1、高考專題突破三高考中的數(shù)列問題【考點(diǎn)自測】1(2017洛陽模擬)已知等差數(shù)列an的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則等于()A2 B3 C5 D7答案B解析在等差數(shù)列an中，a2，a4，a8成等比數(shù)列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，d0，da1，3.故選B.2(2018衡水調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B.C. D.答案A解析設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為1.3若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個不

2、同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A6 B7 C8 D9答案D解析由題意知abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有：a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故選D.4(2017江西高安中學(xué)等九校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1a6a113，b1b6b117，則tan 的值是()A1 B.C D答案D解析an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a1a6a113，b1b6b117，a()

3、3,3b67，a6，b6，tantantantantantan .5(2018保定模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對任意nN*都有Snan，若1Sk9 (kN*)，則k的值為_答案4解析由題意，Snan，當(dāng)n2時，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，an2an1，又a11，an是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k0，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e22，求eee.解(1)由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，兩式相減得an2qan1，n1.又由S2qS11

4、得a2qa1，故an1qan對所有n1都成立所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，從而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差數(shù)列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1，所以雙曲線x21的離心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思維升華 等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等

5、比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的跟蹤訓(xùn)練1(2018滄州模擬)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)TnSn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得

6、Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故0SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以S2SnSnS2.綜上，對于nN*，總有Sn.所以數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2(2018邢臺模擬)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)镾1a1，S22a122a12，S44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn1.

7、當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn(或Tn)思維升華 (1)一般求數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等跟蹤訓(xùn)練2(2018大連模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，an1an(nN*)(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn.(1)證明a1，an1an，當(dāng)nN*時，0，又，(nN*)為常數(shù)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得n1，annn.Sn12233nn，Sn1223(n1)nnn1，兩式相減得Sn23

8、nnn1nn1，Sn2n1nn2(n2)n.綜上，annn，Sn2(n2)n.題型三數(shù)列與其他知識的交匯命題點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)的交匯例3(2018長春模擬)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知，得b7，b84b7，有4，解得da8a72，所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)ln 2，故函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處

9、的切線方程為yln 2(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意，得a22，解得a22，所以da2a11.從而ann，bn2n，.所以Tn，2Tn.兩式相減，得2TnTn12.所以Tn.命題點(diǎn)2數(shù)列與不等式的交匯例4(2016天津)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的nN*，bn是an和an1的等比中項(xiàng)(1)設(shè)cnbb，nN*，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；(2)設(shè)a1d，Tn (1)kb，nN*，求證： .證明(1)由題意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差數(shù)列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a

10、2a4a2n)2d2d2n(n1)所以 62成立的正整數(shù)n的最小值解(1)由題意，得解得或an是遞增數(shù)列，a12，q2，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n12n.(2)bnanan2n2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，則2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，則Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值為6.3(2018梅州質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，點(diǎn)(，an1)(nN*)在函數(shù)yx21的圖象上，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn2bn.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，求cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)點(diǎn)(，an1)(nN

11、*)在函數(shù)yx21的圖象上，an1an1，數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列a11，an1(n1)1n，Sn2bn，Sn12bn1，兩式相減，得bn1bn1bn，即，由S12b1，即b12b1，得b11.數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，bnn1.(2)log2bn1log2nn，cn，Tnc1c2cn1.4(2018佛山模擬)在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；(3)是否存在kN*，使得0，a3a55，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，a3a

12、54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，Sn.(3)由(2)知Sn，.當(dāng)n8時，0；當(dāng)n9時，0；當(dāng)n9時，0.當(dāng)n8或n9時，18最大故存在kN*，使得1時，則an2an2an1，2.當(dāng)n1時，S12a12，得a12，綜上，an是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，an2n.(2)證明a24b1，b11.nbn1(n1)bnn2n，1，綜上，是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，1n1，可得bnn2.(3)解令pnc2n1c2n(4n1)22n2(4n1)4n1.，得3T2n34044144244n1(4n1)4n，3T2n3(4n1)4nT2n4n.6已知數(shù)列an，bn，其中，a1，數(shù)列an滿足(n1)an(n1)an1 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足b12，bn12bn.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)是否存在自然數(shù)m，使得對于任意nN*，n2，有1恒成立？若存在，求出m的最小值；(3)若數(shù)列cn滿足cn求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由(n1)an(n1)an1，即(n2)又a1，所以ana1.當(dāng)n1時，上式成立，故an.因?yàn)閎12，bn12bn，所以bn是首項(xiàng)