1、24.2拋物線的幾何性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的幾何特性.2.學(xué)會(huì)解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與拋物線的位置關(guān)系思考1若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線一定相切嗎？思考2直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)梳理直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有_個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線有_個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0)的一條弦，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，運(yùn)用平方差法可推導(dǎo)AB的斜率如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB，y

2、1y22y0，由得kAB，即弦AB的斜率只與焦參數(shù)_和弦AB中點(diǎn)的_坐標(biāo)有關(guān)類(lèi)型一直線與拋物線的位置關(guān)系例1已知直線l：ykx1，拋物線C：y24x，當(dāng)k為何值時(shí)，l和C只有一個(gè)公共點(diǎn)？有兩個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？跟蹤訓(xùn)練1平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線y1的距離相等，設(shè)M的軌跡是曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)在曲線C上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線yx2的距離最短，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線l：yxm，當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，直線l與曲線C有交點(diǎn)？類(lèi)型二與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題例2已知A，B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平

3、分(1)求拋物線E的方程；(2)求直線AB的方程反思與感悟中點(diǎn)弦問(wèn)題解題策略方法跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線y26x，過(guò)點(diǎn)P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程及P1P2.類(lèi)型三拋物線中的定點(diǎn)(定值)問(wèn)題例3已知點(diǎn)A，B是拋物線y22px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；(2)求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)反思與感悟在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A、B兩點(diǎn)(1)如果

4、直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求的值；(2)如果4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)1拋物線yax21與直線yx相切，則a_.2直線yx1被拋物線y24x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_3過(guò)拋物線y24x的頂點(diǎn)O作互相垂直的兩弦OM、ON，則M的橫坐標(biāo)x1與N的橫坐標(biāo)x2之積為_(kāi)4若拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，且AB4，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為_(kāi)5已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y2x4所得的弦長(zhǎng)AB3，求此拋物線的方程求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法：直線和拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題及垂直、對(duì)稱(chēng)等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合問(wèn)題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解

5、題策略，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化提醒：完成作業(yè)第2章2.42.4.2(二)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1不一定，當(dāng)平行或重合于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的直線與拋物線相交時(shí)，也只有一個(gè)交點(diǎn)思考2位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn)相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相離無(wú)公共點(diǎn)梳理兩一沒(méi)有平行或重合一知識(shí)點(diǎn)二2p縱題型探究例1解將l與C的方程聯(lián)立，得消去y，可得k2x2(2k4)x10，(*)當(dāng)k0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解為x.直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)(，1)，此時(shí)直線l平行于x軸當(dāng)k0時(shí)，方程(*)是一個(gè)一元二次方程，(2k4)24k24k216k164k216k16.當(dāng)0，即k1且k0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直

6、線l與拋物線C相交；當(dāng)0，即k1時(shí)，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與拋物線C相切；當(dāng)1時(shí)，直線l與C沒(méi)有公共點(diǎn)所以，當(dāng)k0或1時(shí)，l和C只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，l和C沒(méi)有公共點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1解(1)依題意知曲線C是拋物線，設(shè)其方程為x22py(p0)由定義可得1，解得p2，所以?huà)佄锞€C的方程為x24y.(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有x4y0.點(diǎn)P到直線yx2的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得d，所以當(dāng)x02，y01，即P的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，點(diǎn)P到直線yx2的距離最短，最短距離為.(3)由題意，聯(lián)立yxm和x24y，消去y并整理得x24x4m0，因?yàn)橹本€與曲線C有交點(diǎn)，所以(4)216m0

7、，解得m1.例2解(1)由于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，p2，所以?huà)佄锞€E的方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2.所以直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.跟蹤訓(xùn)練2解方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設(shè)所求方程為y1k(x4)由得ky26y24k60.當(dāng)k0時(shí)，624k(24k6)0.設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中點(diǎn)為(4,1)，2，k3，適合式所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1

8、y22，y1y222，P1P2 .方法二設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)則y6x1，y6x2，yy6(x1x2)又y1y22，3，所求直線的斜率為k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，P1P2 .例3(1)解設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA，kOB.因?yàn)镺AOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以y1y20.因?yàn)閥10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明因?yàn)閥2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以

9、，所以kAB，故直線AB的方程為yy1(xx1)，所以yy1，即y.因?yàn)閥2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)跟蹤訓(xùn)練3解(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)l：xty1，代入拋物線方程y24x，消去x，得y24ty40.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設(shè)l：xtyb，代入拋物線方程y24x，消去x，得y24ty4b0.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，令b24b4，b24b40，b2，直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)當(dāng)堂訓(xùn)練1.2.