1、33.2極大值與極小值學習目標1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系，并會靈活應用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件知識點一函數(shù)極值的概念函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示思考1函數(shù)在xa處的函數(shù)值與附近的函數(shù)值有什么大小關系？思考2f(a)為多少？在xa附近，函數(shù)的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？思考3函數(shù)在xb處的情況呢？梳理(1)極小值點與極小值函數(shù)yf(x)在xa處的函數(shù)值f(a)比它在xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在xa的左側f(x)0.則把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點與極

2、大值函數(shù)yf(x)在xb處的函數(shù)值f(b)比它在xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在xb的左側f(x)0，右側f(x)0.則把點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值_、_統(tǒng)稱為極值點，_和_統(tǒng)稱為極值知識點二求函數(shù)yf(x)極值的方法解方程f(x)0，當f(x0)0時，(1)如果在x0的左側f(x)_0，右側f(x)_0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0的左側f(x)_0，右側f(x)_0，那么f(x0)是極小值類型一求函數(shù)的極值和極值點例1求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3ln x.反思與感悟求可導函數(shù)f(x)

3、的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f(x)；(2)求f(x)的拐點，即求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調性的變化情況求極值特別提醒：在判斷f(x)的符號時，借助圖象也可判斷f(x)各因式的符號，還可用特殊值法判斷跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值類型二已知函數(shù)極值求參數(shù)例2(1)已知函數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1處有極值0，則a_，b_.(2)若函數(shù)f(x)x3x2ax1有極值點，則a的

4、取值范圍為_引申探究1若本例(2)中函數(shù)的極大值點是1，求a的值2若例(2)中函數(shù)f(x)有兩個極值點，均為正值，求a的取值范圍反思與感悟已知函數(shù)極值的情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式時，應注意以下兩點：(1)根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性跟蹤訓練2設x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由類型三函數(shù)極值的綜合應用例3設函數(shù)f(x)x36x5，xR.(1)求函數(shù)f(

5、x)的單調區(qū)間和極值；(2)若關于x的方程f(x)a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍反思與感悟用求導的方法確定方程根的個數(shù)，是一種很有效的方法它通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù)跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍1已知函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有_個極大值點，_個極小值點2函數(shù)f(x)x3ex的極值點x0_.3已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為_4設函數(shù)f(x)6x33

6、(a2)x22ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，則實數(shù)a的值為_5已知關于x的函數(shù)f(x)x3bx2cxbc，若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，則b_，c_.1在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質可導函數(shù)f(x)在點xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側f(x)符號相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點問題提醒：完成作業(yè)第3章3.33.3.2答案精析問題導學知識點一思考1函數(shù)在xa處的函數(shù)值比它在xa附近的其他點的函數(shù)值都小思考2f(a)0，在xa的左側f(x

7、)0.思考3函數(shù)在xb處的函數(shù)值f(b)比它在xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，且在xb的左側f(x)0，右側f(x)(2)題型探究例1解(1)函數(shù)f(x)2x33x212x1的定義域為R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值21極小值6所以當x2時，f(x)取極大值21；當x1時，f(x)取極小值6.(2)函數(shù)f(x)3ln x的定義域為(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(

8、0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值3因此當x1時，f(x)有極小值3，無極大值跟蹤訓練1解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x，f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)解f(x)0，得x12，x2ln 2，當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調遞增，在(2，ln 2)上單調遞減當x2時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大

9、值為f(2)4(1e2)例2(1)29(2)(，1)引申探究1解f(x)x22xa，由題意得f(1)12a0，解得a3，則f(x)x22x3，經(jīng)驗證可知，f(x)在x1處取得極大值2解由題意得方程x22xa0有兩不等正根，設為x1，x2，則解得0a0)，故f(x)x1.當x(0,1)時，f(x)0；當x(2，)時，f(x)或x時，f(x)0；當x時，f(x)0.所以，f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調遞減區(qū)間為(，)當x時，f(x)有極大值54；當x時，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知，yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當54a54時，直線ya與yf(x)的圖象有三個不同的交點，即方程f(x)a有三個不同的實根跟蹤訓練3解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個不同的交點g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0