1、23.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握雙曲線的定義.2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題知識點一雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距知識點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距F1F22ca、b、c的關(guān)系c2a2b2思考(1)雙曲線定義中，將“小于F1F2”改為“等于F1F

2、2”或“大于F1F2”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？答案(1)當(dāng)距離之差等于F1F2時，動點的軌跡就是兩條射線，端點分別是F1、F2，當(dāng)距離之差大于F1F2時，動點的軌跡不存在(2)a，b的值及焦點所在的位置題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點P(3，)，Q(，5)；(2)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上解(1)方法一若焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，由于點P(3，)和Q(，5)在雙曲線上，所以解得 (舍去)若焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，將P、Q兩點坐標(biāo)代入可得解得所以雙

3、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)雙曲線方程為1(mn0，b0)則有解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.方法二焦點在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中06)雙曲線經(jīng)過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.反思與感悟求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點，可設(shè)其方程為mx2ny21(mn0，b0)，將點(4，2)和(2，2)代入方程得解得a28，b24，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程為1.題型二雙曲線定義的應(yīng)用例2 若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個焦點(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點，且PF1PF232，試求F1PF2的面積 解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故a3，b4，c5.(1)由雙曲線的定義得|MF1MF2|2a6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16x|6，解得x10或x22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.(2)將|PF2PF1|2a6兩邊平方得PFPF2PF1PF236，PFPF362PF1PF236232100.在F1PF2中，由

5、余弦定理得cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，F(xiàn)1PF290，PF1PF23216.反思與感悟(1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)|PF1PF2|2a求解，注意對所求結(jié)果進行必要的驗證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于ca)(2)在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件|PF1PF2|2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點P使

6、得F1PF260，求F1PF2的面積解由1得，a3，b4，c5.由雙曲線的定義和余弦定理得PF1PF26，F(xiàn)1FPFPF2PF1PF2cos 60，所以102(PF1PF2)2PF1PF2，所以PF1PF264，所以PF1PF2sinF1PF26416.題型三與雙曲線有關(guān)的軌跡問題例3如圖，在ABC中，已知AB4，且三個內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點C的軌跡方程 解以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2，0)，B(2，0) 由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R為ABC的外接圓半徑)2s

7、in Asin C2sin B，2BCAB2AC，從而有ACBCAB2)反思與感悟(1)求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：列出等量關(guān)系，化簡得到方程；尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對應(yīng)的方程(2)求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸；檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，已知定圓F1：(x5)2y21，定圓F2：(x5)2y242，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程 解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11；圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5,0)，半徑r24.設(shè)動圓M的半徑為R，則有

8、MF1R1，MF2R4，MF2MF1310F1F2.點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，且a，c5，于是b2c2a2.動圓圓心M的軌跡方程為1(x)1已知F1(3,3)，F(xiàn)2(3,3)，動點P滿足PF1PF24，則P點的軌跡是_(填序號)雙曲線 雙曲線的一支不存在 一條射線答案解析因為PF1PF24，且4F1F2，由雙曲線定義知，P點的軌跡是雙曲線的一支2橢圓1和雙曲線1有相同的焦點，則實數(shù)n的值是_答案3解析由題意知，34n2n216，2n218，n29.n3.3雙曲線1的焦距為_答案4解析由標(biāo)準(zhǔn)方程得a210，b22，所以c2a2b212，c2，所以焦距2c4.4已知雙曲線中a5，c7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1或1解析當(dāng)焦點在x軸上時，方程為1，當(dāng)焦點在y軸上時，方程為1.5P是雙曲線x2y216的左支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左，右焦點，則PF1PF2_.答案8解析將x2y216化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，所以a216,2a8，因為P點在雙曲線左支上，所以PF1PF28.1雙曲線定義中|PF1PF2|2a (2ab不一定成立