1、第二章 平面解析幾何初步自我校對(duì)(x2x1)點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式一般式_直線方程及兩直線的位置關(guān)系1.直線方程的五種形式及其選取直線方程的五種形式各有優(yōu)劣，在使用時(shí)要根據(jù)題目條件靈活選擇，尤其在選用四種特殊形式的方程時(shí)，注意其適用條件，必要時(shí)要對(duì)特殊情況進(jìn)行討論2兩條直線的平行與垂直兩條直線的平行與垂直是解析幾何中兩條直線最基本的位置關(guān)系，其判定如下：位置關(guān)系l1：yk1xb1，l2：yk2xb2或l1：A1xB1yC10(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不同時(shí)為0)平行l(wèi)1l2k1k2且b1b2或l1l2垂直l1l2k1k21或l1l2A1A2B1B20過點(diǎn)P(1,0)，

2、Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程. 【精彩點(diǎn)撥】考慮直線斜率是否存在，不存在時(shí)可直接求出，存在時(shí)設(shè)方程利用截距關(guān)系求k.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，滿足題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2.令y0，分別得x1，x.由題意得1，即k1.則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.再練一題1求經(jīng)過兩直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)且與直線

3、3xy10平行的直線l的方程【解】法一由方程組得直線l和直線3xy10平行，直線l的斜率k3，根據(jù)點(diǎn)斜式有y3.即所求直線方程為15x5y20.法二直線l過兩直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為：2x3y3(xy2)0，即(2)x(3)y230.直線l與直線3xy10平行，解得.從而所求直線方程為15x5y20.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡(jiǎn)化解題過程2解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來確定兩圓

4、的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形來形象直觀地分析問題如圖21所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.圖21(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)【精彩點(diǎn)撥】(1)設(shè)出方程，求出弦心距，由點(diǎn)到直線的距離公式求k.(2)設(shè)出方程，由直線與圓的位置關(guān)系及幾何性質(zhì)列方程求出參數(shù)【規(guī)范解答】(1)由于直線x4與圓

5、C1不相交，所以直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為yk(x4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，所以d1.由點(diǎn)到直線的距離公式得d，從而k(24k7)0，即k0或k，所以直線l的方程為y0或7x24y280.(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為ybk(xa)，k0，則直線l2的方程為yb(xa)因?yàn)閳AC1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|，從而13kakb5k4abk或13kakb5k4ab

6、k，即(ab2)kba3或(ab8)kab5，因?yàn)閗的取值范圍有無窮多個(gè)，所以或解得或這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1或點(diǎn)P2.經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿足題目條件再練一題2如圖22，平面直角坐標(biāo)系中，已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，圖22(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN2時(shí)，求直線l的方程【解】(1)設(shè)圓A的半徑為R.由于圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連結(jié)AQ

7、，則AQMN.MN2，AQ1，則由AQ1，得k.直線方程為3x4y60.綜上，直線l的方程為x2或3x4y60.圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題，往往是已知圓的方程f(x，y)0，求，yx，x2y2等量的最值或范圍解決的方法是：設(shè)(x，y)是圓上任意一點(diǎn)，分別把給定的式子，yx，x2y2賦予一定的幾何意義，這樣就把有關(guān)最值問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系問題，再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定最值已知實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式：x2y26x4y120，點(diǎn)P(x，y)，A(1,0)，B(1,0)(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求PA2PB2的最大值和最小值【精彩點(diǎn)撥】(1)轉(zhuǎn)化為過

8、圓上的點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率問題(2)令mxy，轉(zhuǎn)化為直線與圓相切的問題(3)令PA2PB2m2，化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為兩圓相切問題【規(guī)范解答】根據(jù)題意，設(shè)圓C：(x3)2(y2)21，圓心C(3,2)(1)設(shè)k，則當(dāng)直線ykx與圓C相切時(shí)，取得最值此時(shí)1，k，的最大值為，最小值為.(2)設(shè)xym，則當(dāng)直線yxm與圓C相切時(shí)，xy取得最值此時(shí)1，m1，xy的最大值為1，最小值為1.(3)設(shè)PA2PB2m2，則有x2y2，m22.當(dāng)圓x2y2與圓C相切時(shí)，PA2PB2取得最值，此時(shí)1，解得m2304.PA2PB2的最大值為304，最小值為304.再練一題3如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x3)2

9、(y3)26，求：(1)的最大值與最小值；(2)xy的最大值與最小值【解】(1)設(shè)方程(x3)2(y3)26所表示的圓C上的任意一點(diǎn)P(x，y).的幾何意義就是直線OP的斜率，設(shè)k，則直線OP的方程為ykx.由圖(1)可知，當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，斜率取最值因?yàn)辄c(diǎn)C到直線ykx的距離d，所以當(dāng)，即k32時(shí)，直線OP與圓相切所以的最大值與最小值分別是32與32.(1)(2)(2)設(shè)xyb，則yxb，由圖知，當(dāng)直線與圓C相切時(shí)，截距b取最值而圓心C到直線yxb的距離為d.因?yàn)楫?dāng)，即b62時(shí)，直線yxb與圓C相切，所以xy的最大值與最小值分別為62與62.待定系數(shù)法的應(yīng)用待定系數(shù)法，就是所研究的式子(

10、方程)的結(jié)構(gòu)是確定的，但它的系數(shù)(部分或全部)是待定的，然后根據(jù)題目所給條件來確定這些系數(shù)的方法本章中求直線和圓的方程常用待定系數(shù)法，采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：選擇圓的方程的某一形式；由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)；解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))；代入所設(shè)方程求直線方程時(shí)一般有以下幾類：知過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)斜式(注意斜率不存在的情況)；知斜率，設(shè)斜截式；與截距有關(guān)設(shè)截距式；知與已知直線平行或垂直，設(shè)一般式(或斜截式、點(diǎn)斜式)如圖23，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，

11、求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍圖23【精彩點(diǎn)撥】(1)求出圓心C，設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合待定系數(shù)法求解(2)設(shè)出圓的方程，化簡(jiǎn)條件MA2MO，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題【規(guī)范解答】(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x

12、2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13，化簡(jiǎn)得由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.再練一題4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2.(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線yx的距離為，求圓P的方程. 【解】(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)得y22r2，x23r2.從而y22x23.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.(2)設(shè)P(x0，y0)，由已知得.又P在曲線y2x21上，從而得由得此

13、時(shí)，圓P的半徑r.由得此時(shí)，圓P的半徑r.故圓P的方程為x2(y1)23或x2(y1)23.1圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a_.【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解圓x2y22x8y130的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y4)24，由圓心到直線axy10的距離為1可知1，解得a.【答案】2已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是_【解析】圓x2(y3)24的圓心為點(diǎn)(0,3)，又因?yàn)橹本€l與直線xy10垂直，所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡(jiǎn)得xy30. 【答案】xy303如圖24，已知圓C與x軸相

14、切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|2.圖24(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_【解析】(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CDAB.由題意|AD|CD|1，故|AC|，即圓C的半徑為.又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，)，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22.(2)令(x1)2(y)22中的x0，解得y1，故B(0，1)直線BC的斜率為1，故切線的斜率為1，切線方程為yx1.令y0，解得x1，故所求截距為1.【答案】(1)(x1)2(y)22(2)14已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(

15、m,0)，B(m,0)(m0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則m的最大值為_【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因?yàn)锳PB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.【答案】65圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b0)，由題意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(

16、y1)246如圖25，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4)圖25(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x

17、6)2(y1)21.(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因?yàn)锽COA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點(diǎn)，所以5555，解得22t22.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是2

18、2，227已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由【解】(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0)(2)設(shè)M(x，y)，A，B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)知：MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ymx，當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，d2，解得m.把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程化簡(jiǎn)得9x230x250，解得x.當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3,0)又直線l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，x3.點(diǎn)M的軌跡C