1、第37講直接證明與間接證明考綱要求考情分析命題趨勢1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點2了解間接證明的一種基本方法反證法，了解反證法的思考過程、特點.2016江蘇卷，202016浙江卷，202016北京卷，20直接證明與間接證明一般考查以不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)、三角函數(shù)為背景的證明問題.分值：710分1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的_推理論證_，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論_成立_，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)(2)分析

2、法定義：從要證明的_結(jié)論_出發(fā)，逐步尋求使它成立的_充分條件_，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法框圖表示：.2間接證明反證法：假設(shè)原命題_不成立_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_矛盾_，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч鸩綄ふ乙阎谋匾獥l件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾()(4)在解決問題時，常常用分析

3、法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()解析 (1)正確(2)錯誤分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，不是充要條件(3)錯誤用反證法證明時，推出的矛盾可以與已知、公理、定理、事實或者假設(shè)等相矛盾(4)正確2用分析法證明：欲使AB，只需CD，這里是的(B)A充分條件B必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 由題意可知，應(yīng)有，故是的必要條件3用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)(B)A三個內(nèi)角都不大于60B三個內(nèi)角都大于60C三個內(nèi)角至多有一個大于60D三個內(nèi)角至多有兩個大于60解析 “至少有一個不大于60”的反面是“都大于6

4、0”4在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_等邊三角形_.解析 由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形5下列條件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0且0，即a，b不為0且同號即可，故有3個一分析法分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證【例1】 已知a0，求證：

5、a2.證明 要證a2，只要證2a，a0，故只要證22，即a244a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立二綜合法綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Ч?，其邏輯依?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性【例2】 已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象在交點(0,0)處有公共切線(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)g(x)解析 (1)f(x)，g(x)bxx2，由題意得解得a0

6、，b1.(2)證明：令h(x)f(x)g(x)ln (x1)x3x2x(x1)，h(x)x2x1，x1，當(dāng)1x0；當(dāng)x0時，h(x)0.則h(x)在(1,0)上為增函數(shù)，在(0，)上為減函數(shù)h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)三反證法(1)適用范圍：當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證(2)關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【例3】 等差數(shù)列的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(n

7、N*)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列解析 (1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列1(2018四川成都診斷)要證a2b21a2b20，只要證明(D)A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0，故選D2若0a1a2,0b1b2，且

8、a1a2b1b21，則下列代數(shù)式中值最大的是(A)Aa1b1a2b2Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1D解析 依題意有0a1，a21,0b1，b20，a1b1a2b2(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b1a2b2a1b1a2b2(a1b2a2b1) (b1b2)(a1a2)0，則a1b1a2b2的值最大，故選A3(2018河南洛陽模擬)數(shù)列an，bn的每一項都是正數(shù)，a18，b116，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列，n1,2,3，.(1)求a2，b2的值；(2)求數(shù)列an，bn的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.解析

9、(1)由2b1a1a2，可得a22b1a124.由ab1b2，可得b236.(2)an，bn，an1成等差數(shù)列，2bnanan1.bn，an1，bn1成等比數(shù)列，abnbn1.數(shù)列an，bn的每一項都是正數(shù)，an1.于是當(dāng)n2時，an.將代入式，可得2.又b116，b236，數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，(n1)d2n2，于是bn4(n1)2.則an4n(n1)當(dāng)n1時，a18，滿足上式，對一切正整數(shù)n，都有an4n(n1)(3)證明：由(2)可知an4n(n1)，.當(dāng)n3時，.當(dāng)n1時，當(dāng)n2時，綜上所述，對一切正整數(shù)n，有.4已知M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意f(x)M，

10、方程f(x)x0有實數(shù)根；函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1.(1)判斷函數(shù)f(x)是不是集合M中的元素，并說明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域為D，則對于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根解析 (1)當(dāng)x0時，f(0)0，所以方程f(x)x0有實數(shù)根0；f(x)cos x，所以，f(x)，滿足0f(x)1.由可得，函數(shù)f(x)是集合M中的元素(2)證明：假設(shè)方程f(x)x0存在兩個實數(shù)根，()，則f()0，f()0.不妨設(shè)，根據(jù)題意存在c(，)，滿足

11、f()f()()f(c)因為f()，f()，且，所以f(c)1，與已知0f(x)bc，且abc0，求證0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)QBPQCPQD由a的取值確定解析 不妨設(shè)PQ，要證PQ，只要證P2Q2，只要證2a722a72，只要證a27aa27a12，只要證012，012成立，PQ成立4要使成立，則a，b應(yīng)滿足(D)AabbBab0且abCab0且a0且ab 或 ab0且ab0，且 ab1，若 0cqBp0，則三個數(shù)，(C)A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2 解析 因為x0，y0，z0，所以6，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立，則三個數(shù)中至少有

12、一個不小于2，故選C二、填空題7設(shè)a2，b2，則a，b的大小關(guān)系為_ab_.解析 a2，b2兩式的兩邊分別平方，可得a2114，b2114，顯然.ab.8用反證法證明命題“若實數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd1，則a，b，c，d中至少有一個是非負(fù)數(shù)”時，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是_a，b，c，d全是負(fù)數(shù)_.解析 “至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”9設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab2；a2 b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號)解析

13、若a，b，則ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，則ab2，故推不出；若a2，b3，則a2b22，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對于，即ab2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1，故能推出三、解答題10(2017江蘇徐州模擬)如圖，AB，CD均為圓O的直徑，CE圓O所在的平面，BFCE，求證：(1)平面BCEF平面ACE；(2)直線DF平面ACE.證明 (1)因為CE圓O所在的平面，BC圓O所在的平面，所以CEBC因為AB為圓O的直徑，點C在圓O上，所以ACBC因為ACCEC，AC，CE平面AC

14、E，所以BC平面ACE.因為BC平面BCEF，所以平面BCEF平面ACE.(2)由(1)知ACBC，又因為CD為圓O的直徑，所以BDBC因為AC，BC，BD在同一平面內(nèi)，所以ACBD因為BD平面ACE，AC平面ACE，所以BD平面ACE.因為BFCE，同理可證BF平面ACE，因為BDBFB，BD，BF平面BDF，所以平面BDF平面ACE.因為DF平面BDF，所以DF平面ACE.11設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解析 (1)分兩種情況討論當(dāng)q1時，數(shù)列an是首項為a1的常數(shù)列，所以Sna1a1a1a1na1.當(dāng)q1時，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan.將上面兩式相減得(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSn.綜上，Sn，綜上，Sn(2)證明：設(shè)an是公比q1的等比數(shù)列，假設(shè)數(shù)列an1是等比數(shù)列，則 (a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得a1(q1)20得a1