1、CAD/CAM技術(shù)基礎(chǔ),閆崇京 機(jī)電學(xué)院航空宇航制造工程系,三次樣條曲線,主要內(nèi)容,1. 插值問(wèn)題和樣條函數(shù) 2. 三次樣條的理論基礎(chǔ),1. 插值問(wèn)題和樣條函數(shù),1.1 插值問(wèn)題 1.2 樣條函數(shù)的工程背景 1.3 三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義,1.1 插值問(wèn)題,插值 給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi,zi),i=0,1, ,n，要求構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值（interpolation），所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為插值曲線。 逼近 構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最為接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近（approximation），所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為逼近曲線。 擬合 插值和逼

2、近統(tǒng)稱(chēng)為擬合（fitting）。,線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線性函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱(chēng)為f(x)的線性插值函數(shù)。 拋物線插值:已知在三個(gè)互異點(diǎn) 的函數(shù)值為 ，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點(diǎn) 處與 在 處的值相等,線性插值與拋物線插值,1.1 插值問(wèn)題,求 解 插 值 問(wèn) 題 的 基 本 思 路,幾 種 常 用 插 值 方 法,分段線性插值： 收斂性良好 只用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，且線性，簡(jiǎn)單實(shí)用 曲線不光滑 三次樣條插值:(*) 曲線2階光滑，收斂性有保證 實(shí)際中應(yīng)用廣泛 誤差估計(jì)較難 B樣條插值： 曲線光滑隨B樣條的次數(shù)增加而增加，收斂性有保證 實(shí)際中

3、應(yīng)用廣泛 理論知識(shí)比較復(fù)雜，編程實(shí)現(xiàn)比較繁瑣,分段線性插值,三次樣條插值,兩種插值方式的圖例,1.2 樣 條 函 數(shù) 的 工程背景,飛機(jī)、船體、汽車(chē)外形的放樣（設(shè)計(jì)）,模線繪制的一般過(guò)程,打點(diǎn)：按給定的數(shù)據(jù)將型值點(diǎn)準(zhǔn)確地點(diǎn)在圖板上,描線：用“壓子”使“樣條”通過(guò)型值點(diǎn),放 樣 現(xiàn) 場(chǎng),模線的形狀特征,分段：兩個(gè)“壓子”之間可以認(rèn)為是一段。數(shù)學(xué)本質(zhì)是每?jī)蓚€(gè)“壓子”之間曲線的表達(dá)式不同 光滑：不象每?jī)牲c(diǎn)之間連線那樣有明顯的棱角。數(shù)學(xué)本質(zhì)是整條曲線具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),模線的力學(xué)實(shí)質(zhì),由于M(x)是線性函數(shù)，所以y(x)是三次多項(xiàng)式。,歐拉公式,平面曲線的曲率,1.3 三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義,定義 給定

4、a,b的分劃：a=x0x1xn=b, 如果函數(shù)s(x)在區(qū)間a,b上滿足以下條件： （1）在每一個(gè)子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多項(xiàng)式； （2） s(x)在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n), s(x0)=y0, s(xn)=yn。 我們就稱(chēng)s(x)為三次樣條函數(shù)。,2. 三次樣條的理論基礎(chǔ),2.1 Hermite 基 函 數(shù) 2.2 三切矢方程 2.3 三次樣條插值的局限性,Charles Hermite（18221901） 法國(guó)洛林（Lorraine ） 巴黎綜合工科技術(shù)學(xué)院 曾任法蘭西學(xué)院、巴黎高等師范學(xué)校、巴黎大學(xué)

5、教授。法蘭西科學(xué)院院士。 在函數(shù)論、高等代數(shù)、微分方程等方面都有重要發(fā)現(xiàn)。1858年利用橢圓函數(shù)首先得出五次方程的解。1873年證明了自然對(duì)數(shù)的底e的超越性。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中以他姓氏命名的概念（表示某種對(duì)稱(chēng)性）很多，如“Hermite二次型”、“Hermte算子”等。,2.1 Hermite 基 函 數(shù),問(wèn)題：自變量為u,區(qū)間0,1上兩端點(diǎn)的 ，構(gòu)造三次曲線滿足條件：,y(u)中系數(shù)ai的確定,系數(shù),y(u)中系數(shù)ai的確定,y(u)中系數(shù)ai的確定,Hermite基函數(shù)的性質(zhì),埃爾米特基函數(shù)或 三次混合函數(shù)，其 中,稱(chēng)為,例題,求過(guò)0,1兩點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三次插值多項(xiàng)式,滿足條件： f(0)=1

6、, f (0)=1/2 , f(1)=2, f (1) =1/2,解：,2.2 三 切 矢 方 程,x,問(wèn)題：設(shè)圖中的y(x)是三次樣條曲線，區(qū)間xi-1, xi兩端的函數(shù)值yi-1,yi,和一階導(dǎo)數(shù)mi-1,mi已知，如何將該區(qū)間內(nèi)的曲線用Hermite基函數(shù)表示？,自變量取x， 取區(qū)間寬度hi= xi-xi-1,則 記 矩陣表達(dá)式,三切矢方程,三切矢方程的普通表達(dá)形式,如何求解：（n-1）個(gè)線性方程，內(nèi)節(jié)點(diǎn)的m1、m2、 、mn-1未知,三切矢方程的邊界條件, 已知m0和mn, 已知兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)。, 未知、 相鄰三個(gè)節(jié)點(diǎn)擬合拋物線，并數(shù)值微分求端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。,三切矢方程的求解,兩個(gè)邊界條件,追趕法求解,二階連續(xù)的條件,2.3 三次樣條插值的局限性,不能解決大撓度問(wèn)題。 不具有局部可修改性。 曲線中夾有直線段時(shí)擬合效果不好。 擬合二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)曲線產(chǎn)生較大波動(dòng),參數(shù)樣條解決,B樣條,曲線中夾有直線段時(shí)擬合效果不好,若,兩點(diǎn)間為直線，令,=,在,兩點(diǎn)間嚴(yán)格為直線，它具有所需要的斜率,其方程為,(3.12),擬合二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)曲線產(chǎn)生較大波動(dòng),