1、22.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實際問題.2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題知識點一橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1 (ab0)1 (ab0)焦點(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的關(guān)系c2a2b2c2a2b2思考(1)橢圓定義中，將“大于F1F2”改為“等于F1F2”或“小于F1F2”的常數(shù)

2、，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)確定橢圓的方程需要知道哪些量？答案(1)當(dāng)距離之和等于F1F2時，動點的軌跡就是線段F1F2；當(dāng)距離之和小于F1F2時，動點的軌跡不存在(2)a，b的值及焦點所在的位置題型一用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)解(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因為2a10，所以a5.又因為c4，所以b2a2c252429.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上

3、，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因為橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.反思與感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點位置，再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可當(dāng)所求橢圓的焦點位置不能確定時，應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進(jìn)行分類討論，但要注意ab0這一條件當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，把橢圓的方程設(shè)成Ax2By21(A0，B0，AB)的形式有兩個優(yōu)點：列出的方程組中分母不含字母；不用討論焦點所在的坐標(biāo)軸，從而簡化求解過程跟蹤訓(xùn)練1求焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，2)和B(2，1)兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程解方法一(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意有解得此時不符合ab0，所以方程組無解故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0且AB)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.題型二橢圓定義的應(yīng)用例2已知兩定點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足PF1PF22F1F2.(1)求點P的軌跡方程；(2)若F1PF2120，求PF1F2的面積解(1)依題意知F1F22，PF1PF22F1F242F1F2，點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，且

5、2a4,2c2，a2，c1，b，故所求點P的軌跡方程為1.(2)設(shè)mPF1，nPF2，則mn2a4.在PF1F2中，由余弦定理，得F1Fm2n22mncosF1PF2，4(mn)22mn(1cos 120)，解得mn12.mnsinF1PF212sin 1203.反思與感悟在橢圓中，由橢圓上的點與兩個焦點組成的焦點三角形引出的問題很多要解決這些題目，我們經(jīng)常利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，這就需要我們在解題時，要充分理解題意，分析條件，利用橢圓定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關(guān)系在解題中，經(jīng)常把PF1PF2看作一個整體來處理跟蹤訓(xùn)練

6、2如圖所示，已知過橢圓1的右焦點F2的直線AB垂直于x軸，交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點求AF1B的周長解由題意知，點A，B在橢圓1上，所以a5，故有AF1AF22a10，BF1BF22a10，AF2BF2AB，所以AF1B的周長為AF1BF1ABAF1BF1AF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)2a2a20.題型三與橢圓有關(guān)的軌跡問題例3 已知B、C是兩個定點，BC8，且ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程解以過B、C兩點的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示 由BC8可知點B(4,0)，C(4,0)由ABACBC18得AB

7、AC108BC，因此，點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a10，但點A不在x軸上由a5，c4，得b2a2c225169.所以點A的軌跡方程為1(y0)反思與感悟利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由題意找到動點所滿足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程跟蹤訓(xùn)練3 已知圓A：(x3)2y2100，圓A內(nèi)一定點B(3,0)，圓P過點B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程解如圖，設(shè)圓P的半徑為r，又圓P過點B，PBr. 又圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，兩圓的圓心距PA10r，即PAPB10(大于AB6)圓心P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓2a10,2cAB6.a

8、5，c3，b2a2c225916.圓心P的軌跡方程為1.1設(shè)F1，F(xiàn)2為定點，F(xiàn)1F26，動點M滿足MF1MF26，則動點M的軌跡是_答案線段解析MF1MF26F1F2，動點M的軌跡是線段2已知橢圓4x2ky24的一個焦點坐標(biāo)是(0,1)，則實數(shù)k的值是_答案2解析由題意得，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，又其一個焦點坐標(biāo)為(0,1)，故11，解得k2.3設(shè)P是橢圓1上一點，P到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則PF1F2是_三角形答案直角解析根據(jù)橢圓的定義知PF1PF28.又PF1PF22，所以PF15，PF23.而F1F24，所以F1FPFPF，所以PF1F2是直角三角形4“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點在y軸上的橢圓”的_條件答案充要解析方程可化為1.若mn0，則00，可得mn0.5已知橢圓1上一點P與橢圓兩焦點F1、F2的連線夾角為直角，則PF1PF2_.答案48解析依題意知，a7，b2，c5，F(xiàn)1F22c10.由于PF1PF2，所以由勾股定理得PFPFF1F，即PFPF100.又由橢圓定義知PF1PF22a14，(PF1PF2)22P