1、高考微專(zhuān)題六數(shù)列題的求解技巧,數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)板塊之一,解答數(shù)列試題要熟悉數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),還要運(yùn)用大量的數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)列試題對(duì)考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有極高的價(jià)值.下面總結(jié)解答數(shù)列試題的九大技巧.,技巧一巧用定義直接解題 【例1】 (2016河南省鄭州一中高三三聯(lián))已知數(shù)列an和bn都是等差數(shù)列,若a2+b2=3,a4+b4=5,則a7+b7等于() (A)7(B)8(C)9(D)10,思路點(diǎn)撥:兩個(gè)等差數(shù)列的和組成的新數(shù)列還是等差數(shù)列. 解析:設(shè)cn=an+bn,則cn也是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則d= =1, 所以c7=c4+3d=8,即a7+b7=8.故選B.,反思?xì)w納 根據(jù)等差數(shù)列

2、、等比數(shù)列的定義,在解題中判斷新數(shù)列的類(lèi)別,直接使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.,技巧二巧用項(xiàng)的性質(zhì)減少計(jì)算,(A)6(B)7(C)5或6 (D)6或7,解析:因?yàn)閐a13,所以a1=-a13,即a1+a13=2a7=0,即a7=0,所以數(shù)列an的前6項(xiàng)為正值,從第8項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值,所以當(dāng)n=6,7時(shí)Sn取得最大值.故選D.,反思?xì)w納 巧用等差數(shù)列、等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)可以有效減少運(yùn)算量.,技巧三巧用升降角標(biāo)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化 【例3】 (2016河北石家莊高三下二檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-4,(nN*),則an等于() (A)2n+1(B)2n(C)2n-1(D)2n-

3、2,思路點(diǎn)撥: 對(duì)Sn=2an-4升級(jí)一個(gè)角標(biāo)后再得一個(gè)等式,兩式相減得出數(shù)列遞推式后判別數(shù)列類(lèi)型求得其通項(xiàng)公式. 解析:當(dāng)n2時(shí),Sn+1=2an+1-4,又由Sn=2an-4可得an+1=2an+1-2an,即an+1= 2an,a1=S1=2a1-4,得a1=4.所以an=42n-1=2n+1.故選A.,反思?xì)w納 在含有an,Sn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立的等式中,可以通過(guò)升降角標(biāo)的方法再得出一個(gè)等式,通過(guò)兩式相減得出數(shù)列遞推式,再根據(jù)遞推式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和解決其他問(wèn)題.,技巧四巧用不完全歸納找規(guī)律 【例4】 (2016石家莊二檢)已知數(shù)列an滿(mǎn)足an+2=an+1-an,且a1=2, a

4、2=3,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S2 016的值為() (A)0(B)2(C)5(D)6,思路點(diǎn)撥:計(jì)算前面的若干項(xiàng),發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 解析:a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,該數(shù)列是以6為周期的數(shù)列,且一個(gè)周期內(nèi)六項(xiàng)之和為0,2 016=3366,所以S2 016=0.故選A.,反思?xì)w納 求出數(shù)列的若干項(xiàng),發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律性不但有助于探索解題途徑,也有助于得出正確的結(jié)論,在解客觀(guān)題時(shí)可以使用不完全歸納法直接得出問(wèn)題的答案.,技巧五巧用等差數(shù)列求和公式突破關(guān)鍵 【例5】 (2017山西五校高三上一聯(lián))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若 a1 0080,a1 00

5、7+a1 0080,則滿(mǎn)足SnSn+10的正整數(shù)為() (A)2 013(B)2 014(C)2 015(D)2 016,反思?xì)w納 巧用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn= =an2+bn以及當(dāng)m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq(其中m,n,p,q為正整數(shù))可以簡(jiǎn)捷地解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和相關(guān)的問(wèn)題.,技巧六巧用裂項(xiàng)實(shí)現(xiàn)求和,技巧七巧用分組妙求和 【例7】 已知函數(shù)f(n)=n2cos(n),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+ a100=.,思路點(diǎn)撥:先根據(jù)an=f(n)+f(n+1)對(duì)求和式進(jìn)行分組,再根據(jù)f(n)= n2cos(n)進(jìn)行分組求和,最后求得結(jié)果. 解析:a1+a

6、2+a100 =f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(99)+f(100)+f(100)+f(101) =2f(1)+f(2)+f(3)+f(100)-f(1)+f(101) =2(-11+22-32+42+-992+1002)+1-1012 =2(3+7+11+199)+1-1012 =2 50+1-1012 =-100. 答案:-100,反思?xì)w納 分組求和方法是分類(lèi)與整合思想在數(shù)列求和問(wèn)題中的具體體現(xiàn),其基本特點(diǎn)是把求和目標(biāo)分成若干部分,先求出部分和,再整合部分和的結(jié)果得出整體和.,技巧八巧用輔助數(shù)列求通項(xiàng) 【例8】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,an=.,思路點(diǎn)撥:先求出a1,a2,再通過(guò)升降角標(biāo)的方法得出數(shù)列的遞推式,變換遞推式得出輔助數(shù)列,求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,答案:3n-2n,反思?xì)w納 已知數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),基本思想就是通過(guò)變換遞推式把其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列(輔助數(shù)列),求出輔助數(shù)列的通項(xiàng),再通過(guò)變換求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.,技巧九巧用特值驗(yàn)算保準(zhǔn)確 【例9】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 49612168 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= ,則其前n項(xiàng)和Sn=.,思路點(diǎn)撥:使用“錯(cuò)位相減法”