1、3.3.2隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用1.了解隨機(jī)數(shù)的含義.2.掌握利用計(jì)算器(計(jì)算機(jī))產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法.3.會(huì)利用隨機(jī)數(shù)模擬某一問題的試驗(yàn)來解決具體的有關(guān)概率的問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用閱讀教材P110P114，完成下列問題.1.隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣.2.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)用函數(shù)型計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：每次按鍵都會(huì)產(chǎn)生01之間的隨機(jī)數(shù)，而且出現(xiàn)01內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的可能性是相同.(2)用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)(這里介紹的是Scilab中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法)：Scilab中用rand()函數(shù)來產(chǎn)生01的均勻隨機(jī)數(shù).

2、每調(diào)用一次rand()函數(shù)，就產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù).如果要產(chǎn)生ab之間的隨機(jī)數(shù)，可以使用變換rand()*(ba)a得到.3.計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法(1)建立一個(gè)概率模型，它與某些我們感興趣的量有關(guān).(2)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來確定這些量.按這樣的思路建立起來的方法稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法.1.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)隨機(jī)數(shù)只能用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生.()(2)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器只能產(chǎn)生0,1的均勻隨機(jī)數(shù)，對于試驗(yàn)結(jié)果在2,5上的試驗(yàn)，無法用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬估計(jì)試驗(yàn).()(3)x是0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)，則利用變量代換y(ba)xa可得a，b上的均勻隨機(jī)數(shù)

3、.()【答案】(1)(2)(3)2.用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實(shí)際概率的大小為n，則()A.mnB.mnC.mn D.m是n的近似值【解析】隨機(jī)模擬法求其概率，只是對概率的估計(jì).【答案】D3.在區(qū)間(10,20內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)a13的概率是()A. B. C.D.【解析】a(10,13)，P(a13).【答案】C4.在邊長為2的正方形當(dāng)中，有一個(gè)封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機(jī)撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入陰影區(qū)域內(nèi)，那么陰影區(qū)域的面積近似為_. 圖338【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，則，S.【答案】小組合作型用隨機(jī)模擬法估計(jì)古典概型的

4、概率同時(shí)拋擲兩顆骰子，用隨機(jī)模擬法估計(jì)都是1點(diǎn)的概率.【精彩點(diǎn)撥】可根據(jù)拋擲兩顆骰子，需要產(chǎn)生兩組16之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)來分別表示兩顆骰子的點(diǎn)數(shù).【嘗試解答】設(shè)事件A表示“擲兩顆骰子都得到1點(diǎn)”.S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次隨機(jī)數(shù)x和y都出現(xiàn)1(即同時(shí)出現(xiàn)1點(diǎn))，首先置n0，m0.S2用變換int(rand()*5)1產(chǎn)生16之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)x表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；用變換int(rand()*5)1產(chǎn)生16之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)y表示擲另一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，用1表示1點(diǎn)，用2表示2點(diǎn)，用3表示3點(diǎn)，用6表示6點(diǎn).S3判斷是否同時(shí)出現(xiàn)1點(diǎn)，即是否滿足x1且y1，如果是

5、，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即mm1，如果不是，m的值保持不變.S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n值加1，即nn1，如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束.程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值. 用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果.我們可以從以下三方面考慮：(1)當(dāng)試驗(yàn)的基本事件等可能時(shí)，基本事件總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)基本事件；(2)研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來處理，此時(shí)一定要注意每組中的

6、隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù).再練一題1.種植某種樹苗，成活率是0.9.若種植該種樹苗5棵，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)恰好4棵成活的概率.【解】利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0代表不成活，1至9的數(shù)字代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0.9.因?yàn)榉N植5棵，所以每5個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，可產(chǎn)生30組隨機(jī)數(shù)，如下所示：69801660977712422961742353151629747249455755865258741302322437445443443331527120217825855561017452414413492201703628300594976561733478316624303

7、4401117這就相當(dāng)于做了30次試驗(yàn)，在這些數(shù)組中，如果恰有一個(gè)0，則表示恰有4棵成活，共有9組這樣的數(shù)，于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率近似為0.3.用隨機(jī)模擬方法估計(jì)幾何概型的概率 如圖339在一個(gè)邊長為3 cm的正方形內(nèi)部畫一個(gè)邊長為2 cm的正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，求所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率.圖339【精彩點(diǎn)撥】把二維型的圖形放在一個(gè)確定的坐標(biāo)平面或者平面上，用均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生兩組隨機(jī)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，或者用實(shí)物(如黃豆)計(jì)算其頻率，從而可估計(jì)概率.【嘗試解答】記事件A所投點(diǎn)落入小正方形內(nèi).S1利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組1.5,1.5上的均勻隨機(jī)數(shù)arand()*31.

8、5，brand()*31.5.S2統(tǒng)計(jì)落入大正方形內(nèi)點(diǎn)數(shù)N(即上述所有隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的點(diǎn)(a，b)數(shù))及落入小正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(即滿足1a1且1b1的點(diǎn)(a，b)數(shù)).S3計(jì)算頻率fn(A)，即為概率P(A)的近似值.一般地，若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)連續(xù)變量(如本例中的x，y)來描述，用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，利用坐標(biāo)平面能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型.再練一題2.如圖3310，在墻上掛著一塊邊長為16 cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)不算，可重投，問：投中大圓

9、內(nèi)的概率是多少？投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)的概率是多少？投中大圓之外的概率是多少？圖3310【解】記事件A投中大圓內(nèi)，事件B投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)，事件C投中大圓之外.S1利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組8,8上的均勻隨機(jī)數(shù)arand()*168，brand()*168.S2統(tǒng)計(jì)投中大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2b236的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的次數(shù)N2(即滿足4a2b216的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿足8a8，8b8的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))；S3計(jì)算頻率fn(A)，fn(B)，fn(C)，即分別為概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值.利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)估計(jì)不規(guī)

10、則圖形的面積利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖3311中陰影部分(曲線y2x與x軸、x1圍成的部分)的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖3311【精彩點(diǎn)撥】在坐標(biāo)系中畫出正方形，用隨機(jī)模擬的方法可以求出陰影部分面積與正方形面積之比，從而求得陰影部分的近似值.【嘗試解答】S1利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1rand，b1rand.S2進(jìn)行平移和伸縮變換，aa1N1，N)，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值.S3統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的次數(shù)N1(滿足條件b2a的點(diǎn)(a，b).S4計(jì)算頻率，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值.S5用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P.S即為陰影部分面積的近似值.1.解決

11、本題的關(guān)鍵是利用隨機(jī)模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率，然后通過方程求得陰影部分面積的近似值.2.，應(yīng)當(dāng)作公式記住，當(dāng)然應(yīng)理解其來歷，其中N為總的試驗(yàn)次數(shù)，N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù).再練一題3.如圖3312所示，在一個(gè)長為4，寬為2的矩形中有一個(gè)半圓，試用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算半圓面積，并估計(jì)的值.圖3312【解】事件A：“隨機(jī)向矩形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在半圓內(nèi)”.S1經(jīng)過變換xrand()*42，yrand()*2.S2統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和滿足條件x2y24的點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù)N1.S3計(jì)算頻率fn(A)，即為概率P(A)的近似值.半圓的面積為S12，矩形的面積為S8.由幾何概率公式

12、得P(A)，所以.所以即為的近似值，半圓的面積的近似值即為.探究共研型a，b內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)探究1如何產(chǎn)生a，b內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)？【提示】利用計(jì)算機(jī)(或計(jì)算器)產(chǎn)生0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)x1rand，然后利用伸縮和平移變換，令xx1*(b-a)+a,則可以得到a,b上的均勻隨機(jī)數(shù)。探究2產(chǎn)生a，b內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)時(shí)，a，b上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都是等可能的嗎？【提示】產(chǎn)生a，b內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)時(shí)，試驗(yàn)的結(jié)果是a，b上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，并且任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的.將0,1內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為2,6內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a，需實(shí)施的變換為()Aa1=a1*18 Ba1=a1*8+2 Ca1=a1*8-2 Da1=a

13、1*6【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合兩個(gè)區(qū)間長度及對應(yīng)的端點(diǎn)值對a1實(shí)施變換.【嘗試解答】因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x0,1，而基本事件都在2,6上，其區(qū)間長度為8，所以首先把a(bǔ)1變?yōu)?*a1，又因區(qū)間左端值為-2，所以8*a1，再變?yōu)?*a1-2，故變換公式為a=8*a1-2.【答案】C再練一題4.b1是0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)，b3(b12)，則b是區(qū)間_上的均勻隨機(jī)數(shù).【解析】0b11，則函數(shù)b3(b12)的值域是6b3，即b是區(qū)間6，3上的均勻隨機(jī)數(shù).【答案】6，31.用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，可以解決()A.只能求幾何概型的概率，不能解決其他問題B.不僅能求幾何概型的概率，還能計(jì)算圖形的面積C.不但能估計(jì)幾何概型的概

14、率，還能估計(jì)圖形的面積D.最適合估計(jì)古典概型的概率【解析】很明顯用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不適合估計(jì)古典概型的概率.【答案】C2.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為()A. B.C.D.【解析】因?yàn)?a1，所以事件3a10，即a的概率是，故選C.【答案】C3.設(shè)x是0,1內(nèi)的一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過變換y2x3，則x對應(yīng)變換成的均勻隨機(jī)數(shù)是()A.0 B.2 C.4 D.5【解析】當(dāng)x時(shí)，y234.【答案】C4.如圖3313，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_.圖3313【解析】由題意知，這是個(gè)幾何概型問題，0.18，S正1，S陰0.18.【答案】0.185.設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)最小正方形的邊長都等于6 cm，現(xiàn)用直徑等于2 cm的硬幣投擲到網(wǎng)格上，用