1、第一章三角函數(shù)1.同角三角函數(shù)的巧妙應(yīng)用等角三角函數(shù)的使用主要體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值和函數(shù)之間的相互變換上。下面的例子結(jié)合常見的應(yīng)用類型來分析變換效果，展示了同角度三角函數(shù)的巧妙應(yīng)用。首先，認(rèn)識一個，尋找兩個例1如果sin =， ，則tan =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。通過sin =，解析sin 2 cos 2=1得到cos =，因為 ，cos=-可以得到。因此，tan =-2。答案2注釋當(dāng)已知某一角度的弦函數(shù)值可以求出其他三角函數(shù)時，首先要用平方關(guān)系求出另一個弦函數(shù)值，然后再求出正切函數(shù)值。需要注意的是，在使用平方關(guān)系時，如果沒有角度限制，我們

2、應(yīng)該注意分類討論。二、“1”的妙用例2證明：=。證明了由于sin2x cos2x=1，所以1=(sin2x cos2x) 3，1=(sin2x cos2x) 2，So=。也就是原始命題的證明。在證明本課題的過程中，充分利用了三角函數(shù)的平方關(guān)系，巧妙的替換了“1”，很容易解決問題。第三，同質(zhì)評價實施例3已知tan =2，評估：(1)=_ _ _ _ _ _ _ _；(2)2s 2-3co S2=_ _ _ _ _ _ _ _。(1)因為cos 0，分子和分母除以cos ，=-1。(2)2s 2-3co S2=，因為cos2 8800; 0，分子和分母除以cos2。=1，共。答案(1)-1 (2)

3、 1注釋：這是一組在tan =m已知的條件下求sin 和cos 齊次表達(dá)式的問題。要解決這類問題，我們應(yīng)該注意以下幾點：(1)它必須是關(guān)于sin 和cos 齊次表達(dá)式的三角函數(shù)表達(dá)式(或者可以轉(zhuǎn)化為齊次表達(dá)式)；(2)由于cos8800; 0，分子和分母可以同時除以cos(NN+N)，這樣表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的表達(dá)式，可以通過將tan =m作為一個整體來求解。善用數(shù)學(xué)思想巧解題首先，數(shù)字和形狀的結(jié)合例1在(0，2)范圍內(nèi)，使sin xcos x保持的x值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _。在同一坐標(biāo)系中繪制的y=sin x，y=cos x，x(0，2)的解析圖像如下：根據(jù)該圖，x(，

4、)。答案是(，)注釋在解三角函數(shù)的方程和不等式時，通常用函數(shù)的圖像來簡化問題。二、分類討論的思想例2:已知角的終端邊緣在直線3x 4y=0上，求sin 、cos 和tan 的值。解角的最終邊緣在直線3x 4y=0上，在角度的終端邊緣取點P(4t，-3t) (t 0)，X=4t，y=-3t，r=5 | t |。在t0，r=5t，sin =-，cos =，tan=-；在t0，r=-5t，sin =，cos =-，tan =-，總而言之，sin =-，cos =，tan=-；或sin =，cos =-，tan =-。注釋：(1)如果角的最終邊緣位置的象限是不確定的，則應(yīng)在不同的類別中討論。(2)如果

5、三角函數(shù)值包含變量，因變量的不同值會導(dǎo)致不同的結(jié)果，這需要討論。第三，函數(shù)和方程的思想例3:函數(shù)f (x)=cos x-sin2x ( x )的最大值為_ _ _ _ _ _ _ _。分辨率f(x)=cosx-sin2x=cos2x cosx-1=(cosx)2，讓cos x=t，因為x1，我們可以從余弦函數(shù)的單調(diào)性中知道cos x1，即t1，而函數(shù)f(t)=(t)2-是，中的單調(diào)遞增函數(shù)，所以f (t) max=f ()=，所以f(x)的最大值是回答關(guān)于平方關(guān)系，我們可以考慮構(gòu)造一個二次函數(shù)，然后用這個二次函數(shù)來求解最大值。第四，轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)化思想例4比較下面各組的數(shù)字。棕褐色(-)和棕褐色(-

6、)。溶液tan (-)=-tan(-)=-tan (-)=-tan。因為0，y=tan x是(0，tan-tan)的單調(diào)遞增函數(shù)，那是棕褐色(-)。關(guān)于三角函數(shù)值比較的幾點看法？一般來說，它被轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性來比較三角函數(shù)的值。此外，歸納公式的使用充分體現(xiàn)了從未知到已知的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)化的思想。3總發(fā)明三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點和熱點之一，它的應(yīng)用是“靈動的”。為了靈活運用自然，三角函數(shù)的形象必須及時出現(xiàn)在你的腦海中。以下是通過典型例子對三角函數(shù)本質(zhì)的盤點，請仔細(xì)感受。首先，領(lǐng)域例1函數(shù)y=的定義域是_ _ _ _ _ _ _ _ _。從問題的意義上解析cos x1

7、，因此，2k- x 2k，k z。也就是說，函數(shù)的定義域是2k-，2k ，k Z .答案是2k-，2k ，k Z。解決這個問題的關(guān)鍵是列出保證函數(shù)意義的三角不等式，然后用三角函數(shù)圖像或單位圓中的三角函數(shù)線來求解。二、范圍和最大值例2函數(shù)y=cos (x)，x(0，的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _。因為00進(jìn)行分析，然后把 x 作為一個整體，根據(jù)y=sin x的單調(diào)性列出不等式，得到遞減區(qū)間的通解；如果要求某一區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間，然后取通解中的k值，就可以得到該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第四，周期性和對稱性例4已知函數(shù)f(x)=sin (2 x-) ( 0)的最小正周期為，因此函數(shù)f(x

8、)的鏡像對稱軸方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _。等式=1由t=獲得。所以f (x)=sin (2x-)，2x-=k，kZ，f(x)的對稱軸是x=，k z。答案是x=，kZ解決這個問題的關(guān)鍵是用周期公式求出的值，然后解決對稱軸的問題。求解對稱軸有兩種方法：一是直接獲得函數(shù)的對稱軸；二是解決對稱軸的特征對應(yīng)的函數(shù)值是函數(shù)的最大值的問題。同樣，有兩種方法可以求解對稱中心。V.同等例5如果函數(shù)f(x)=sin(0，2)是一個偶函數(shù)，那么=_ _ _ _ _ _。解析函數(shù)是偶數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于x=0對稱。當(dāng)=k，k z時，函數(shù)對稱軸方程為x=x 3-，kZ。設(shè)3-=0，kZ，解是=3，kZ，0，2

9、)，所以=?；卮鸾鉀Q這個問題的關(guān)鍵是將奇偶性轉(zhuǎn)化為對稱性：偶函數(shù)的函數(shù)像關(guān)于y軸對稱；奇數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。4數(shù)字和形狀的結(jié)合很好，圖像直觀而繁瑣構(gòu)造正弦和余弦函數(shù)圖像解決問題正弦和余弦函數(shù)的圖像是本章的重點，也是高考的熱點。它們不僅能直觀地反映三角函數(shù)的性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛。如果能根據(jù)問題的特點靈活地構(gòu)建圖像，往往能直觀、準(zhǔn)確、快速地解決問題。首先，確定功能范圍例1定義了運算a b=例如1 2=1，那么函數(shù)f (x)=sin x cos x的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。根據(jù)主題設(shè)計中的新定義，F(xiàn) (x)=在一個周期內(nèi)對函數(shù)f(x)進(jìn)行成像，如圖所示，函數(shù)f(x)的范圍是

10、?；卮痍P(guān)于三角函數(shù)取值范圍的確定，人們經(jīng)常借助圖像直觀、準(zhǔn)確地制作和求解函數(shù)的圖像。第二，確定零的數(shù)量例2函數(shù)f (x)=x-sin x在區(qū)間0，2中的零點數(shù)是_ _ _ _ _ _。在同一個直角坐標(biāo)系中，繪制了y=x和y=sin x的圖像，從圖像中可以觀察到交點的數(shù)量為2?；卮?關(guān)于三角函數(shù)交點個數(shù)的確定，函數(shù)圖像往往是通過圖像直觀、準(zhǔn)確地制作和求解的。第三，確定參數(shù)值例3如果f(x)=sin ( x ) ( 0)，f=f，并且f(x)在區(qū)間中有最小值但沒有最大值，則=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分辨率為：f (x)=sin ( 0)，f=f。并且f(x)在該區(qū)間中只有最小值而沒有最大值，如圖所示，繪制函數(shù)的大致圖像。f(x)在=處獲取最小值。+=2k-(kZ).=8k-(kZ).0， =8-=當(dāng)k=1時；當(dāng)k=2時，=16-=，此時在區(qū)間中有一個最大值，因此=。回答評論這個小問題考察了y=asin ( x )的圖像和性質(zhì)的理解和應(yīng)用。應(yīng)該注意兩點例4如果函數(shù)f (x)=(x r)，那么f(x)_ _ _ _ _ _ _ _ _。(填寫正確語句的序列號)(1)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)它是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)如圖所示，分析函數(shù)y=的圖像