1、第24章相似圖形復(fù)習(xí)與小結(jié),知識(shí)結(jié)構(gòu),比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么 這四條線段叫成比例線段。,比例線段及其性質(zhì),1、什么叫做比例線段？,2、比例有什么性質(zhì)?,一、復(fù)習(xí)：,1、相似三角形的定義是什么？,答：,對(duì)應(yīng)角,相等，,對(duì)應(yīng)邊,成比例,的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.,2、判定兩個(gè)三角形相似有哪些方法？,答：,A、用定義；,B、用預(yù)備定理；,C、用判定定理1、2、3.,D、直角三角形相似的判定定理,3、相似三角形有哪些性質(zhì),1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 2、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比。 3、相似三角形面積的比等于相似比的平

2、方。,4、什么是做三角形的中位線？它有什么性質(zhì)？,三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線,三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。,5什么是梯形的中位線？它具有什么性質(zhì)？,梯形中位線：,梯形兩腰中點(diǎn)的連線叫做梯形的中位線。,梯形中位線定理,梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。,什么是位似？位似圖形具有什么性質(zhì)？,（1）位似-在圖24.5.1中的兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的 連線相交于一點(diǎn)，像這樣的相似叫做位似，點(diǎn)O叫做位似中心。,（2）位似圖形-如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交 于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫

3、做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)O叫做 位似中心（即每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都經(jīng)過的這個(gè)點(diǎn)）。,（3）位似比-這時(shí)兩個(gè)相似的相似比通?？梢苑Q為位似比。,（1）位似圖形上的每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)即經(jīng)過位似中心。,（2）位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；,（3）位似圖形一定是相似圖形；,（4）位似圖形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；,（5）不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段互相平行且成比例。,怎樣確定某個(gè)地方的位置？,可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示各地的位置。,(直角坐標(biāo)系的位置不同，用坐標(biāo)表示某地的位置也不同)。,歸納：利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點(diǎn)分布情況的平面圖過程如下： （1）建立坐標(biāo)系

4、，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方 向； （2）根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度; （3）在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱。,利用方位角確定物體的位置， 應(yīng)明確東、西、南、北，通常y軸正半軸 方向?yàn)檎保瑇軸正半軸方向?yàn)檎龞|， 通常以北偏東（西），或南偏東（西）為 方向角，測(cè)量距離時(shí)應(yīng)該注意比例尺。,一、平移： 1.圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加上n個(gè)單位，反之則減； 2.圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減. 二、軸對(duì)稱： 1.圖形沿x軸翻折后，所

5、得的新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 2.圖形沿y軸翻折后，所得的新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).,P(a,b),P1(a+m,b),P2(a-m,b),P3(a,b+m),P4(a,b-m),P3(-a,-b),P2(-a,b),P1(a,-b),平移,對(duì)稱,圖形以原點(diǎn)為位似中心同側(cè)縮（放）各點(diǎn)坐標(biāo)變化特征,各點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都縮小或放大相似比；,圖形以原點(diǎn)為位似中心異側(cè)縮放或以其它點(diǎn)為位似中心縮放都無此特征,此時(shí)可用作圖方法來解決，這種思想稱為“數(shù)形結(jié)合”！,一.填空選擇題: 1.(1) ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AED= B，那么 AED A

6、BC，從而 (2) ABC中，AB的中點(diǎn)為E，AC的中點(diǎn)為D，連結(jié)ED， 則 AED與 ABC的相似比為_. 2.如圖，DEBC, AD:DB=2:3, 則 AED和 ABC 的相似比為. 3. 已知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大邊為10cm， 則三角形乙的最短邊為_cm. 4.等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D, 使ABC BDC, 則DC=_.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如圖，ADE ACB, 則DE:BC=_ 。 6. 如圖，D是ABC一邊BC 上一點(diǎn)，連接AD,使 ABC DBA的條件是（ ）. A. AC:BC

7、=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC 7. D、E分別為ABC 的AB、AC上 的點(diǎn)，且DEBC，DCB= A， 把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那 么圖中共有相似三角形_組。,1:3,D,4,二、證明題： 1. D為ABC中AB邊上一點(diǎn)， ACD= ABC. 求證：AC2=ADAB. 2. ABC中, BAC是直角，過斜 邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊BC的直線 交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D， 連AM. 求證： MAD MEA AM2=MD ME 3. 如圖，ABCD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO EC.,4. 過

8、ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直 線分別交對(duì)角線BD、邊BC、邊 DC的延長(zhǎng)線于E、F、G . 求證：EA2 = EF EG . 5. ABC為銳角三角形，BD、CE 為高 . 求證： ADE ABC （用兩種方法證明）. 6. 已知在ABC中，BAC=90， ADBC,E是AC的中點(diǎn)，ED交 AB的延長(zhǎng)線于F. 求證: AB:AC=DF:AF.,解:AED=B, A=A AED ABC（兩角對(duì) 應(yīng)相等，兩三角形相似） ,1.(1) ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)， 且AED= B，那么 AED ABC， 從而,解 :D、E分別為AB、AC的中點(diǎn) DEBC，且 ADEABC 即ADE與ABC

9、的相似比為1:2,(2) ABC中，AB的中點(diǎn)為D，AC的中點(diǎn)為E，連結(jié)DE， 則 ADE與 ABC的相似比為_,2.,解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即ADE與ABC的相似比為2:5,如圖，DEBC, AD:DB=2:3, 則 AED 和 ABC 的相似比為.,3.已知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大邊為10cm， 則三角形乙的最短邊為_cm.,解: 設(shè)三角形甲為ABC ，三角 形乙為 DEF，且DEF的最大 邊為DE，最短邊為EF DEFABC

10、DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 EF=5cm,4.,等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在 腰AC上取點(diǎn)D, 使ABC BDC, 則DC=_.,解: ABC BDC 即 DC=2cm,5.,解: ADEACB 且 ,如圖，ADE ACB, 則DE:BC=_ 。,7. D、E分別為ABC 的AB、AC上的點(diǎn)，DEBC， DCB= A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組， 那么圖中共有相似三角形_組。,解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA

11、= DCE, A= EDC ADC DEC,1. D為ABC中AB邊上一點(diǎn)，ACD= ABC. 求證：AC2=ADAB,分析:要證明AC2=ADAB，需 要先將乘積式改寫為比例 式 ，再證明AC、 AD、AB所在的兩個(gè)三角形相 似。由已知兩個(gè)三角形有二個(gè) 角對(duì)應(yīng)相等，所以兩三角形相 似，本題可證。,證明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADAB,2. ABC中， BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E， 交AB于D，連AM. 求證： MAD MEA AM2=MD ME,分析：已知中與線段有關(guān)的條件僅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考慮

12、用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等去判定兩個(gè)三角形相似。AM是 MAD 與 MEA 的公共邊，故是對(duì)應(yīng)邊MD、ME的比例中項(xiàng)。,證明：BAC=90 M為斜邊BC中點(diǎn) AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA 即AM2=MDME,3. 如圖，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO EC.,分析：欲證 ED2=EOEC，即證： ，只需證DE、EO、EC 所在的三角形相似。,證明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C

13、= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC,4. 過ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對(duì)角線BD、邊 BC、邊DC的延長(zhǎng)線于E、F、G . 求證：EA2 = EF EG .,分析：要證明 EA2 = EF EG ， 即 證明 成 立，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無法構(gòu)成兩個(gè)三角形，此時(shí)應(yīng)采用換線段、換比例的方法?？勺C明：AEDFEB， AEB GED.,證明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED ,5. ABC為銳角三角形，BD、CE為高 . 求證： ADE ABC（用兩種方法證明）.,證明一： BDAC，CEAB ABD+A=90，

14、ACE+A= 90 ABD= ACE 又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC,證明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90， 2+ 3= 90 BCD= 3 又 A= A ADE ABC,6. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F. 求證: AB:AC=DF:AF.,分析：因ABCABD，所以 ， 要證 即證 ， 需證BDFDAF.,證明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中

15、點(diǎn)， ED=EC EDC= C EDC = BDF, BDF= C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ,1.已知：如圖，ABC中，P是AB邊上的一點(diǎn)，連結(jié)CP滿足什么條件時(shí) ACPABC,解:A= A，當(dāng)1= ACB （或2= B）時(shí)， ACPABC A= A，當(dāng)AC:APAB:AC時(shí)， ACPABC A= A， 當(dāng)4ACB180時(shí)， ACPABC,答：當(dāng)1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180時(shí), ACPABC.,1、條件探索型,三、探索題,2.如圖：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系

16、式時(shí)，兩三角形相似,這類題型結(jié)論是明確的，而需要完備使結(jié)論成立的條件 解題思路是：從給定結(jié)論出發(fā)，通過逆向思考尋求使結(jié)論成立的條件,1.將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一 一寫出來.,C,解：有相似三角形，它們是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）,2、結(jié)論探索型,2.在ABC中，ABAC，過AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.,E,E,E,E,這類題型的特征是有條件而無結(jié)論，要確定這些條件下可能出現(xiàn)的結(jié)論解題思路是：從所給條件出發(fā)，通過分析、比較、猜想、尋求多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行證明.,3、存在探索型,如圖, DE是ABC的中位線，在射線AF上是否存在點(diǎn)M，使MEC與ADE相似,若存在,請(qǐng)先確定點(diǎn) M,再證明這兩個(gè)三角形相似，若不存在，請(qǐng)說明理由.,證明：連結(jié)MC，DE是ABC的中位線，DEBC，AEEC，又MEAC, AMCM， 1= 2 ，B=90， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MEC,1,2,3,M,解:存在.過點(diǎn)E作AC的垂線,與AF交于一點(diǎn),即M點(diǎn)(