1、高觀點(diǎn)看初等數(shù)學(xué),華東師大數(shù)學(xué)系 柴俊,數(shù)學(xué)的欣賞 與數(shù)學(xué)的人文意境,第一部分,一 、數(shù)學(xué)的定義,恩格斯的定義（辭海采用）：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)；,法國數(shù)學(xué)家博雷爾（1871-1956）：數(shù)學(xué)是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學(xué)；,英國數(shù)學(xué)家羅素（1872-1970）：數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學(xué)科；,二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn),一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有三個(gè) 抽象性，精確性，應(yīng)用性 數(shù)學(xué)研究的對象是不是具體的東西。就是最簡單的數(shù)字，1,2,3，沒有具體的對象； 數(shù)學(xué)是精確的，只要是被證明的結(jié)論，始終是正確的，不會因?yàn)樾碌臄?shù)學(xué)發(fā)

2、現(xiàn)而被推翻。這與其他學(xué)科不一樣。 因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)有及其廣泛的應(yīng)用。,三、王國維的人文意境,王國維（1877-1927，國學(xué)大師）， 在人間詞話中對做學(xué)問用三句古詩詞來表達(dá)三層境界 昨夜西風(fēng)凋碧樹。獨(dú)上高樓，望盡天涯路（出自北宋晏殊(991-1055)的蝶戀花）； 衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴（北宋柳永（987？ 1055？）蝶戀花最后兩句詞）； 眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處（南宋辛棄疾（11401207） 青玉案元夕最后四句）。 數(shù)學(xué)家丘成桐王國維的說法也作過評說。,蝶戀花 晏殊 檻菊愁煙蘭泣露，羅幕輕寒， 燕子雙飛去。 明月不諳離恨苦，斜光到曉穿朱戶。 昨夜西風(fēng)

3、凋碧樹， 獨(dú)上高樓， 望見天涯路。 欲寄彩箋兼尺素，山長水闊知何處！ 青玉案元夕宋辛棄疾東風(fēng)夜放花千樹，更吹落、星如雨。寶馬雕車香滿路,鳳簫聲動，玉壺光轉(zhuǎn)，一夜魚龍舞。蛾兒雪柳黃金縷，笑語盈盈暗香去。眾里尋他千百度,驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。,四、學(xué)會欣賞數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)和語文，都是一種語言； 語文教育和數(shù)學(xué)教育有一個(gè)明顯的差別：語文教育重在欣賞，欣賞古文，欣賞唐詩；數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)是 “做題目”， 幾乎不談“欣賞”二字。 數(shù)學(xué)是人做出來的。 數(shù)學(xué)的思考過程必然打上人文的烙印。數(shù)學(xué)意境和人文意境之間， 是彼此相通互相借鑒的。 比如極限， 李白的詩（黃鶴樓送孟浩然之廣陵 ）：“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，惟見長

4、江天際流”就很好表達(dá)了極限概念的人文意境。,“入能寫之”與 “出能觀之”,引用王國維在人間詞話中的另一段話，借以作為數(shù)學(xué)欣賞的導(dǎo)引： “詩人對人生須入乎其內(nèi)， 又須出乎其外。入乎其內(nèi)， 故能寫之；出乎其外， 故能觀之”。 這是進(jìn)行詩文創(chuàng)作發(fā)經(jīng)驗(yàn)之談，同時(shí)也是進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞的至理名言。,中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)， 面對一個(gè)數(shù)學(xué)概念， 一種數(shù)學(xué)思想， 都可以從內(nèi)外兩種角度進(jìn)行觀察。 數(shù)學(xué)解題， 多半使用某些策略技巧，講究邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，以步步推進(jìn)的方式尋求解答。 這是入乎其內(nèi)的“寫”。 另一方面，數(shù)學(xué)有其自身的思想體系，文化的淵源，歷史的足跡，這需要走出來“觀之”，才能觀察到數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和理性精神，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的

5、神韻。,宋代的蘇軾有名句（題西林壁） 橫看成嶺側(cè)成峰， 遠(yuǎn)近高低各不同。 不識廬山真面目， 只緣身在此山中。 所以僅僅“入內(nèi)”是不夠的。不能認(rèn)識事物真面目的原因恰好因?yàn)樯硖幋松街小?這份哲理性的名句，對于過度沉湎于解題技巧的數(shù)學(xué)教育的工作者來說，應(yīng)該是一帖清醒劑。,欣賞需要指導(dǎo)、培育,提出問題， 揭示冰冷形式后面的 數(shù)學(xué)本質(zhì)； 對比分析， 體察古今中外的數(shù)學(xué) 理性精神； 梳理思想， 領(lǐng)略抽象數(shù)學(xué)模型的 智慧結(jié)晶； 構(gòu)作意境， 溝通數(shù)學(xué)思考背后的 人文情景。,例1. “對頂角相等”的教學(xué)。欣賞點(diǎn)：這樣明顯的命題為什么要證明？（提出問題）,幾何原本。 命題15：對頂角相等。用公理3：等量減等量，

6、 其差相等。 定理本身非常直觀， 無人質(zhì)疑。如果就事論事地解說一番， 或者時(shí)髦地讓學(xué)生“量一量”、“拼一拼”那樣地活動一下， 都不能使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)之“真”的欣賞。 數(shù)學(xué)與民主。古希臘城邦實(shí)行奴隸主的民主政治。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應(yīng)用。,向理性的飛躍,關(guān)鍵點(diǎn)是要問：“這樣明顯的命題要不要證明？” 中國古代數(shù)學(xué)沒有這樣的命題。古希臘數(shù)學(xué)家提出這樣的定理，認(rèn)為需要證明，而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明。兩相對照， 才知道自己的淺薄，古希臘理性精神的偉大。 從“顯然正確因而不必證明”，到“崇尚理性需要證明”，是一次思想上的飛躍，可以說震撼了許多孩子們的“靈魂”。 學(xué)

7、習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要記住定義和定理，更重要的是能學(xué)會這種理性思維的方法。,自然數(shù),老子道德經(jīng)說得明白： “太初有道”，“道生一，一生二，二生三，三生萬物” 。這里包含了自然數(shù)的三個(gè)特征，需要我們再認(rèn)識。 自然數(shù)從0開始；“道”相當(dāng)于0。 自然數(shù)一個(gè)接一個(gè)；由0到1，由1到2，再由2到3，后者是前者的繼續(xù)。一個(gè)接一個(gè)，是自然數(shù)的特征。以后的分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、實(shí)數(shù)就沒有這樣的特征了。 自然數(shù)系是無限的。三生萬物，這里的“萬”泛指無窮之多，永無窮盡。,數(shù)系的擴(kuò)張,自然數(shù)是“自然”造的。其他數(shù)系都是人為的。 整數(shù)的出現(xiàn)是因?yàn)橐箿p法能夠進(jìn)行； 有理數(shù)是因?yàn)槌ǖ男枰鴦?chuàng)造的； 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是緣于 的出現(xiàn)。而無

8、理數(shù)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)（以前人為所有的數(shù)都是可以公度的，是有理數(shù)）； 在微積分出現(xiàn)之后，才建立起嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論。 如何證明 是無理數(shù)？,數(shù)系的擴(kuò)張，是數(shù)學(xué)發(fā)展的自身要求。在數(shù)系擴(kuò)張的同時(shí)，原先的一些性質(zhì)不斷消失。 自然數(shù)集的任何一個(gè)非空子集都有最小數(shù)，而整數(shù)系就沒有這個(gè)性質(zhì)了； “后繼數(shù)”在有理數(shù)系中消失了；整數(shù)系是離散的，有理數(shù)不再具有離散性； 有理數(shù)是有“縫隙”的，而實(shí)數(shù)則沒有縫隙。所以實(shí)數(shù)不僅對加減乘除、開方運(yùn)算封閉，而且對極限運(yùn)算也封閉，因此實(shí)數(shù)是“完備”的數(shù)系。 實(shí)數(shù)系中喪失了“可公度性。”,算術(shù)思想和代數(shù)思想,從算術(shù)到代數(shù)是一次數(shù)學(xué)思維的飛躍。 “含有未知數(shù)的等式叫做方程”? “

9、代數(shù)就是文字代表數(shù)”? 要說一個(gè)定義不妥當(dāng)， 最簡單的方法是舉反例。 蘇軾的一首琴詩就是這樣做的： 若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴? 若言聲在指頭上，何不于君指上聽?,已故西南師范大學(xué)陳重穆教授，晚年注重?cái)?shù)學(xué)教育研究。他問：x1，xx0，0 x0, a+b = b+a, 都是含未知數(shù)的等式，它們是不是方程？照上述的“定義”應(yīng)該是方程，但是我們卻不研究 方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)而在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系 學(xué)習(xí)方程，目的是還原x的本來面目，而“求”未知數(shù)的方法是“拉關(guān)系”，具體策略是通過等式變換進(jìn)行“還原和對消”。,對于小學(xué)生來說，未知數(shù)的引入是一個(gè)難點(diǎn)。需要用鮮明的例題讓學(xué)生產(chǎn)

10、生認(rèn)同感，才會自覺地運(yùn)用方程來解決問題，欣賞方程思想帶來的便捷。,讓我們在以下問題兩種解法的對比中尋找規(guī)律： 小明今年10歲，爸爸的年齡是他的3倍多6歲，求爸爸的年齡 算術(shù)方法：爸爸年齡 = 3 10 + 6 這是從小明的年齡10出發(fā)，一步步接近爸爸年齡，得到答案36 代數(shù)方法：設(shè)爸爸年齡為x，則有方程： (x 6)/3 =10, 解之得 x = 36 這是從未知的爸爸年齡x出發(fā)，尋找和已知的小明年齡的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系解出未知的x，通過對消方法，將未知數(shù)還原出來。,這一例子使我們看到用方程或算術(shù)解題的思維路線往往是相反的。,如果將要求的答案比喻為在河對岸的一塊寶石。那么算術(shù)方法好像摸石頭過河，是

11、“過河取寶”，一步一步摸索著接近要求的目標(biāo)。 而代數(shù)方法卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子甩過河，鉤住對岸的未知數(shù)（建立了一種關(guān)系），然后利用這跟繩子（關(guān)系）慢慢地拉過來最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但是結(jié)果相同。,“代數(shù)就是文字代表數(shù)”，為什么不夠確切,從小學(xué)的“數(shù)的運(yùn)算”到中學(xué)的“式的運(yùn)算”，是一個(gè)巨大的飛躍但是學(xué)生往往邁不過這道坎。按皮亞杰的說法，347是具體運(yùn)算階段，ab是形式運(yùn)算階段 有一個(gè)學(xué)生問：“我們知道347，那么ab?” 解釋一：ab就等于ab（學(xué)生茫然） 解釋二：aa2a，所以符號也是可以算的（學(xué)生還是問ab究竟等于幾？等式的右邊寫什么？）,解釋三：a + b= c，表

12、示任意指定的兩個(gè)數(shù)a、b之后，二者相加得到的結(jié)果，用c表示。換句話說，只要指出a、b所代表的數(shù)，c 就可以算出來了這里的a，b，c 在數(shù)學(xué)上將它們看做不定元，它所代表的不是一個(gè)確定的值， 卻可以進(jìn)行形式上的運(yùn)算。 代數(shù)式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第二次抽象，不是每個(gè)人都能很好過關(guān)的。,純粹存在性數(shù)學(xué)定理的人文意境,有些科學(xué)論斷，只確定某事物和某現(xiàn)象的存在， 卻不能指出存在的地方，拿出具體的樣本，說出具體的原因。但是仍然具有重要的科學(xué)價(jià)值。 根據(jù)地質(zhì)學(xué)原理，確定某個(gè)大區(qū)域內(nèi)存在石油，但是，具體在何處不能確定； 根據(jù)臨床實(shí)驗(yàn)，知道幾種藥物服用后肯定有效， 但是哪一種最有效，還說不清楚； 通過野外調(diào)查，肯定某區(qū)域

13、有野生熊貓存在，但是具體在哪里，還不能肯定。 在數(shù)學(xué)上， 也有這樣的純粹的存在性定理。,最簡單的是抽屜原理：M個(gè)蘋果放在N個(gè)抽屜里（MN）， 那么一定存在一個(gè)抽屜， 其中有兩個(gè)以上的蘋果。 這里只知道存在這樣的一個(gè)抽屜， 具體是哪一個(gè)？ 我們無法確定。 再如高斯首先證明的的代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)域內(nèi)，任意一元N次代數(shù)方程， 必有N 個(gè)根。 就只是斷言存在， 沒有告訴我們具體的根是什么。,連續(xù)函數(shù)的介值性定理（根的存在性定理）：在閉區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，如果有f (a) f (b)0 則必定在區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)c， 使得f (c) = 0。同樣， 這個(gè)定理只保證 f (x)=0 在a, b有一個(gè)根

14、 c 的存在， 卻沒有指出這個(gè)c 究竟在哪里。 日常中的例子：峨眉佛光。,在人文意境上， 存在性定理最美麗動人的描述，應(yīng)屬唐朝詩人賈島的詩句 “松下問童子，言師采藥去；云深不知處， 只在此山中”。 賈島并非數(shù)學(xué)家， 但是細(xì)細(xì)品味，覺得其詩的意境， 簡直是為數(shù)學(xué)而作。 二分法求根的理論依據(jù)就是介值性定理。數(shù)學(xué)原來不是那么枯燥的！,什么是無限,無窮數(shù)列 是一種無限；區(qū)間a, b中的實(shí)數(shù)全體是另一種無限。 杜甫登高詩曰： 風(fēng)急天高猿嘯哀，渚清沙白鳥飛回。 無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來 。后兩句就是描寫了兩種不同的無限。 無限要通過有限來描述，例如函數(shù)的單調(diào)性。 無限的故事：有無限多個(gè)床位的旅館。,

15、無界變量的人文意境,南宋葉紹翁的七絕游園不值，從文學(xué)的意境表達(dá)了無界的含義： “應(yīng)憐屐齒印蒼苔，小扣柴扉久不開；春色滿園關(guān)不住，一枝紅杏出墻來” 。再大的園子（M）也無法將所有的春色( xn )關(guān)住，總有一枝紅杏（某個(gè)xn ）跑到園子的外面。詩的比喻如此恰切，其意境把枯燥的數(shù)學(xué)語言形象化了。,對任意的正數(shù)M，總存在一個(gè)下標(biāo) n，使得xn M，則稱該數(shù)列是無界的。,極限的人文意境,李白的送孟浩然之廣陵詩： 故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流。 “孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”一句，描述了“孤帆”原影的大小（變量）趨向于0 的動態(tài)意境。詩情畫意的意境是碧空“盡”，數(shù)量上的最后歸宿也是

16、0。 劉徽割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”,數(shù)學(xué)的文學(xué)意境幾例,王之渙在登鸛雀樓中膾炙人口的詩句，“白日依山盡，黃河人海流，欲窮千里目，更上一層樓”。意境深遠(yuǎn)。從數(shù)學(xué)角度來分析：“欲能看到千里遠(yuǎn)，到底需登幾層樓?”（直線與圓相切問題，利用勾股定理來建立數(shù)學(xué)模型） 周期運(yùn)動，是我們經(jīng)常碰到的現(xiàn)象。 白居易 賦得古草原送別中就有描寫周期運(yùn)動的名句：“離離原上草 ，一歲一枯榮。野火燒不盡 春風(fēng)吹又生”。我們就請學(xué)生粗略描述“一歲一枯榮”的函數(shù)模型。,問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)需要解題，而解題過程需要反復(fù)思索，終于在某一時(shí)刻出現(xiàn)頓悟。例如，做一道幾

17、何題，百思不得其解，突然添了一條輔助線，問題豁然開朗，欣喜萬分。這樣的意境，讓我們再次想起了是王國維用宋詞來描述的意境： “昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。” “衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴?！薄?眾里尋他千百度, 驀然回首,那人正在, 燈火闌珊處。” 做學(xué)問，大抵都要經(jīng)歷這樣的意境。不過，數(shù)學(xué)解題是“成本最低”的克服困難的學(xué)科。一個(gè)學(xué)生，如果沒有經(jīng)歷過這樣的意境，數(shù)學(xué)大概是學(xué)不好的了。,再談理性思維,三角形內(nèi)角和=180度，量一量行嗎？ 數(shù)學(xué)的證明是訓(xùn)練理性思維的有效手段，古希臘的數(shù)學(xué)之所以有如此高的地位，就是它的嚴(yán)格的演繹推理。 量一量是實(shí)驗(yàn)的方法，是物理學(xué)中常用的歸納推理。歸納推

18、理大部分情況下可以得出正確的結(jié)論，但其思維方式是有缺陷的。 古希臘以歐幾里得為代表的智者，完成的幾何原本的偉大著作，展現(xiàn)了公理化數(shù)學(xué)體系巨大威力，成為人類理性文明的一面旗幟。,“對酒當(dāng)歌，人生幾何？” (曹操“短歌行”）,錢學(xué)森在回憶傅種孫先生在當(dāng)年北師 大附中課堂上說的話：“幾何定理就是到了火星上，也還是如此?！庇纱怂f：“幾何課使我第一次懂得了什么是嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)”。 徐光啟在翻譯幾何原本后認(rèn)為，幾何是理性的思維，幾何問題由“四望無路”到“蹊徑歷然”、“自首迄尾，悉皆顯明文字”。 “此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不

19、可得。”,許多學(xué)者認(rèn)為幾何原本所代表的邏輯推理方法，再加上科學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，是世界近代科學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的重要前提。所以，幾何原本的近代意義不單單是數(shù)學(xué)方面的，更主要的是思想方法方面的。 聯(lián)想到我們的幾何教學(xué)，是否也能讓學(xué)生接受古希臘理性思維的洗禮呢？數(shù)學(xué)課上如果老是“做題目”，不能觸及數(shù)學(xué)思想，不能在情感上得到某種震撼，幾何學(xué)的教學(xué)目標(biāo)就丟失大半了。,第二部分,高觀點(diǎn)看初等數(shù)學(xué),什么是高觀點(diǎn),只是觀點(diǎn)高，用高一層次的觀點(diǎn)去解釋、去理解當(dāng)前的數(shù)學(xué)； 不是用高層次的數(shù)學(xué)方法和技巧去解初等數(shù)學(xué)的題目。 是用高觀點(diǎn)“看”初等數(shù)學(xué)，看清其中的數(shù)學(xué)思想和脈絡(luò)。,星期：星期一，星期二， 月份：一月，二月， 其他語

20、言？ 乘法口訣表，朗朗上口，每句音節(jié)數(shù)相同，容易記憶。 這些對學(xué)習(xí)算術(shù)很有好處。,一、 中國計(jì)數(shù)法的優(yōu)勢,二、如何看待分?jǐn)?shù)與小數(shù).,既然已經(jīng)有了小數(shù)，分?jǐn)?shù)不過是兩數(shù)相除得到的小數(shù)，為什么還要引進(jìn)分?jǐn)?shù)呢？ 僅從形式上看，分?jǐn)?shù)與小數(shù)類似，只不過換了一個(gè)形式，但它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)是完全不一樣的。 分?jǐn)?shù)來自人類的社會實(shí)踐，是“某一個(gè)總體等分后的各種不同的份數(shù)”的表達(dá)。 如1/2，在不同大小總體下代表的真實(shí)數(shù)量是不一樣的（總體是10，1/2就是5，總體是20，1/2就是10），但是它們的“份數(shù)”，即分?jǐn)?shù)是一樣的。分?jǐn)?shù)難就難在這里（代表元的問題）。,三、兩次抽象：數(shù)數(shù)，代數(shù).,會數(shù)數(shù)是兒童成長中的第一次抽象；

21、只要智力沒有問題都能過去。 第二抽象就是代數(shù)，以a,b,c,d,x,y這些沒有確定值的字母進(jìn)行形式運(yùn)算，使得數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)化一大步。這個(gè)坎不少學(xué)生不能完全邁過去。 a+b與a-b那個(gè)大一些？,四、三角形內(nèi)角和等于180度與不變量,三角形內(nèi)角和等于180度與外角和等于360度，哪個(gè)更好？ 四邊形呢？ 外角和是一個(gè)不變量！,中學(xué)數(shù)學(xué)中的不變量,三角形的全等是剛性變換和反射變換下的不變量； 三角形的相似是相似變換下的不變量； 圓周率是不變量（不管圓的半徑是多少，圓周率不變）； 幾何就是研究不變量。,五、數(shù)學(xué)不僅是精確和嚴(yán)密，簡單才是好的,3.14與 那個(gè)更好？ 數(shù)學(xué)也需要想象.,費(fèi)馬論證：周長一定的矩形以正方形面積最大,證明：取無窮小量 E，如果A-B，B是解，那么可以猜想 (一個(gè)天才的想法） B(A-B) =(B+E)A-(B+E)= BAB2 +AE 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0 因?yàn)镋 0，約去 E， 得 （A-2B）+E =0。 又因E無限小，可以略去，得到結(jié)論：A =2B。 無窮小魔術(shù) 微積分。17世紀(jì)不嚴(yán)格 19世紀(jì)嚴(yán)密化。,六、半斤8兩，十進(jìn)制和16進(jìn)制.,10進(jìn)制與16進(jìn)制，各有