1、難點2.2 導數(shù)與不等式相結合問題導數(shù)是高中數(shù)學選修板塊中重要的部分，應用廣泛，教材中重點介紹了利用導數(shù)求切線、判斷單調性、求極值、最值等基礎知識，但是高考數(shù)學是以能力立意，所以往往以數(shù)列、方程、不等式為背景，綜合考察學生轉化和化歸、分類討論、數(shù)形結合等數(shù)學思想的應用能力，面對這種類型的題目，考生會有茫然，無所適從的感覺，究其原因是沒有認真分析總結這種題目的特點和解題思路，本文介紹利用導數(shù)解決不等式問題的思路，以饗讀者.1.利用導數(shù)證明不等式在初等數(shù)學中，我們學習過好多種證明不等式的方法，比如綜合法、分析法、比較法、反證法、數(shù)學歸納法等，有些不等式，用初等方法是很難證明的，但是如果用導數(shù)卻相對

2、容易些，利用導數(shù)證明不等式，主要是構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質達到證明的目的.1.1 利用單調性證明不等式構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性證明不等式例1. 【2018廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】已知函數(shù).（1）若在上遞增，求的取值范圍；（2）證明： .思路分析：（1）要使在上遞增，只需，且不恒等于0，所以先求得函數(shù)的增區(qū)間， 是增區(qū)間的子區(qū)間.（2）當時， ， 顯然成立. 當時，即證明 ，令（），即求，由導數(shù)可證. ，從而在上遞減，即.綜上， .點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)最值以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，命題主要是和導數(shù)、絕對值不等式及柯西不等式相

3、結合，導數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準確解答首先觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明.1.2 通過求函數(shù)的最值證明不等式 在對不等式的證明過程中，可以依此不等式的特點構造函數(shù)，進而求函數(shù)的最值，當該函數(shù)的最大值或最小值對不等式成立時，則不等式是永遠是成立的，從而可將不等式的證明轉化到求函數(shù)的最值上來.例2. 【甘肅省張掖市2018屆第一次質量檢測】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍；（2）設函數(shù)，若存在，使不等式成立，求的取值范圍.思路分析：（1）由，得，所以在上單調遞增，可得，從而得；（2）存在

4、，使不等式成立，等價于，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出，只需即可得結果.點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值和最值，考查了函數(shù)的思想和考生的發(fā)散思維能力，屬于中檔題.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，首先求出函數(shù)的定義域，忽略定義域是最常見的錯誤；證明不等式通過構造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調性，求得其最值是最常用的思想方法，本題解答的難點是（3）中通過構造新函數(shù)并求得其極值點，從而判斷的范圍是解題的關鍵. 1.3多元不等式的證明含有多元的不等式，可以通過對不等式的等價變形，通過換元法，轉化為一個未知數(shù)的不等式，或可選取主元，把其中的一個未知數(shù)作為變量，其他未知數(shù)作為參數(shù)，再證明之.例3

5、已知函數(shù).（1)已知函數(shù)f(x)在點（l ，f（1）處與x軸相切，求實數(shù)m的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (3)在(1)的結論下，對于任意的0a b,證明：思路分析：（1）由已知可得，由于函數(shù)在點處與軸相切，又直線軸的斜率為0，根據導數(shù)的幾何意義，所以有，從而可求出實數(shù)的值；（2）因為，所以有必要對的取值范圍進行分類討論.當時，有，此時函數(shù)在上單調遞增；當時，有，由得，由，得，此時函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.（3）由（1）知，得，對于任意的，可化為，即，由（2）知，函數(shù)在上單調遞減，且，于是上式成立.故對于任意的，成立. (3)由(1) 知,得對于任意的，可化為其中,其中,即，由(

6、2)知, 函數(shù)在遞減,且,于是上式成立，故對于任意的，成立. 點評：在第二問中要注意分類討論標準的確定，當時，可借助一次函數(shù)的圖像來判斷導函數(shù)符號，同時要將零點和定義域比較；第二問中將不等式等價變形為，要利用換元法，將不等式轉化為關于的不等式2.利用導數(shù)求解與不等式有關的恒成立問題或者有解、無解問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據不等式的特點，等價變形，構造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉化為求函數(shù)的最值問題來處理：例4【2018安徽阜陽一中二?！恳阎€ 在點 處的切線是 .（1）求實數(shù) 的值；（2）

7、若 對任意 恒成立，求實數(shù) 的最大值.思路分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求解，計算和，即可求出的值；（2）分離參數(shù)，構造新函數(shù)，求函數(shù)的最值，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性，即可求出最值. 3.利用導數(shù)解不等式通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性得到不等式的解集.例5.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)在上恒有，則不等式 的解集為 ( )A B C D思路分析：因為的解析式不確定，由，結合所求不等式的形式，想到構造函數(shù)，則，故單調遞減，由，則不等式解集為解析：不等式 可化為，令，則，因為，所以，則函數(shù)在R上單調遞減，又，則即的解集即為. 點評：該題考察了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，聯(lián)系所求的不等式，構造合適的函數(shù)，通過判斷單調性，得出不等式的解集，是解題的關鍵. 綜合上述五種題