1、,1,壓電振子的振動(dòng)模式vibration modes,薄長條縱向伸縮振動(dòng) 薄圓片、棒、薄圓環(huán)、薄球殼、面切變、彎曲振動(dòng)，厚度振動(dòng)， 能陷振動(dòng)模， 機(jī)電類比和線性機(jī)電網(wǎng)絡(luò)，,2,前幾章我們根據(jù)晶體的對(duì)稱性，分析討論了不同對(duì)稱性的壓電晶體所具有的獨(dú)立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)，以及這些量與電學(xué)量電位移、電場強(qiáng)度等之間的關(guān)系，與機(jī)械量應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系（胡克定律），與電學(xué)量和機(jī)械量之間的關(guān)系（壓電方程組）等等，但是未涉及到如何確定這些常數(shù)的數(shù)值。,3,在實(shí)驗(yàn)上通常是通過測(cè)定壓電元件的諧振頻率和反諧振頻率的方法來確定這些常數(shù)的，這就要求對(duì)晶體的這些常數(shù)同晶片的諧振頻率和反諧振頻率之間的關(guān)系進(jìn)行

2、理論分析。這種實(shí)驗(yàn)的和理論的分析工作，是研究壓電晶體的一個(gè)重要方面。 確定材料參數(shù),4,另一方面，壓電元件常用于振蕩器、濾波器、換能器、光調(diào)幅器以及延遲線等等。這些器件都是壓電效應(yīng)來激發(fā)壓電體的機(jī)械振動(dòng)。因此，只有通過對(duì)壓電元件的振動(dòng)模式的討論，才能較深入地了解壓電元件的工作原理和工作性質(zhì)。 元器件的設(shè)計(jì),5,雖然壓電晶體（包括已極化的壓電陶瓷）是各向異性體，但是壓電元件都是根據(jù)工作需要，選擇有利的方向切割下來的晶片，這些晶片大多數(shù)薄長片、圓片、方片等較簡單的形狀，它的基本振動(dòng)模式（如伸縮振動(dòng)、切變振動(dòng)等）大體上與各向同性的彈性介質(zhì)相同，都是在有限介質(zhì)中以駐波的形式傳播，只有在非常簡單的情況下

3、，才可能得到波動(dòng)方程的準(zhǔn)確解。,6,對(duì)于稍復(fù)雜的情況，只有近似解。 在本章中，不可能對(duì)各種振動(dòng)方式都進(jìn)行詳細(xì)討論，只是對(duì)其中最簡單最常用的振動(dòng)模式作較系統(tǒng)而全面的分析討論，希望通過對(duì)特殊性的討論了解普遍性。,7,薄長片壓電振子的長度伸縮振動(dòng),薄長片壓電振子的長度伸縮振動(dòng)，又稱縱向振動(dòng)，是壓電元件中常采用的一種振動(dòng)方式，也是最簡單的振動(dòng)方式。 在這一節(jié)中除了討論壓電振子的縱向振動(dòng)特性外，還要討論壓電振子的等效電路以及壓電材料的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的測(cè)量等內(nèi)容。,8,薄長片壓電振子的壓電方程組,設(shè)d310的壓電晶體的zx切割晶片，長度l沿x方向，寬度lw沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有l(wèi)

4、lw和lt，電極面與z軸垂直，如圖6-3所示。因?yàn)閘lw和lt，長度方向是主要因素，所以只考慮應(yīng)力分量X1的作用，其它應(yīng)力分量X2、X3、X4、X5、X6可以忽略不計(jì)。,9,圖5-1 薄長片壓電振子,10,因?yàn)殡姌O面垂直于z軸，所以只要考慮電場分量E3的作用，其它電場分量E1、E2可以忽略不計(jì)。又因?yàn)闇y(cè)量時(shí)（或工作時(shí)）只是薄片的中心被夾住，片的兩端為自由端，即薄片的邊界條件為機(jī)械自由，在邊界上的應(yīng)力分量X1|邊界=0。還有電極面是等位面。,11,在此情況下，可以選X1、E3為自變量，用第一類壓電方程組，即：,根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得到薄長片的運(yùn)動(dòng)方程為：,12,為了得到薄長片壓電振子的波動(dòng)方程，

5、就需要根據(jù)壓電方程組中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式，,代入波動(dòng)方程得：,13,因?yàn)閴弘娬褡拥碾姌O面是等位面，電場分量E3在晶片中是均勻分布的，即有E/x=0。將這些關(guān)系代入上式式即得薄長片壓電振子的波動(dòng)方程為：,聲速,14,若壓電振子是在交變電場E3=E0ejt的激發(fā)下，通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生縱向振動(dòng)，則上式的通解為：,式中波矢k=/c；A、B為待定系數(shù)，由邊界條件確定。,15,滿足邊界條件的解,因?yàn)閴弘娬褡拥膬啥藶樽杂啥?，它的機(jī)械自由邊界條件為: x=0時(shí)，有X1|x=0=0； x=l時(shí)，有X1|x=l=0; X1=?, u(x),16,而應(yīng)力的表達(dá)式可以寫為：,17,代入邊界條件得: x=0時(shí),X1=0：

6、,x=l時(shí), X1=0：,18,稍加整理即得:,19,把A、B代回到波動(dòng)方程的解中，得到滿足邊界條件的解為:,20,為了對(duì)上式所表示的波形有較具體的了解，在圖5-2中，繪出了t=0及t= /=1/2周期時(shí)的波形。從圖5-2中可以看出上式代表縱駐波方程式，即在薄長片壓電振子中傳播的是縱駐波。,21,圖5-2 薄長片壓電振子的縱向振動(dòng),22,t=0時(shí)：,t=/時(shí)：,23,24,薄長片壓電振子中的應(yīng)力、應(yīng)變以及電位移與（x、t）的關(guān)系為:,式中E3=E0ejt,25,應(yīng)力自由,26,式中：,或:,27,傳統(tǒng)電介質(zhì)材料（知識(shí)回顧）,介電常數(shù)，長l、寬lw 、厚lt,電容：,容抗：,電流：,電流隨頻率單

7、調(diào)增加，有位相差,28,通過薄長片壓電振子的電流,因?yàn)橥ㄟ^壓電振子電極面上的電流I3等于電極面上的電荷Q3隨時(shí)間的變化率，即:,而電極面上的電荷Q3與電位移D3的關(guān)系為,29,(5-15),30,最后得到通過壓電振子電極面的電流為:,所以有:,31,薄長片壓電振子的等效導(dǎo)納,若通過薄長片壓電振子的電流為I3，兩電極之間電壓為V3，則壓電振子等效阻抗Z為，,壓電振子的等效導(dǎo)納G為:,或者,32,兩電極面之間的電壓V3為:,壓電振子的等效導(dǎo)納為：,33,牛頓定律,壓電方程,波動(dòng)方程,邊界條件,質(zhì)點(diǎn)位移,電位移,電流，導(dǎo)納,材料參數(shù)，等效電路,34,結(jié)果分析,以上就是如何通過壓電方程和波動(dòng)方程求得壓

8、電振子的等效導(dǎo)納方法。 下面進(jìn)一步分析在不同頻率時(shí)壓電振子導(dǎo)納的性質(zhì)。,35,頻率很低時(shí)的情況 at low frequency,當(dāng)外加交變電場的頻率很低時(shí)，即很小時(shí)，可以近似認(rèn)為k=/c0，于是:,36,頻率很低時(shí)，薄長片壓電振子的等效導(dǎo)納,式中電容：,（5-21）,37,自由介電常數(shù)X33的確定,可見低頻時(shí)壓電振子等效為一個(gè)電容性元件，或者說在低頻時(shí)，壓電振子在電路中只起一個(gè)電容器的作用，它的電容數(shù)值由（5-21）式確定。實(shí)驗(yàn)上就是通過在很低頻率下，測(cè)量壓電振子的電容Clow（稱為低頻電容）來確定自由介電常數(shù)X33。,38,應(yīng)該注意，這里所說的“頻率很低”是指外加交變電場的頻率f（或）遠(yuǎn)小

9、于壓電振子的諧振頻率fr（或r）的情況，即ffr，或r。 例如:通常測(cè)量壓電陶瓷的Clow時(shí)所用的頻率f=1000Hz，若陶瓷片長l=2厘米，縱波速c4105（厘米/秒），則有,39,可見用頻率f=1000Hz測(cè)量2厘米長的壓電陶瓷片的低頻電容Clow，完全滿足“頻率很低”的要求。,40,其次，為什么低頻條件下，通過低頻電容Clow確定的是自由介電常數(shù)X33，而不是夾持介電常數(shù)x33？ 因?yàn)樽杂山殡姵?shù)X33是在應(yīng)力X1=常數(shù)（或X1=0）的條件下測(cè)得的介電常數(shù)；夾持介電常數(shù)x33是在應(yīng)變x1=常數(shù)（或x1=0）的條件下測(cè)得的介電常數(shù)。,41,而低頻時(shí)的應(yīng)力X1與應(yīng)變x1為,42,可見，低頻時(shí)

10、應(yīng)力X1=0，而應(yīng)變x1常數(shù)，所以在低頻條件下，通過測(cè)量低頻電容Clow所確定的介電常數(shù)為自由介電常數(shù)X 33。,43,在諧振頻率時(shí)的情況 resonant,當(dāng)外加交變電場的頻率f等于諧振頻率fr時(shí)，即=r=c/l時(shí)，,44,與傳統(tǒng)電介質(zhì)材料不同！,于是得到在諧振頻率時(shí)，薄長片壓電振子的等效導(dǎo)納為無限大。,而阻抗等于零，Z|r=1/G|r=0，響應(yīng)的電流I3|r =。,45,可見，當(dāng)外加交變電場的頻率等于薄長片壓電振子的諧振頻率fr時(shí)，阻抗為零時(shí)，而通過的電流最大。諧振頻率fr為：,薄長片壓電振子長度,46,彈性柔順常數(shù)sE11的確定,實(shí)驗(yàn)上，可以通過諧振頻率的測(cè)量，即阻抗最小，電流最大時(shí)的頻

11、率來確定彈性柔順常數(shù)sE11（當(dāng)然還要測(cè)量壓電振子的密度），即：,(5-23),通過電學(xué)量測(cè)量確定力學(xué)量！,47,在反諧振頻率時(shí) anti-resonant,當(dāng)外加交變電場的頻率f稍高于諧振頻率fr時(shí)，設(shè)為： tan(kl/2)=tan(l/2c)=tan(+)/2),并有0，于是：,48,在反諧振頻率時(shí)的情況,因?yàn)?，所以(+)/2在第二象限，這時(shí)tan(+)/2)0，并隨頻率的增加在（- 0）范圍內(nèi)變化，因此一定存在某一個(gè)頻率fa或a，即k=ka=a/c時(shí)，使得:,49,即當(dāng)k=ka時(shí)，薄長片壓電振子的等效導(dǎo)納為零，等效阻抗為無限大；通過壓電振子的電流等于零。,導(dǎo)納：,50,在反諧振頻率時(shí)

12、的情況,電流：,阻抗：,51,可見，當(dāng)外加交變電場E3的頻率f=fa或=a時(shí)，壓電振子的等效阻抗為無限大（實(shí)際上為最大值），通過的電流為最小（即等于零）。這也是一種諧振現(xiàn)象，相應(yīng)的頻率fa稱為反諧振頻率。實(shí)驗(yàn)上，常通過測(cè)量諧振頻率與反諧振頻率來確定機(jī)電耦合系數(shù)。,52,縱向振子的機(jī)電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr和反諧振頻率fa之間的關(guān)系,欲得到的k31與fr和fa的關(guān)系式，要從（5-24）式出發(fā)，將（5-24）式改寫為：,（5-25）,53,再將,以及,代入（5-25）式得,54,（5-26）,因?yàn)榉粗C振頻率稍大于諧振頻率，故可將反諧振頻率fa寫成：,55,又：,將這些關(guān)系代入到（5-26）式

13、得：,56,57,再代入上式，并加整理后，即得機(jī)電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr與反諧振頻率fa的關(guān)系式：,因?yàn)閒/fr很小，可以將展成為冪級(jí)數(shù)：,58,機(jī)電耦合系數(shù)k31的確定,因?yàn)閒/fr很小，通常只取上式的第一項(xiàng)（最多取到第二項(xiàng)）來計(jì)算k31值，即,59,壓電常數(shù)d31的確定,可見實(shí)驗(yàn)上，只要測(cè)出壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，代入（5-28）式，即可確定機(jī)電耦合系數(shù)k31。再結(jié)合通過低頻電容C0確定的自由介電常數(shù)X33=ltC0/llw，即可確定壓電常數(shù)d31,60,夾持介電常數(shù),（5-30）,61,總之，通過薄長片壓電振子的諧振頻率fr、反諧振頻率fa以及低頻電容Clow和密度

14、，即可確定壓電晶體（或壓電陶瓷）的彈性柔順常數(shù)sE11、壓電常數(shù)d31、自由介電常數(shù)X33、夾住介電常數(shù)x33和機(jī)電耦合系數(shù)k31等物理量。,62,薄長片壓電振子的等效電路equivalent circuit,器件設(shè)計(jì) For device design,63,已知薄長片壓電振子的等效導(dǎo)納G（或等效阻抗Z）為,64,當(dāng)外加電場的頻率很低時(shí)，壓電振子的等效導(dǎo)納為：,可見頻率很低時(shí)，壓電振子在電路中只起著一個(gè)電容為Clow的電容器的作用，它的阻抗為Z=1/(jClow)，在此情況下的壓電振子的等效電路是如圖5-3所示純電容電路。,65,頻率很低時(shí)壓電振子的等效電路,圖5-3,66,串聯(lián)諧振 Ser

15、ies resonant,等效阻抗Z|fr=0，電流I3=（實(shí)際上I3=極大值）。這種諧振現(xiàn)象與無線電中的LC 串聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因?yàn)長C 串聯(lián)諧振時(shí)，電路中的阻抗=0，電流=。,當(dāng)外加電場的頻率等于壓電振子的諧振頻率fr時(shí)，壓電振子的等效導(dǎo)納為：,67,所以可以認(rèn)為諧振時(shí)，壓電振子在電路中起著一個(gè)串聯(lián)的電容C1和電感L1的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-4所示的串聯(lián)電路。壓電振子的諧振頻率fr就等于LC串聯(lián)電路中的諧振頻率fs。,68,諧振時(shí)壓電振子的等效電路,圖 5-4,69,并聯(lián)諧振 parallel resonant,當(dāng)外加電場的頻率等于壓電振子的反諧振頻率fa時(shí)，壓電振子

16、的等效導(dǎo)納為：,等效阻抗Z|fa=，電流I3=0（實(shí)際上為電流極?。?。這種諧振現(xiàn)象與無線電中的LC 并聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因?yàn)長C 并聯(lián)諧振時(shí)，電路中的阻抗無限大，電流為零。,70,所以可以認(rèn)為反諧振時(shí)，壓電振子在電路中起著一個(gè)由電容C0和電感L1以及電容C1相并聯(lián)的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-5所示的LC并聯(lián)電路。壓電振子的反諧振頻率fa就等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp。,71,反諧振時(shí)壓電振子的等效電路,圖 5-5,72,壓電振子等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間的關(guān)系,一方面，壓電振子的振動(dòng)特性是由壓電振子的內(nèi)部矛盾來解決的，即由壓電振子的壓電常

17、數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)來決定的。 另一方面，壓電振子的振動(dòng)特性又可用LC 串聯(lián)電路和LC 并聯(lián)電路反映出來。因此等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間存在一定的關(guān)聯(lián)。,73,這個(gè)聯(lián)系可通過壓電振子的等效阻抗（或等效導(dǎo)納）與LC電路中的阻抗加以比較而得到。 已知壓電振子的等效導(dǎo)納為：,74,其中：,為分路電容,為分路阻抗,為動(dòng)態(tài)阻抗,75,使動(dòng)態(tài)阻抗Z1在諧振頻率附近展開，因?yàn)?76,故得：,（5-31）,77,使LC串聯(lián)阻抗在串聯(lián)諧振頻率,附近展開得：,（5-32）,78,壓電振子,LC串聯(lián)電路,79,比較（5-31）式與（5-32）式可以看出，在諧振頻率附近，取一級(jí)近

18、似可得動(dòng)態(tài)阻抗等效于（集總參數(shù)）LC串聯(lián)阻抗，其中聯(lián)系為：,（5-34）,（5-33）,80,（5-33）與（5-34）兩式分別給出了壓電振子的等效電感、等效電容和壓電常數(shù)、彈性常數(shù)之間的關(guān)系。,81,幾點(diǎn)注意事項(xiàng),通過上述討論使我們對(duì)薄長片壓電振子的振動(dòng)特性、等效電路以及有關(guān)的壓電常數(shù)、彈性常數(shù)、介電常數(shù)和機(jī)電耦合系數(shù)的測(cè)量有了一個(gè)較全面的了解。但是應(yīng)該注意，上述討論是在壓電振子不存在損耗的條件下進(jìn)行的。而且是在諧振頻率附近的近似條件下得到的。,82,實(shí)際上壓電振子總是存在損耗的，只是在損耗很小時(shí)，才可能將損耗忽略不計(jì)，近似認(rèn)為是無損耗的壓電振子。 如果壓電振子的損耗不能忽略不計(jì)，就需要計(jì)入

19、損耗的影響，于是問題就比較復(fù)雜了。,83,這里只提出如下兩點(diǎn)注意：,（1）在同樣大小的外加交變電場E3=E0cos(t)作用下，有機(jī)械損耗的壓電振子的振幅比無損耗的壓電振子的振幅小一些，這種損耗在等效電路中的反映就是存在等效電阻R1，如圖5-6所示。,84,有損耗時(shí)壓電振子的等效電路,圖 5-6,85,其中等效電路參數(shù)為,（5-35）,其中:Qm為機(jī)械品質(zhì)因子。 Mechanical Quality factor,86,（2）無損耗時(shí)，壓電振子的諧振頻率fr，就等于LC串聯(lián)電路的諧振頻率fs，也等于阻抗最?。娏髯畲螅r(shí)的fm。壓電振子的反諧振頻率fa等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp，也等于等

20、效阻抗最大（電流最?。r(shí)的測(cè)量頻率fn，即有：,87,有損耗時(shí)，壓電振子的這些頻率不在相等，而是,88,即有損耗時(shí)，實(shí)際測(cè)量的阻抗最小，電流最大時(shí)的頻率fm，和阻抗最大，電流最小時(shí)的頻率fn，既不等于壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，也不等于LC串聯(lián)諧振頻率fs和LC并聯(lián)諧振頻率fp。,89,但是當(dāng)?shù)刃щ娮鑂1較小的情況下（即Qm值較高的情況下），fm、fr、fs之間相差較小，fn、fa、fp之間相差也較小。 所以實(shí)用上常忽略這個(gè)差別，近似地認(rèn)為相等，即：,90,這時(shí)壓電振子的各個(gè)參數(shù)，也近似認(rèn)為由下列關(guān)系來確定：,(5-36),器件的材料、幾何參數(shù),頻率參數(shù),91,小結(jié)(縱向伸縮振動(dòng) ),一、壓電方程組 + 牛頓第二定律 二、波動(dòng)微分方程式 三、滿足自由邊界條件波動(dòng)微分方程式的解 四、應(yīng)力、應(yīng)變、電位移與(