1、第 9 章 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值方法 參考答案 第 9 章 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值方法 參考答案 一、選擇題（15 分，每小題 3 分) 1、(2) 2、(3) 3、(4) 4、(2) 5、(3) 二、填空題（15 分，每小題 3 分） 1、0( , , )( , )x yf x y = =；2、( 2,0) ；3、 1 110 0 kk kk a rara ra + +=+=L； 4、0,Re dy y dx =；5、2 三、（10 分） 解：Euler 預(yù)報(bào)校正法 0 1 0 1111 0 2 20 40 8 0 1 220 160 20 82 ( ) ( ) . (). . (). n

2、nnnnn nnnnnnnnn yyxyxy yyxyxyxxy + + + + =+=+ =+=+ =+=+ =+=+ -（3 分） 1 0 20 2 0 20 82 10 86( . ).yy=+ =+ = -（4 分） 經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔法 11234 1 21 32 43 0 2 22 6 2 20 10 1 20 10 1 20 20 2 . () (. )(.) (. )(.) (. )(.) nn nn nn nn nn yykkkk kxy kxyk kxyk kxyk + + =+ = =+ =+ =+ =+ = =+ =+ =+ -（8 分） 1234 1 50411 55

3、371 54871 5943.;.;.;.kkkk= 1 0 20 8562( . ).yy=-（10 分） 四、（12 分） 解：設(shè)阻力為fkv= =，由題意知 353 58.8 6 k =，-（2 分） 根據(jù)力學(xué)知識(shí)建立其數(shù)學(xué)模型為 909058 8 05 012 . ( ) dv gv tdt v = = = = ，即 9 8 9 8 0515 012 . . ( ) dv v tdt v = = = = ，-（7 分） 相應(yīng)的歐拉公式為 1 9 8 9 81 15 . ( .), nnn vvhvh + + =+=+=，-（9 分） 計(jì)算結(jié)果為 1 t 0 1 2 v 12 13.96

4、 14.6395 -（12 分） 五、（12 分） 解：該初值問(wèn)題的精確解為 2 1 2 ( )y xaxbx=+=+，只需證明每一步的迭代值等于對(duì)應(yīng)的精確值 即() nn yy x= =。-（2 分） 由題意知 0 ( , ),0f x yaxb x=+=+=，令 n xnh= =，則 2 1 () 2 nnn y xaxbx=+=+，-（5 分） 111 22 (,)(,(,) nnnnnnnnnnn hh yyf xyf xyhf xyyaxbaxb + =+=+=+=+， 2 1 21 22 nnnn ahah yxxhbynhb + + =+=+=+=+，-（8 分） 由上式遞推得到

5、 22 12 2 0 2121232 22 21233 1 2 ()() () nnn ahah yynhbynnhb ah ynnnhb =+=+ + =+ + + =+=+ + =+ + +LL ，-（10 分） 即 2 2 1 22 () () nnnn a nh ynhbxbxy x=+=+=+=+=。-（12 分） 六、（12 分） 解：梯形公式為 111 2 (,)(,) nnnnnn h yyf xyf xy + =+=+，( , )f x yy= = -（2 分） 1111 22 nnnnnnnn hh yyyyyyyy + =+=+=+=+ -（5 分） 從而得到遞推公式 2

6、 120 222 222 n nnn hhh yyyy hhh = + = + L， 0 1y = =-（7 分） 所以 2 2 n n h y h = + = + ，-（9 分） 由題設(shè)知此處xnh= = 2 22 22 0000 222 1 222 limlimlimlim xhhx n hhh h x n hhhh hhh ye hhh + + + + = + = + 。-（12 分） 七、（14 分） 證明：局部截?cái)嗾`差為 1111 2 ()()(, ()(, () nnnnnnn h Ty xy xf xy xf xy x + =+=+ -（2 分） 23 4 1 232 ()()(

7、)()()()()() ! nnnnnnn hhh y xhy xyxyxO hy xy xy x =+=+ -（5 分 ） 23 4 2 3 232 22 ()()()()()()() ! ()()()() ! nnnnnn nnn hhh y xhy xyxyxO hy xy x hh y xhyxyxO h =+ + =+ + -（8 分） 233 4 11 22234 ()()()()()()() ! nnn hhh hy xyxyxO h =+=+ -（10 分） 因此有 10 22 10 = += = += 3 1 = = = = -（12 分） 局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為 3 5 12

8、() n h yx ，該方法是 2 階的。 -（14 分） 八、（10 分） 證明：記0, i ba hxaihin n =+ =+ 將原方程兩邊在區(qū)間 1 , nn xx + + 上積分得 1 1 ()()( , ( ) n n x nn x y xy xf x y x dx + + + + =+=+ ，-（2 分） 以 n x和 1n x 為插值節(jié)點(diǎn)作( , ( )f x y x的一次插值多項(xiàng)式， 1 111 11 ( )(, ()(, () nn nnnn nnnn xxxx L xf xy xf xy x xxxx =+ =+ -（4 分）分） 代入前式 1 11 ()()( ) n n x nn x y xy xL x dx + + + + + 3 11 1 11 11 ()(, ()(, () nn nn xx nn nnnnn xx nnnn xxxx y xf xy xdxf xy xdx xxxx + =+ =+ 11 3 2 ()(, ()(,