1、第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點(diǎn))2.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3.能用裂項(xiàng)相消法求和.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)閱讀教材P40P41，完成下列問題.1.Sn與an的關(guān)系an2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，則an中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，構(gòu)成等差數(shù)列.(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Snan2bn(a，b為常數(shù)).3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a10，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值.(2)若a10

2、，d0，d0，則S1是Sn的最小值；若a10，d0，d1)，可知，當(dāng)n1時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，當(dāng)n1時(shí)，a1S1121，也滿足式.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.由此可知：數(shù)列an是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.1.已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n1時(shí)，a1S1求得a1，再由n2時(shí)，anSnSn1求an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示.2.由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求an的方法，不僅適用于等差數(shù)列，它也適用于其他數(shù)列.再練一題1.已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式，求an的通項(xiàng)公式.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，

3、a1S1212311；當(dāng)n2時(shí)，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，則anSnSn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此時(shí)若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S13121；當(dāng)n2時(shí)，Sn13n12，則anSnSn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此時(shí)若n1，an23n123112a1，故an等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)應(yīng)用(1)在等差數(shù)列an中，若S41，S84，則a17a18a19a20的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A.9B.12C.16D.17(2)等差數(shù)列an共有2n1項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和

4、為120，則n等于_.【精彩點(diǎn)撥】(1)解決本題關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)S4，S8S4，S12S8，S16S12，a17a18a19a20能構(gòu)成等差數(shù)列.(2)利用等差數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)求解，或利用“基本量法”求解.【自主解答】(1)法一：由題意知：S41，S8S43，而S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16成等差數(shù)列.即1,3,5,7,9，a17a18a19a20S20S169.法二：S4a1a2a3a41，S8S4a5a6a7a83，由得44d2，即8d1，a17a18a19a20(a5a6a7a8)412d348d369.法三：即得d，a17a18a19a204a1744464d18

5、9.(2)法一：(巧用性質(zhì))因?yàn)榈炔顢?shù)列共有2n1項(xiàng)，所以S奇S偶an1，即132120，解得n10.法二：(基本量思想)可設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d.依題意可列方程組即所以，即n10.【答案】(1)A(2)10若數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列.(2)若項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng)，則Snn(anan1)，S偶S奇nd，S偶S奇an1an；若項(xiàng)數(shù)為2n1項(xiàng)，則S2n1(2n1)a2n1，S偶S奇an1，S偶S奇nn1.再練一題2.(1)等差數(shù)列an中，a2a7a1224，則S13_.(2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2n1

6、，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】(1)由a2a7a1224，得a78.所以S1313a713104.(2)因?yàn)閍n2n1，所以a13.所以Snn22n，所以n2，所以是公差為1，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，所以前10項(xiàng)和為310175.【答案】(1)104(2)75探究共研型等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征探究1將首項(xiàng)為a12，公差d3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？【提示】首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn2nn2n，顯然Sn是關(guān)于

7、n的二次型函數(shù).如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么當(dāng)n1時(shí)，S1a14.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an6n2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列.一般地，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1dn2n，若令A(yù)，Ba1，則上式可寫成SnAn2Bn(A，B可以為0).探究2已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn25n，試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象.你能說明數(shù)列an的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項(xiàng)和有最值嗎？【提示】Snn25n，它的圖象是分布在函數(shù)yx25x的圖象上的離散的點(diǎn)，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了an前n項(xiàng)為負(fù)數(shù).由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n2或3時(shí)，S

8、n最小，最小值為6，即數(shù)列an前2項(xiàng)或前3項(xiàng)和最小.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn33nn2，(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)問an的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng).(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解.(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解.【自主解答】(1)法一：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1342n，又當(dāng)n1時(shí)，a1S1323421滿足an342n.故an的通項(xiàng)公式為an342n.法二：由Snn

9、233n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以an是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故數(shù)列an的前17項(xiàng)大于或等于零.又a170，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大.法二：由yx233x的對(duì)稱軸為x.距離最近的整數(shù)為16,17.由Snn233n的圖象可知：當(dāng)n17時(shí)，an0，當(dāng)n18時(shí)，an0，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大.(3)由(2)知，當(dāng)n17時(shí)，an0；當(dāng)n18時(shí)，an0.所以當(dāng)n17時(shí)，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.當(dāng)n18時(shí)，Sn|a1|a2|a17

10、|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544.故Sn1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小).(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.2.尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找.(2)利用到y(tǒng)ax2bx(a0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).3.求解數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和，應(yīng)先判斷an的各項(xiàng)的正負(fù)，然后去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.再

11、練一題3.在等差數(shù)列中，a1023，a2522.(1)該數(shù)列第幾項(xiàng)開始為負(fù)；(2)求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.【解】設(shè)等差數(shù)列an中，公差為d，由題意得(1)設(shè)第n項(xiàng)開始為負(fù)，an503(n1)533n，從第18項(xiàng)開始為負(fù).(2)|an|533n|當(dāng)n17時(shí)，Snn2n；當(dāng)n17時(shí)，Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，Sn2S17n2n884，Sn1.設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和.若S10S11，則a1()A.18 B.20 C.22 D.24【解析】由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.【答案】B2.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】由題意得S偶S奇5d15，d3.或由解方程組求得d3，故選C.【答案】C3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n21)(n1)212n1，又因?yàn)閚1時(shí)an2n11a1，所以an【答案】4.數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn(n1)2，則的值為_. 【解析】等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的形式為Snan2bn，1.【答案】15.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Sn2n230n