()Aa8 Ba9Ca10 Da11解析：選B|an|70(n1)(9)|799n|9，n9時，|an|最小6在等差數(shù)列an中，a37，a5a26，則a6_.解析：設等差數(shù)列an的公差為d，由題意，得解得ana1(n1)d3(n1)22n1.a626113.答案：137已知an為等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d_.解析：根據(jù)題意得：a72a4a16d2(a13d)a11，a11.又a3a12d12d

7、0，d.答案：8已知數(shù)列an滿足：aa4，且a11，an0，則an_.解析：根據(jù)已知條件aa4，即aa4.數(shù)列a是公差為4的等差數(shù)列，則aa(n1)44n3.an0，an.答案：9已知數(shù)列an滿足a12，an1，則數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由解：數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因為a12，an1，所以，所以(常數(shù))所以是以為首項，公差為的等差數(shù)列10若，是等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列證明：由已知得，通分有.進一步變形有2(bc)(ab)(2bac)(ac)，整理，得a2c22b2，所以a2，b2，c2成等差數(shù)列層級二應試能力達標1若數(shù)列an為等差數(shù)列，apq，aqp(pq)，則apq為

8、()ApqB0C(pq) D.解析：選Bapa1(p1)d，aqa1(q1)d，得(pq)dqp.pq，d1.代入，有a1(p1)(1)q，a1pq1.apqa1(pq1)dpq1(pq1)(1)0.2已知xy，且兩個數(shù)列x，a1，a2，am，y與x，b1，b2，bn，y各自都成等差數(shù)列，則等于()A. B.C. D.解析：選D設這兩個等差數(shù)列公差分別是d1，d2，則a2a1d1，b2b1d2.第一個數(shù)列共(m2)項，d1；第二個數(shù)列共(n2)項，d2.這樣可求出.3已知數(shù)列an，對任意的nN*，點Pn(n，an)都在直線y2x1上，則an為()A公差為2的等差數(shù)列 B公差為1的等差數(shù)列C公差

9、為2的等差數(shù)列 D非等差數(shù)列解析：選A由題意知an2n1，an1an2，應選A.4如果a1，a2，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，且公差d0，則()Aa3a6a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5解析：選B由通項公式，得a3a12d，a6a15d，那么a3a62a17d，a3a6(a12d)(a15d)a7a1d10d2，同理a4a52a17d，a4a5a7a1d12d2，顯然a3a6a4a52d20，故選B.5數(shù)列an是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項為2，公差為4的等差數(shù)列若anbn，則n的值為_解析：an2(n1)33n1，bn2(n1)44n6，令anbn，得3n1

10、4n6，n5.答案：56在數(shù)列an中，a13，且對于任意大于1的正整數(shù)n，點(， )都在直線xy0上，則an_.解析：由題意得，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以n，an3n2.答案：3n27已知數(shù)列an滿足a11，且an2an12n(n2，且N*)(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列an的通項公式an.解：(1)a22a1226，a32a22320.(2)證明：an2an12n(n2，且nN*)，1(n2，且nN*)，即1(n2，且nN*)，數(shù)列是首項為，公差d1的等差數(shù)列(3)由(2)，得(n1)1n，an2n.8數(shù)列an滿足a12，an1(3)an2n(nN

11、*)(1)當a21時，求及a3的值；(2)是否存在的值，使數(shù)列an為等差數(shù)列？若存在求其通項公式；若不存在說明理由解：(1)a12，a21，a2(3)a12，.a3a222，a3.(2)a12，an1(3)an2n，a2(3)a1224.a3(3)a24221016.若數(shù)列an為等差數(shù)列，則a1a32a2.即27130.494130，方程無實數(shù)解值不存在不存在的值使an成等差數(shù)列第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)預習課本P39練習第4、5題，思考并完成以下問題 (1)等差數(shù)列通項公式的推廣形式是什么？(2)等差數(shù)列的運算性質(zhì)是什么？1等差數(shù)列通項公式的推廣通項公式通項公式的推廣ana1(n1)d(揭示首末

12、兩項的關系)anam(nm)d(揭示任意兩項之間的關系)2.等差數(shù)列的性質(zhì)若an是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足mnpq，則amanapaq.(1)特別地，當mn2k(m，n，kN*)時，aman2ak.(2)對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差為d的等差數(shù)列，則can(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；anank(k為常數(shù)，kN*)是公差為2d的等差數(shù)列(4)若an，bn分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列panqbn(p，q是常數(shù))是公差為pd1

13、qd2的等差數(shù)列1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若an是等差數(shù)列，則|an|也是等差數(shù)列()(2)若|an|是等差數(shù)列，則an也是等差數(shù)列()(3)若an是等差數(shù)列，則對任意nN*都有2an1anan2()(4)數(shù)列an的通項公式為an3n5，則數(shù)列an的公差與函數(shù)y3x5的圖象的斜率相等()解析：(1)錯誤如2，1,0,1,2是等差數(shù)列，但其絕對值就不是等差數(shù)列(2)錯誤如數(shù)列1,2，3,4，5其絕對值為等差數(shù)列，但其本身不是等差數(shù)列(3)正確根據(jù)等差數(shù)列的通項可判定對任意nN*，都有2an1anan2成立(4)正確因為an3n5的公差d3，而直線y3x5的斜率也是

14、3.答案：(1)(2)(3)(4)2在等差數(shù)列an中，若a56，a815，則a14等于()A32B33C33 D29解析：選B數(shù)列an是等差數(shù)列，a5，a8，a11，a14也成等差數(shù)列且公差為9，a1469333.3在等差數(shù)列an中，已知a3a4a5a6a7450，則a2a8()A90 B270C180 D360解析：選C因為a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5290180.4在等差數(shù)列an中，已知a22a8a14120，則2a9a10的值為_解析：a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.答案：30等差數(shù)

15、列的性質(zhì)應用典例(1)已知等差數(shù)列an中，a2a46，則a1a2a3a4a5()A30B15C5 D10(2)設an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37()A0 B37C100 D37解析(1)數(shù)列an為等差數(shù)列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a2a4)615.(2)設cnanbn，由于an，bn都是等差數(shù)列，則cn也是等差數(shù)列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，cn的公差dc2c10.c37100，即a37b37100.答案(1)B(2)C本例(1)求解主要用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq.對于此性質(zhì)

16、，應注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.本例(2)應用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若an，bn是等差數(shù)列，則anbn也是等差數(shù)列靈活運用等差數(shù)列的某些性質(zhì)，可以提高我們分析、解決數(shù)列綜合問題的能力，應注意加強這方面的鍛煉活學活用1已知an為等差數(shù)列，若a1a5a9，則cos(a2a8)的值為()A BC. D.解析：選Aa1a5a93a5，所以a5，而a2a82a5，所以cos(a2a8)cos ，故選A.2在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7()A10 B18C20 D28解析：選C由等差數(shù)列的性

17、質(zhì)得：3a5a72a5(a5a7)2a5(2a6)2(a5a6)2(a3a8)20，故選C.靈活設元求解等差數(shù)列典例(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù)(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為8，求這四個數(shù)解(1)設這三個數(shù)依次為ad，a，ad，則解得這三個數(shù)為4,3,2.(2)法一：設這四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，d1，故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.法二：若設這四個數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差

18、為d)，依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化簡得d24，所以d2或2.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.常見設元技巧(1)某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設這兩個數(shù)為：ad，ad，公差為2d；(2)三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設此三數(shù)為：ad，a，ad，公差為d；(3)四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設成a3d，ad，ad，a3d，公差為2d.活學活用已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列解：設這四個數(shù)依次為a3d，ad，ad，a3d(公差為

19、2d)由題設知解得或這個數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.等差數(shù)列的實際應用典例某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1200，an1an20(nN*)，每年的利潤構(gòu)成一個等差數(shù)列an，從而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損由an22020n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損解決實際應用問題，首先要認真領會題意，

20、根據(jù)題目條件，尋找有用的信息若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵的問題活學活用某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費10元如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費_元解析：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費令a111.2，表示4 km處的車費，公差d1.2，那么當出租車行至14 km處時，n11，此時需要支

21、付車費a1111.2(111)1.223.2(元)答案：23.2層級一學業(yè)水平達標1在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12B16C20 D24解析：選B因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以a2a10a4a816.2在等差數(shù)列an中，a1a910，則a5的值為()A5 B6C8 D10解析：選A由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1a92a5，又a1a910，即2a510，a55.3下列說法中正確的是()A若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列D若a，b，c成

22、等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列解析：選C因為a，b，c成等差數(shù)列，則2bac，所以2b4ac4，即2(b2)(a2)(c2)，所以a2，b2，c2成等差數(shù)列4在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則a7()A5 B8C10 D14解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.5等差數(shù)列an中， a2a5a89，那么方程x2(a4a6)x100的根的情況()A沒有實根 B兩個相等實根C兩個不等實根 D無法判斷 解析：選A由a2a5a89得a53，a4a66，方程轉(zhuǎn)化為x26x100.因為1，則a1a2m1_.解析：因為數(shù)列an為等差數(shù)列，則 am1am12a

23、m，則am1am1a10可化為2ama10，解得am1，所以a1a2m12am2.答案：29在等差數(shù)列an中，若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12a15.解：法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1a112a6，a2a122a7，a5a152a10.(a1a2a5)(a11a12a15)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.法二：數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也成等差數(shù)列，即30,80，a11a12a15成等差數(shù)列30(a11a12a15)280，a11a12a15130.10有一批影碟機原銷售價

24、為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售某單位購買一批此類影碟機，問去哪家商場買花費較少解：設單位需購買影碟機n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元，售價依臺數(shù)n成等差數(shù)列設該數(shù)列為anan780(n1)(20)80020n，解不等式an440，即80020n440，得n18.當購買臺數(shù)小于等于18臺時，每臺售價為(80020n)元，當臺數(shù)大于18臺時，每臺售價為440元到乙商場購買，每臺售價為80075%60

25、0元作差：(80020n)n600n20n(10n)，當n10時，600n(80020n)n，當n10時，600n(80020n)n，當10n18時，(80020n)n18時，440n600n.即當購買少于10臺時到乙商場花費較少，當購買10臺時到兩商場購買花費相同，當購買多于10臺時到甲商場購買花費較少層級二應試能力達標1已知等差數(shù)列an：1,0，1，2，；等差數(shù)列bn：0,20,40,60，則數(shù)列anbn是()A公差為1的等差數(shù)列 B公差為20的等差數(shù)列C公差為20的等差數(shù)列 D公差為19的等差數(shù)列解析：選D(a2b2)(a1b1)(a2a1)(b2b1)12019.2已知數(shù)列an為等差數(shù)

26、列且a1a7a134，則tan(a2a12)的值為()A. BC D解析：選D由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .3若方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|mn|()A1 B.C. D.解析：選C設方程的四個根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1a4a2a32，再設此等差數(shù)列的公差為d，則2a13d2，a1，d，a2，a31，a4，|mn|a1a4a2a3|.4九章算術“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升 B.升C.升 D.升解析：選B設所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則有即解得則a5a14d，故第5節(jié)的容積