1、3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.知識點(diǎn)一兩角和與差的正切公式思考1怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？答案 tan()，分子分母同除以cos cos ，便可得到.思考2由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式？答案 用替換tan()中的即可得到.梳理名稱簡記符號公式使用條件 兩角和的正切T()tan()，均不等于k(kZ)兩角差的正切T()tan()，均不等于k(kZ)知識點(diǎn)二兩角和與差

2、的正切公式的變形(1)T()的變形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.(2)T()的變形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.類型一正切公式的正用例1(1)已知tan 2，tan()，則tan 的值為 .答案3解析tan tan()3.(2)已知，均為銳角，tan ，tan ，則 .答案解析因?yàn)閠an ，tan ，所以tan()1.因?yàn)椋鶠殇J角，所以(0，)，所以.反思與感悟(1)注意用已知角來表示未知角.(2)利用

3、公式T()求角的步驟：計(jì)算待求角的正切值.縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息.根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角.跟蹤訓(xùn)練1已知是第四象限角，且sin，則tan .答案解析由題意，得cos，tan.tantan.類型二正切公式的逆用例2(1) ；(2) .答案(1)(2)1解析(1)原式tan(4515)tan 60.(2)原式tan(3075)tan 451.反思與感悟注意正切公式的結(jié)構(gòu)特征，遇到兩角正切的和與差，構(gòu)造成與公式一致的形式，當(dāng)式子出現(xiàn)，1，這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往往是“由值變角”的提示.跟蹤訓(xùn)練2求下列各式的值：(1)；(2).解(1)原式tan(4575)tan(30)ta

4、n 30.(2)原式.類型三正切公式的變形使用例3(1)化簡：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若銳角，滿足(1tan )(1tan )4，求的值.解(1)方法一tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.方法二tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1ta

5、n tan )，tan().又，均為銳角，0180，60.反思與感悟兩角和與差的正切公式有兩種變形形式：tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan .當(dāng)為特殊角時(shí)，?？紤]使用變形形式，遇到1與正切的乘積的和(或差)時(shí)常用變形形式.合理選用公式解題能起到快速、簡捷的效果.跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，AB，且tan Atan Btan Atan B，則角C的值為()A. B. C. D.答案A解析tan Atan Btan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)(tan Atan B1).若1tan Atan B0，則cos Acos Bsin Asin B0，即c

6、os(AB)0.0AB，AB與題設(shè)矛盾.由得tan(AB)，即tan C.又0C，C.1.若tan 3，tan ，則tan()等于()A. B. C.3 D.3答案A解析tan().2.已知cos ，且，則tan等于()A. B.7 C. D.7答案D解析由cos ，且，得sin ，所以tan ，所以tan7.故選D.3.已知AB45，則(1tan A)(1tan B)的值為()A.1 B.2 C.2 D.不確定答案B解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B11tan Atan Btan A

7、tan B2.4.已知A，B都是銳角，且tan A，sin B，則AB .答案解析B為銳角，sin B，cos B，tan B，tan(AB)1.又0AB，AB.5.已知3，tan()2，則tan(2) .答案解析由條件知3，則tan 2.tan()2，tan()2，故tan(2)tan().1.公式T()的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律(1)公式T()的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan 與tan 的和或差，分母為1與tan tan 的差或和.(2)符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.2.應(yīng)用公式T()時(shí)要注意的問題(1)公式的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知，、(或)的終邊不能落在y軸上，即不為k(kZ

8、).(2)公式的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換如tan 1，tan ，tan 等.特別要注意tan()，tan().(3)公式的變形應(yīng)用只要用到tan tan ，tan tan 時(shí)，有靈活應(yīng)用公式T()的意識，就不難想到解題思路.特別提醒：tan tan ，tan tan ，容易與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系，應(yīng)注意此類題型.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.若tan ，tan()，則tan 等于()A. B.C. D.答案A解析tan tan().2.tan 23tan 97tan 23tan 97的值為()A.2 B.2C. D.0答案C解析tan(2397)tan 120，tan 23ta

9、n 97tan 23tan 97，原式tan 23tan 97(tan 23tan 97).3.已知tan()，tan，則tan的值為()A. B.C. D.答案A解析因?yàn)?)()，所以tan.4.A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且tan A，tan B是方程3x25x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ABC是()A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無法確定答案A解析tan Atan B，tan Atan B，tan(AB)，tan Ctan(AB)，C為鈍角，即ABC為鈍角三角形.5.若tan 28tan 32a，則tan 28tan 32等于()A.a B.(1a)C.(a1) D.(a1)

10、答案B解析tan(2832)，tan 28tan 32(1a).6.設(shè)向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，則tan等于()A. B.C.3 D.3答案B解析由ab2cos sin 0，得tan 2.tan.7.在ABC中，tan Atan Btan C3，tan2Btan Atan C，則B等于()A.30 B.45C.120 D.60答案D解析由公式變形得tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)tan(180C)(1tan Atan B)tan C(1tan Atan B)tan Ctan Atan Btan C.tan Atan Btan Ctan Ct

11、an Atan Btan Ctan Ctan Atan Btan C3.又tan2Btan Atan C，tan3B3，tan B，B60.二、填空題8.已知tan ，則的值是 .答案9. .答案解析原式tan(7515)tan 60.10.已知，均為銳角，且tan ，則tan() .答案1解析tan ，tan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan 1tan tan ，1，tan()1.11.如圖，在ABC中，ADBC，D為垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD236，則tan BAC . 答案解析ADBC且BDCDAD236，tan BAD，tan CAD，tan BACtan(CADBAD).12.若(tan 1)(tan 1)2，則的最小正值為 .答案三、解答題13.已知tan，tan2，求：(1)tan的值；(2)tan()的值.解(1)tantan.(2)tan()tan23.四、探究與拓展14.如果tan ，tan 是方程x23x30兩根