1、4.6正弦定理和余弦定理最新考綱考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計(jì)算交匯考查，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)題型多樣，中檔難度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin B

2、sin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(4)cos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)知識(shí)拓展1三角形內(nèi)角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin

3、.3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()(3)當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC為銳角三角形()(4)在ABC中，.()(5)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積()題組二教材改編2在ABC中，acos Abcos B，則這個(gè)三角形的形狀為 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2

4、B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積為 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.題組三易錯(cuò)自糾4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cbcos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形答案A解析由已知得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在6(2018包頭模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若

5、bc2a,3sin A5sin B，則角C .答案解析由3sin A5sin B，得3a5b.又因?yàn)閎c2a，所以ab，cb，所以cos C.因?yàn)镃(0，)，所以C.題型一利用正、余弦定理解三角形1(2016山東)ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，則A等于()A. B. C. D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故選C.2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則co

6、s C等于()A. B C D.答案A解析8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1.3設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b .答案1解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思維升華 (1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都

7、有可能用到(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷題型二和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題典例 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小(1)證明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(

8、舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.當(dāng)BC時(shí)，A； 當(dāng)CB時(shí)，A.綜上，A或A.思維升華 (1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018承德質(zhì)檢)若AB2，ACBC，則SABC的最大值為()A2 B. C. D3答案A解析設(shè)BCx，則ACx.根據(jù)三角形的面積公式，得SABCABBCsin Bx

9、.根據(jù)余弦定理，得cos B.將代入，得SABCx .由三角形的三邊關(guān)系，得解得22x22，故當(dāng)x2時(shí)，SABC取得最大值2，故選A.(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.題型三正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀典例 (1)在ABC中，cos ，則ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D無(wú)法確定答案A解析由已知得cos2，2cos21cos B，cos

10、Acos B，又0A，B0，sin A1，即A，ABC為直角三角形引申探究1本例(2)中，若將條件變?yōu)?sin Acos Bsin C，判斷ABC的形狀解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B為ABC的內(nèi)角AB，ABC為等腰三角形2本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判斷ABC的形狀解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC為等邊三角形命題點(diǎn)2求解幾何計(jì)算問(wèn)題典例 (1)如圖，在A

11、BC中，B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB .答案解析在ACD中，由余弦定理可得cos C，則sin C.在ABC中，由正弦定理可得，則AB.(2)(2018吉林三校聯(lián)考)在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是 答案(，)解析如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BFABBE.在等腰三角形CBF中，F(xiàn)CB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.思維升華 (1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，

12、此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論(2)求解幾何計(jì)算問(wèn)題要注意：根據(jù)已知的邊角畫(huà)出圖形并在圖中標(biāo)示；選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018安徽六校聯(lián)考)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形(2)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長(zhǎng)為 答案解析因?yàn)閟inBAC，且ADAC，所以sin，所以cosB

13、AD，在BAD中，由余弦定理，得BD.二審結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換典例 (12分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值(1)(2)規(guī)范解答解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos A.7分(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.8分于是cos 2A2cos2A1，9分sin 2A2sin Acos A.10分所以coscos 2Acos sin 2Asin .12分1(2017長(zhǎng)沙模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a，b3，A60

14、，則邊c等于()A1 B2 C4 D6答案C解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A，a2，b，則B等于()A. B.C.或 D.答案D解析A，a2，b，由正弦定理，可得sin Bsin A.A，B.3(2017哈爾濱模擬)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面積為，則C等于()A30 B45 C60 D75答案C解析SABCABACsin A，即1sin A，sin A1，由A(0，180)，A90，C60.故選C.4ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c

15、，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A2 B2C. D.答案D解析(邊化角)由asin Asin Bbcos2Aa及正弦定理，得sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，所以.5在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，且c2a，則cos B的值為()A. B.C. D.答案B解析因?yàn)閟in A，sin B，sin C成等比數(shù)列，所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cos B.6(2017鄭州模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

16、若，則cos B等于()A B.C D.答案B解析由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故選B.7(2016全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b .答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8(2018成都模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，則角B的值為 答案或解析由余弦定理，得cos B，結(jié)合已知等式得cos Btan B，sin B，又0B

17、，B或.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為 答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sin Asinsin cos cos sin .則SABCbcsin A221.10(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tanECF .答案解析如圖，設(shè)AB6，則AEEFFB2.因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A45，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，所以tanECF.11(2018珠海模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a

18、，b，c，abtan A.(1)證明：sin Bcos A；(2)若sin Csin Acos B，且B為鈍角，求A，B，C.(1)證明由正弦定理知2R，a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得sin Asin B，又A(0，)，sin A0，1，即sin Bcos A.(2)解由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是鈍角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).12(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為.(1)求sin

19、 Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng)解(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理，得sin Csin B，故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)，得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.13(2018銀川模擬)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，則c等于()A2 B4C2 D3答案C解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C0，sin Ac