1、華東師范大學(xué)2007年數(shù)分試題及解答1 判斷題1. 設(shè)在的鄰域內(nèi)有定義且有界，若不存在，則存在數(shù)列，使得，而和都存在，但是不相等.解：正確，任取一包含于，收斂于的數(shù)列，由于有界，存在子列，使得收斂;但是由于不存在，及Heine歸結(jié)原理（逆否命題），得到結(jié)論.2. 設(shè)在有限區(qū)間上可導(dǎo)，且在上有界，則在上有界.解答：正確.設(shè)，取定，我們有 ，在與之間，即得在上有界.3. 設(shè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂.解答：錯.反例，收斂，而發(fā)散.4. 設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則對任意，.解答：對.將零延拓至整個，記延拓后函數(shù)為，則按段光滑，且，利用Fourier級數(shù)收斂定理，即得結(jié)論.5. 設(shè)在處連續(xù)，且，則在處

2、可微.解答：錯.考慮函數(shù)，顯然在處連續(xù)，但是在處不可微.2 計(jì)算題1. 求；解：；2. 求，其中，為非零常數(shù).解：.3. 求級數(shù)的和函數(shù)和收斂區(qū)域.解：設(shè)，顯然有，于是當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散.顯然收斂，當(dāng)，或者時，收斂，故級數(shù)的收斂域是；設(shè)，從而.4. 設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求，.解：由，知， .5. 求，其中是球面被平面，截得的球冠部分.解：， .三1. 設(shè)是一列有界的正實(shí)數(shù)列，求證：.證明：證法一 對，使得，當(dāng)時，由，對于上述，當(dāng)時，有，取，當(dāng)時，有,故有.證法二 由知，.對任意，當(dāng)，有，從而，于是，故有.2. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足：對任意，存在，使得在有.求證：存在，使得在上有.證

3、明：，取題目所示的區(qū)間及，.由于.利用有限覆蓋定理，存在，使得，取，則，使得，.3. 設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且收斂.若含參量反常積分在上一致收斂.求證：對任意的，.證明：由題設(shè)條件，（1） 收斂，使得時，有；（2） 在上一致收斂，對于上述，存在，使得時，取，有，,于是從而對, 而由的任意性，有，再由的連續(xù)性，及的任意性，即得，.4. 設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)列，且，（1） ；（2） 對任意，在上一致收斂于零.求證：對任意上的連續(xù)函數(shù)，成立.證明：由題意，知（1） 在上連續(xù)，從而有界，使得，（2） 由，知，使得當(dāng)時，；（3） 在處連續(xù)，而有，使得時，有；（4） 對于上述的，在上一致收斂于零，而有對上述，,使得當(dāng)，時