1、數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應用的數(shù)學分支，數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容包括兩方面：一如何收集，整理數(shù)據(jù)資料；二如何對所得的數(shù)據(jù)資料進行分析，研究從而對所研究的對象的性質(zhì)，特點作出推斷。后者就是我們所說的統(tǒng)計推斷問題。 本章將介紹總體，隨機樣本及統(tǒng)計量等基本概念，并著重介紹幾個常用統(tǒng)計量及抽樣分布。,第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本知識,我們將研究對象的某項數(shù)量指標的值的全體稱為總體。總體中每個元素稱為個體。 總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量。容量有限的稱為有限總體，否則稱為無限總體。 從總體中抽取若干個體的過程稱為抽樣。抽樣結(jié)果得到的一組試驗數(shù)據(jù)（或觀測值）稱為樣本。樣本所包含個體的數(shù)量稱為樣本容量。 為了使樣本能很好

2、的放映總體的情況，從總體中抽取樣本，必須滿足下述兩個條件： .代表性 因抽取樣本要反映總體，自然要求每個個體和總體具有相同分布。 .獨立性 各次抽取必須是相互獨立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其他各次抽樣的結(jié)果，也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響。 這種隨機的，獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。由此得到的樣本稱為簡單隨機樣本。,6.1 隨機樣本,定義設總體是具有某一分布函數(shù)的隨機變量，如果隨機變量，相互獨立，且都與X具有相同的分布，則稱，為來自總體X的簡單隨機樣本，簡稱樣本，n稱為樣本容量。 對總體X進行一次具體的抽樣并作觀測之后，得到樣本，的確切數(shù)值x，x，x，稱為樣本觀察值（或觀測值），簡稱樣本值。

3、,如果總體的分布函數(shù)為（），則樣本，.的聯(lián)合分布函數(shù)為 F*(x1,x2,.xn)=F(x1)F(x2)F(xn)= 如果總體X是離散型隨機變量，且概率密度為 PX=xi，i=1,2,. 則樣本，.的聯(lián)合概率密度為 P*X1=x1,X2=x2,.Xn=xn=PX1=x1PX2=x2PXn=xn= 如果總體X是連續(xù)型隨機變量，且有概率密度f（x），則樣本，.的聯(lián)合分布函數(shù)為 f*（x1,x2,.xn）=f（x1）f（x2）f（xn）=,6.2 抽樣分布,樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)，在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構(gòu)造樣本的適當函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進行統(tǒng)計推斷。 一統(tǒng)計量的

4、概念 定義1 設，為來自總體X的一個樣本，g（，）是，的函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，則稱g（，）是一個統(tǒng)計量。 因為，都是隨機變量，而統(tǒng)計量g（，）是隨機變量的函數(shù)，即樣本的函數(shù)，因此統(tǒng)計量是一個隨機變量，設x，x，x是相應于，的樣本值，則g（x，x，x）稱為g（，）的觀察值。,二常用的統(tǒng)計量,樣本均值 樣本方差 樣本標準差 樣本k階原點矩 樣本k階中心矩,顯然有 ，它們的觀察值分別為,這些觀測值仍分別稱為樣本均值，樣本方差，樣本標準差，樣本k階原點矩，樣本k階中心矩。 我們指出，若總體X的k階原點距 存在，則當n時， 即：樣本的k階原點距依概率收斂于總體的k階原點距。 事實上，由于，相互獨立，

5、且與X同分布，故X1k，X2k，.，Xnk相互獨立，且與Xk同分布，故有 E（X1k）=E（X2k）=E（Xnk）=k，k=1,2,. 由第五章的辛欽大數(shù)定律知 進而根據(jù)第五章中關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知道 其中g(shù)為連續(xù)函數(shù)。這也是第七章所要介紹的矩估計法的理論依據(jù)。,三抽樣分布,統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，當總體的分布函數(shù)已知時，抽樣分布是確定的。然而要求出統(tǒng)計量的精確分布，一般來說是困難的。下面介紹來自正態(tài)總體的幾個重要的抽樣分布。 2分布 定義2 設，是來自正態(tài)總體N（0,1）的樣本，稱統(tǒng)計量 2=X2+X2+.+X2 服從自由度為n的2分布，記作22（n）。,可以證明，2（n）分布的概

6、率密度為,其中（）為Gamma函數(shù)，f（x）的圖形如圖所示 2分布具有下列性質(zhì),性質(zhì)1 若22（n），則E（2）=n，D（2）=2n性質(zhì)2 設X2（n1），Y2（n2），且相互獨立，則有X+Y2（n1+n2） 定義3 設設X2（n），對于給定的正數(shù)（02（n）=+2（n）f（x）dx=的點2（n）為2（n）分布的上分位點。 如圖，2（n）就是使得圖中陰影部分的面積為時，在x軸上確定出來的點，對于不同的與n，上分位點的值已制成表格，可以查用，該表只詳列到n=45為止，費歇曾證明，當n充分大時，有2（n）1/2（u+2n-1）2，當n45時，可用此式求得2（n）分布的上分位點的近似值，其中是u標準

7、正態(tài)分布的上分位點。,定義4 設XN（0,1），對給定的正數(shù)（0u=，即（u）=1-，則稱點u為標準正態(tài)分布N（0，1）的上分位點，,如圖，標準正態(tài)分布的上分位點可自附表查得，如，設=0.05，滿足PXu=0.05的點u查表知u=1.645。,定義5 設XN（0,1），對任意給定的正數(shù)（0u/2=，即 則稱點u/2為標準正態(tài)分布N（0,1）的雙側(cè)分位點。如圖 求雙側(cè)分位點u/2，即是求上/2分位點u/2。,t分布,定義6 設XN（0,1），Y2（n），且X和Y相互獨立，稱統(tǒng)計量 服從自由度為n的t分布（或稱學生氏分布），記作Tt（n）。 可以證明，t（n）分布的概率密度為 如圖,f（x）的圖形

8、關(guān)于縱軸對稱，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得 故當n充分大時，t分布近似于N（0,1）分布，但對于較小的n，t分布與標準正態(tài)分布相差較大。 定義7 設Tt（n），對于給定的正數(shù)（0t（n）=+2（n）f（x）dx=的點t（n）為t（n）分布的上分位點，如圖,由t分布上分位點的定義及f（x）圖形的對稱性知 t1-（n）=-t（n） t分布的上分位點可通過附表查得，在n45時，就用標準正態(tài)分布的上分位點近似：t（n）u,F分布,定義8 設X2（n1），Y2（n2），且和Y相互獨立，稱統(tǒng)計量 服從自由度為（n1，n2）的F分布，記作（n1，n2）. 可以證明，（n1，n2）分布的概率密度為,如圖,由F分布的定義

9、可以看出，若（n1，n2），則 1/FF（n2，n1）。,定義9,設（n1，n2），對任意給定的正數(shù)（0F（n1，n2）= 的點F（n1，n2）為F（n1，n2）分布的上分位點。 如圖,F分布的上分位點具有如下性質(zhì)：,正態(tài)總體的均值與樣本方差的分布,定理1 設，是總體N（，2）的樣本， 為樣本均值，則 由此定理與概率論的知識可得下面的推論。 推論 設總體XN（，2），為來自總體X的樣本，則有,定理2 設，是總體N（，2）的樣本， ，S2分別是樣本均值和樣本方差，則有 （1） （2） 和S2相互獨立。,定理3 設，是總體N（，2）的樣本， ，S2分別是樣本均值和樣本方差，則有,定理4 設總體X N（1，12），總體（，），分別獨立地從總體和總體中抽取容量分別為和的樣本，樣本均值分別為和，則 推論在定理的條