1、復(fù)習(xí)課(一)解三角形利用正、余弦定理解三角形對于解三角形的考查，命題多利用正、余弦定理，三角形內(nèi)角和定理來求邊和角，其中以求邊或角的取值范圍為主，以解三角形與三角函數(shù)的結(jié)合為命題熱點，試題多以大題的形式出現(xiàn)，難度中等解三角形的常見類型及方法(1)已知三邊：先由余弦定理求出兩個角，再由ABC，求第三個角(2)已知兩邊及其中一邊的對角：先用正弦定理求出另一邊的對角，再由ABC，求第三個角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三邊(3)已知兩邊及夾角：先用余弦定理求出第三邊，然后再利用正弦定理或余弦定理求另兩角(4)已知兩角及一邊：先利用內(nèi)角和求出第三個角，再利用正弦定理求另兩邊典例設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A，

2、B，C的對邊分別為a，b，c，且有a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解(1)由a2bsin A，根據(jù)正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由于ABC是銳角三角形，所以B.(2)根據(jù)余弦定理，得b2a2c22accos B2725457，所以b.類題通法利用正、余弦定理來研究三角形問題時，一般要綜合應(yīng)用三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)關(guān)系式，正弦定理可以用來將邊的比和對應(yīng)角正弦值的比互化，而余弦定理多用來將余弦值轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系1在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，則角B的值為_解析：(a2c2b2)tan Ba

3、c，tan B.即cos Btan Bsin B.0B，角B的值為或.答案：或2在ABC中，A60，AC3，BC，那么AB的長為_解析：由正弦定理得，sin B1，B90，AB2AC2BC29，即AB.答案：3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，a1，b，則B_.解析：由正弦定理知：，解得sin B，又0Ba，可得B或.答案：或4ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，求cos B的最小值解：(1)證明：a，b，c成等差數(shù)列，ac2b.由正弦定理得sin Asi

4、n C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比數(shù)列，b2ac.由余弦定理得cos B，當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立cos B的最小值為.三角形形狀的判定判斷三角形的形狀是一種常見的題型，其基本原則是化邊為角或化角為邊，實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，而達(dá)到這一目標(biāo)的工具就是正弦定理和余弦定理，題型多為填空題，難度中等三角形中的常用結(jié)論(1)ABC，.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊典例在ABC中，a，b，c分別表示三個內(nèi)角A，B，C的對邊，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(

5、AB)，試判斷該三角形的形狀解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2sin Acos B.法一：(化邊為角)由正弦定理得2sin2Acos Asin B2sin2Bsin Acos B，即sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.0A，0B，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形法二：(化角為邊)2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦、余弦定理得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(

6、a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0.ab或c2a2b2，ABC為等腰三角形或直角三角形類題通法根據(jù)所給條件判斷三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角(2)化角為邊，轉(zhuǎn)化的手段主要有：通過正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化；通過余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化；通過三角變換找出角之間的關(guān)系；通過對三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性來確定三角形的形狀1在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.若cacos B(2ab)cos A，則ABC的形狀為_解析：cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos

7、A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)故ABC為直角三角形或等腰三角形答案：等腰或直角三角形2在ABC中，已知3b2asin B，且A，B，C成等差數(shù)列，則ABC的形狀為_解析：A，B，C成等差數(shù)列，AC2B，即3B，解得B.3b2asin B，根據(jù)正弦定理得3sin B2sin Asin Bsin B0，32sin A，即sin A，即A或，當(dāng)A時，AB不滿足條件A，C.故ABC，即ABC的形狀為等邊三角形答案：等邊三角形3已知

8、方程x2(bcos A)xacos B0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為ABC的兩邊，A，B為兩內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得bcos Aacos B.由正弦定理得：sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A，B為ABC的內(nèi)角，0A，0B，ABACBC，sin Dsin C，所以SABDSABC，由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇ABC建造環(huán)境標(biāo)志費用較低，即小李的設(shè)計符合要求類題通法利用正余弦定理解決實際應(yīng)用的四個步驟第一步：分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖第二步：

9、建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解第四步：檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解1一艘輪船按照北偏西50的方向，以15海里每小時的速度航行，一個燈塔原來在輪船的北偏東10方向上，經(jīng)過40分鐘，輪船與燈塔的距離是5 海里，則燈塔和輪船原來的距離為_海里解析：畫出示意圖如圖ABC中，AB10，BC5，BAC60.由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos 60，得AC210AC250，AC5.答案：52.如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公

10、路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：km)如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解：設(shè)AMN，在AMN中，.因為MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120.當(dāng)且僅當(dāng)2150270，即60時，AP2

11、取得最大值12，即AP取得最大值2.答：設(shè)計AMN為60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小1在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若ccos Ab，則ABC是_解析：根據(jù)余弦定理，得cb，即c2a2b2，故ABC一定是直角三角形答案：直角三角形2ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2c22b，且sin B6cos Asin C，則b的值為_解析：由正弦定理與余弦定理可知，sin B6cos Asin C可化為b6c，化簡可得b23(b2c2a2)，又a2c22b且b0，得b3.答案：33在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A，a2，SABC

12、，則b_.解析：由已知得：cos A，SABCbcsin Abc，bc3，又由余弦定理得：a2b2c22bccos A，即b2c224，b2c26，bc2，解得bc.答案：4已知a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，又A(0，)，所以A，又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsin A4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時，等號成立，則ABC面積的最大值為.答案：5在ABC中，B120，AB，

13、A的角平分線AD，則AC_.解析：由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，從而BAD15DAC，所以C1801203030，AC.答案：6在ABC中，AB3，BC，AC4，則ABC的面積等于_解析：由余弦定理，得cos A，所以sin A，所以SABCABACsin A343.答案：37設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acos Ccb，則角A_.解析：在ABC內(nèi)應(yīng)用余弦定理得：cos C，將其代入acos Ccb中可得：acb，化簡整理得：b2c2a2bc，于是cos A，所以A.答案：8在ABC中，已知2acos Bc，sin Asin B(2cos C)sin2，

14、則ABC的形狀為_解析：依題意得2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin(AB)sin(AB)0，因此BA，C2A，于是有sin2A(2cos 2A)cos2A，即sin2A(32sin2A)1sin2A，解得sin2A，因此sin A，又BA必為銳角，因此BA，ABC是等腰直角三角形答案：等腰直角三角形9在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，則cosDAC_.解析：由已知條件可得圖形，如圖所示，設(shè)CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.答案：10已知ABC的

15、面積為，AC，ABC，則ABC的周長等于_解析：由題意可得ABBCsinABC，即ABBC，所以ABBC2.再由余弦定理可得3AB2BC22ABBCcosAB2BC22，所以AB2BC25，所以(ABBC)2AB2BC22ABBC549，所以ABBC3，所以ABC的周長等于ABBCAC3.答案：311在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面積解：(1)由tan2，得tan A，所以.(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin，得sin C.設(shè)ABC

16、的面積為S，則Sabsin C9.12.如圖所示，某人在塔的正東C處沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m到D處以后，望見塔在東北方向若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔的高度解：在BDC中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，BD20(m)在RtABE中，tanAEB，AB為定值，故要使AEB最大，需要BE最小即BECD，這時AEB30.在RtBED中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m)在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m)，即塔的高度為(3)m.13在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值解：(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.ABBC，C為銳角，則cos C.因此，sin 2C2si