1、2.8函數(shù)和方程考試展示1.基于二次函數(shù)的圖像，我們知道了函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，并判斷了一元二次方程根的存在性和根的個數(shù)。2.根據(jù)特定函數(shù)的圖像，可以通過二分法得到相應方程的近似解。測試中心1功能零點所在區(qū)間的判斷1.函數(shù)零的定義關(guān)于函數(shù)y=f (x)，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _成立的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f (x)的零點。答案：f (x)=02.幾個等價關(guān)系等式f (x)=0實根函數(shù)為y=f (x)的圖像與_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _相交。答案：X軸零點3.函數(shù)零點的判定(零點存在定理)如果函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a，b中

2、的圖像是一條具有_ _ _ _ _ _ _ _的連續(xù)曲線，那么函數(shù)y=f (x)在區(qū)間_ _ _ _ _ _ _ _中有零點，即有c(a，b)，這使得u答：f(a)f(b)0 (a，b) F (c)=0 C。4.二分法的定義對于在區(qū)間a，b中連續(xù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地取函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個端點逐漸接近零點，得到零點近似值的方法稱為二分法。答：f(a)f(b)0分為二函數(shù)零點的誤解：零點的概念；零的數(shù)量。(1)函數(shù)的零點是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3、 _ _ _ _ _ _ _。答：(1)交點的橫坐標解析：函數(shù)的零點不是圖像和X軸的交點，而是圖像和X軸交點的橫坐標，也就是說，函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)。(2)如果連續(xù)圖像函數(shù)Y=F (x)在區(qū)間(a，b)中是單調(diào)的，并且F (a) F (b)是0，那么函數(shù)Y=F (x)在區(qū)間(a，b)中有零點。回答：獨特分析：根據(jù)零點存在定理，函數(shù)y=f (x)在區(qū)間(a，b)中有零點，然后根據(jù)單調(diào)性，零點是唯一的。二次函數(shù)的零點。(1)二次函數(shù)f (x)=ax2 bx c (a 0)有一個正零和一個負零，當且僅當_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：ac0解析：根據(jù)數(shù)和形的組合，二次函數(shù)f

4、(x)=ax2 bx c (a 0)有一個正零點和一個負零點，當且僅當af(0)0，即ac0。(2)如果函數(shù)y=(k-8) x2 x 1最多有一個零點，那么k的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑悍治觯涸摵瘮?shù)最多有一個零點，那么：當k=8時，讓x 1=0，即x=-1，并且有一個零點，這符合問題的含義；當k8時，設(shè)=1-4 (k-8) 0，求解k。因此，k的取值范圍是。題目1 (1)2017湖北四中七校聯(lián)考函數(shù)f (x)= x log2x的零點在區(qū)間()A.B華盛頓特區(qū)回答答resolution f=log2=-20，f=-10，即ff0，所以世界上至少有一個零。因此，選擇一個.(2

5、)2017浙江溫州模擬如圖所示是二次函數(shù)f (x)=x2-bx的部分圖像，函數(shù)g(x)=ex f(x)的零點的近似區(qū)間是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)回答乙分辨率從圖像中，你知道1，得到10。因此，g(0)g(1)0。乙.(3)2017浙江嘉興仿真讓函數(shù)y=x3和y=x-2的圖像的交點為(x0，y0)。如果x0(n，N 1)，nN，則x0的間隔為_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (1，2)resolution如果f(x)=x3-x-2，x0是函數(shù)f(x)的零點，函數(shù)y=x3和y=x-2的圖像繪制在同一坐標系中，如圖所示。因為f (1)=1-1=-10，f

6、(2)=8-0=70，因此，f(1)f(2)0，所以x0(1，2)。確定函數(shù)f(x)零點區(qū)間的兩種常用方法(1)定義方法：利用零點存在定理，函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a，b內(nèi)必須是連續(xù)的。當f(a)f(b)0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)中至少有一個零。(2)鏡像法：如果一個函數(shù)(或方程)是由兩個初等函數(shù)的和(或差)組成，可以用鏡像法求解，如f(x)=g (x)-h (x)，并作出y=g (x)和y=h (x)的鏡像，交點的橫坐標為函數(shù)f(x)測試點2判斷函數(shù)的零點數(shù)量(1)課本習題改編f的零數(shù)(2)課本習題改編用“二分法”求區(qū)間2，3中方程x3-2x-5=0的實根，取區(qū)間的中點為x0=2.5，則下一

7、個有根區(qū)間為_ _ _ _ _ _ _ _。答案：2，2.5判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：直接求零點；零點存在定理：圖像交點的數(shù)目。(1)如果函數(shù)f (x)=ax b的零是2，那么函數(shù)g (x)=bx2-ax的零是_ _ _ _ _ _?；卮穑?，-分析：因為2a b=0，g(x)=-2 x2-ax=-ax(2x 1)，所以0和-。(2)給定三個區(qū)間，函數(shù)f (x)=x ln x的零點位于區(qū)間_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑航馕觯寒攛從1趨近于0時，ln x趨近于負無窮大，所以f(x)趨近于負無窮大，而f=ln=-1 0，f=ln=-2 0，所以函數(shù)零點的區(qū)間為。標題2(1)合肥模擬，安徽

8、，2017如果偶數(shù)函數(shù)f(x)滿足f (x-1)=f (x 1)，并且如果xn0，1，f (x)=x2，那么方程f (x)=x上的根數(shù)A.1B.2C.3D.4答案 C因為f(x)是一個偶函數(shù)，當x -1，0，-x 0，1時，因此，f (-x)=x2，即f (x)=x2。f (x-1)=f (x 1)，因此，f(x 2)=f (x 1) 1=f (x 1)-1=f (x)，因此f(x)是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)y=f (x)和y=f(x)的圖像在同一坐標系中生成，如圖所示。兩個圖像之間有三個交叉點，由數(shù)字和形狀組合而成，所以方程f (x)=x有三個根，所以c .(2)2017湖南衡陽模擬函數(shù)f(

9、x)的值域為-1，1，圖像如圖1所示；函數(shù)g(x)的定義域是-2，2，圖像如圖2所示。方程f (g (x)=0有m個實根，方程g (f (x)=0有n個實根，那么m n=()A.14B.12C.10D.8回答答分析從標題圖，如果f (g (x)=0，那么g (x)=1或g (x)=0或g(x)=1，從標題圖，當g(x)=1，x=-1或x=1；G (x)=0對應三個x值；G (x)=1，x=2或x=-2，因此m=7。如果g (f (x)=0，則f (x)=-1.5或f (x)=1.5或f (x)=0，從標題圖可知。判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1)方程求解方法：如果相應的方程f (x)=0可以求解

10、，則通過求解方程，幾個解會有幾個零點。(2)零點存在定理方法：利用該定理，我們不僅要判斷函數(shù)是一條連續(xù)曲線，且f(a)f(b)0在區(qū)間a，b內(nèi)，還要結(jié)合函數(shù)的像和性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性)來確定函數(shù)有多少零點。(3)數(shù)形結(jié)合法：將圖像的相交數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的問題。首先，畫出兩個函數(shù)的圖像，看相交數(shù)，其中相交數(shù)是函數(shù)的零點數(shù)。1.函數(shù)f (x)=log2 (x 4)-3x的零點數(shù)是()A.0B.1C.2D.3回答：c。分析：在同一坐標系中，畫出函數(shù)y=3x，函數(shù)y=log2 (x 4)的圖像，那么圖像的交點數(shù)就是函數(shù)f (x)=log2 (x 4)-3x的零點數(shù)。從圖像來看，函數(shù)圖

11、像有兩個交點，所以函數(shù)的零點是兩個，所以c .2.如果f (x)=f (0)=-2和f (-1)=1，函數(shù)g (x)=f (x) x的零點數(shù)為_ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑?分析：根據(jù)問題的意思從這個解決方案中，G (x)=0給出f (x) x=0，相當于或溶液x=2，溶液x=-1或x=-2。因此，函數(shù)g (x)=f (x) x的零點數(shù)是3。測試點3函數(shù)零點的應用標題3眾所周知，函數(shù)f (x)=如果函數(shù)g (x)=f (x)-m有三個零，實數(shù)m的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (0，1)解析函數(shù)g (x)=f (x)-m有三個零，三個根轉(zhuǎn)換成f (x)-m=0，然后

12、轉(zhuǎn)換成y=f (x)，以及y=m的三個交點.畫一個函數(shù)y=f (x)的圖像，然后直線y=m有三個公共點。拋物線的頂點是(-1，1)。從圖中可以看出，實數(shù)m的取值范圍是(0，1)?；癁榻甬敽瘮?shù)有零點(方程有根)時，常用三種方法來確定參數(shù)范圍(1)直接法：根據(jù)題目的條件直接構(gòu)造參數(shù)的不等式，然后通過求解不等式確定參數(shù)的取值范圍。(2)參數(shù)分離方法：首先將參數(shù)分離并轉(zhuǎn)化為尋找待求解函數(shù)值域的問題。(3)數(shù)形結(jié)合法：首先對解析公式進行變形，在同一平面直角坐標系中繪制函數(shù)圖像，然后求解數(shù)形結(jié)合。假設(shè)函數(shù)f (x)=如果函數(shù)g (x)=f (x) x-m有零點，那么實數(shù)m的取值范圍是f(x)=A.0，1

13、B.(-，1)C.(-，0(1，+)D.(-，1(2，+)回答：c。分析：函數(shù)g (x)=f (x) x-m的零點是方程f (x) x=m的根，h (x)=的圖像如圖所示。觀察它與直線y=m的交點，我們知道當m0或m1時有一個交點，即實數(shù)m與函數(shù)g (x)=f (x) x-m的零點的值域為(-，0(1，)。測試點4處二次函數(shù)的零點問題二次函數(shù)y=ax2 bx c (A0)的像與零點的關(guān)系0=00圖像和x軸的交集_沒有交叉點零的數(shù)量_答案是：(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 2 1 0標題4已知函數(shù)f (x)=x2 ax 2，a r(1)如果不等式f(x)0的解集是1，2，求不等式f (

14、x) 1-x2的解集；(2)如果函數(shù)g (x)=f (x) x2 1在區(qū)間(1，2)中有兩個不同的零，它就是實數(shù)a的取值范圍.解 (1)因為不等式f(x)0的解集是1，2，因此，a=-3，f (x)=x2-3x 2。當f (x) 1-x2時，得到2x2-3x 1 0。解是x或x1。因此，不等式f (x) 1-x2的解集是。(2)函數(shù)g (x)=2x2 ax 3在區(qū)間(1，2)中有兩個不同的零，那么也就是說，-5 a -2。因此，實數(shù)A的范圍是(-5，-2)。解決與二次函數(shù)相關(guān)的零點問題(1)可以使用二次方程的根公式；(2)可以使用一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖像序列不等式。眾所周知，f (x)=x2 (a2-1) x (a-2)的零點大于1，零點小于1，這是實數(shù)的取值范圍。解：解1:讓方程x2 (a2-1) x (a-2)=0為x1，x2(當x12，g (x)=x b-4，f(x)=x-2)2；當0x2時，G (x