1、4-5 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,（一） 前言,既然根軌跡是系統(tǒng)特征方程的根隨著某個(gè)參數(shù)變動(dòng)在s平面上移動(dòng)的軌跡，那么，根軌跡的形狀不同，閉環(huán)特征根就不同，系統(tǒng)的性能就不一樣。工程上，為了改善系統(tǒng)的性能，往往需要對(duì)根軌跡進(jìn)行改造。 從前面的分析可知，系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)。因此，可通過增加開環(huán)零、極點(diǎn)的手段來(lái)改造根軌跡，從而實(shí)現(xiàn)改善系統(tǒng)性能的目的。 根據(jù)根軌跡的繪制法，增加開環(huán)零、極點(diǎn)和偶被子對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響總結(jié)如下。,（二） 增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,(1) 改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。 (2) 改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。 (3

2、) 若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。 (4) 根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，所加的零點(diǎn)越靠近虛軸，影響越大。,由繪制根軌跡的法則，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有以下影響：,（三） 增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,(1) 改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。 (2) 改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。 (3) 改變了根軌跡的分支數(shù)。 (4) 根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所增加的極點(diǎn)越靠近虛軸，這種影響就越大。,由繪制根軌跡的法則，增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有以下影

3、響：,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,(1) 開環(huán)偶極子對(duì)離它們較遠(yuǎn)的根軌跡形狀及根軌跡增益Kg沒有影響，因?yàn)閺呐紭O子至根軌跡遠(yuǎn)處某點(diǎn)的向量基本相等，它們?cè)诜禇l件及相角條件中可以相互抵消。 (2) 若開環(huán)偶極子位于s平面原點(diǎn)附近，則由于一般選?。ㄅ渲茫┑拈]環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn)，它們對(duì)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置及增益Kg均無(wú)影響。但是，開環(huán)偶極子將顯著地影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，從而在很大程度上影響系統(tǒng)的靜態(tài)性能。其原因如下：,開環(huán)偶極子是指一對(duì)距離很近的開環(huán)零、極點(diǎn)，它們之間的距離比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)左右。為系統(tǒng)增加一對(duì)開環(huán)偶極子，其效應(yīng)有：,其中，K為開環(huán)放大系數(shù)，Kg為根軌跡增益。由

4、K與系統(tǒng)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka的關(guān)系，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于K的大小。現(xiàn)增加一極點(diǎn)比零點(diǎn)更靠近虛軸的偶極子-zc,-pc，且zcpc0。,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,其中，Kc1。上式表明，加入偶極子后，系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)提高了Kc倍，顯然對(duì)提高靜態(tài)性能大有好處。,【例1】 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若給此系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p=-2，或增如一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)-z=-2；分別討論對(duì)系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。 解：開環(huán)傳遞函數(shù)，原系統(tǒng)Gk(s)，增加極點(diǎn)的系統(tǒng)Gp(s)，增加零點(diǎn)的系統(tǒng)Gz(s)：,分別繪制各系統(tǒng)的根軌跡得：,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,可見，增加極點(diǎn)后根軌跡

5、及其分離點(diǎn)都向右偏移；增加零點(diǎn)后使根軌跡及其分離點(diǎn)都向左偏移。,原來(lái)的二階系統(tǒng)，Kg從0變到無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)后，當(dāng)Kg增大到一定程度時(shí)，有兩條根軌跡跨過虛軸進(jìn)入s平面右半部，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。當(dāng)軌跡仍在s平面左側(cè)時(shí)，隨著Kg的增大，阻尼角增加，變小，振蕩程度如劇，特征根進(jìn)一步接近虛軸，衰減振蕩過程變得很緩慢?？偠灾黾娱_環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能是不利的。,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,在工程設(shè)計(jì)中，常采用增加零點(diǎn)的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。,增加開環(huán)零點(diǎn)的效應(yīng)恰恰相反，當(dāng)Kg從0變至無(wú)窮大時(shí)根軌跡始終都在s左半平面，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。隨著Kg的增大，閉環(huán)極點(diǎn)由兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)

6、變?yōu)楣差H復(fù)數(shù)，以后再變?yōu)閷?shí)數(shù)，相對(duì)穩(wěn)定性比原系統(tǒng)更好；阻尼角變小，更大。因此系統(tǒng)的超調(diào)量變小，調(diào)節(jié)時(shí)間變短，動(dòng)態(tài)性能有明顯的提高。,【例2】 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用根軌跡法討論增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解：此系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：-p1=-p2=0，-p3=-10，無(wú)開環(huán)零點(diǎn)。按根軌跡繪制法則得出的根軌跡草圖如下。,其中有兩條報(bào)軌跡分支始終位于平面右半部，這說明無(wú)論K8取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。這種系統(tǒng)屬結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定系統(tǒng)。,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,其中有兩條根軌跡分支始終位于s平面右半部，這說明無(wú)論Kg取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。這種系統(tǒng)屬結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定系統(tǒng)。,若在系統(tǒng)中增加一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的開環(huán)零點(diǎn)，使系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?設(shè)-zc在-10到0之間，增如零點(diǎn)后的系統(tǒng)根軌跡如圖b所示。當(dāng)Kg由0變至無(wú)窮時(shí)，3條根軌跡全部落在s平面左半部，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由于閉環(huán)特征根是共扼復(fù)數(shù)，故階躍響應(yīng)呈衰減振蕩形式。,（三） 增加開環(huán)耦極子對(duì)根軌跡的影響,