1、第六模塊數(shù)列,考 綱 要 求,1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).3.了解遞推數(shù)列,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.4.理解等差數(shù)列的概念.5.掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.,6.在具體的問題情境中能識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決問題.7.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.8.理解等比數(shù)列的概念.9.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.10.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.,11.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.12.通過構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型,運(yùn)用數(shù)列的公式、性質(zhì)解決簡單的

2、遞推數(shù)列問題.13.培養(yǎng)分析、歸納、抽象、概括的能力,培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力.,命 題 走 向,1.在高考中對于數(shù)列的概念以及表示方法等內(nèi)容一般不單獨(dú)考查,而是和等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合在一起考查,但從最近幾年的高考趨勢看,數(shù)列的通項公式以及遞推關(guān)系式的應(yīng)用將成為命題的熱點(diǎn),這是因為這類命題既能考查數(shù)列的相關(guān)概念與性質(zhì),又能考查考生的創(chuàng)新能力、抽象概括能力等,因此應(yīng)注意對本節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí).,2.等差數(shù)列與等比數(shù)列是最重要也是最基本的數(shù)列模型,因而也是高考重點(diǎn)考查的對象,在高考中對這兩種數(shù)列的考查,既有選擇題、填空題,也有解答題;既有容易題或中檔題,也有難題(常常是壓軸題)

3、;客觀題一般“小而巧”,考查對兩種數(shù)列概念的理解、性質(zhì)和靈活運(yùn)用,主觀題則一般“大而全”,除了考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、公式的應(yīng)用外,還經(jīng)常與其他知識融合在一起,如考查數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何等的綜合,同時也考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用.,3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題也是高考對數(shù)列考查的重點(diǎn),以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型的實際應(yīng)用題、以及數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識的綜合問題一直是近幾年高考的熱點(diǎn),一般作為解答題甚至壓軸題出現(xiàn),所以應(yīng)重視對這類問題的復(fù)習(xí).,第三十四講 等差數(shù)列,走進(jìn)高考第一關(guān) 考點(diǎn)關(guān),回 歸 教 材,如果一個數(shù)列從第二項起

4、每一項與它相鄰前一項的差值都是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就是等差數(shù)列.等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d,特點(diǎn):是關(guān)于n的一次函數(shù)的形式,且斜率為等差數(shù)列的公差.等差數(shù)列的前n項和公式:.特點(diǎn):是關(guān)于n的二次函數(shù)的形式,且常數(shù)項為零.等差數(shù)列的性質(zhì),(1)等差數(shù)列的單調(diào)性an是遞增數(shù)列d0;an是遞減數(shù)列d0;an是常數(shù)列d=0.,(2)通項特征公差為d的等差數(shù)列,各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d.公差為d的等差數(shù)列,各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd.數(shù)列an為等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN

5、*).,公差為d的等差數(shù)列,取出等距離的項,構(gòu)成一個新的數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd(k為取出的項數(shù)之差).若an是有窮數(shù)列,則與首末兩項等距離的兩項相加之和,都等于首末兩項之和;項數(shù)成等差數(shù)列,則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)成等差數(shù)列.,(3)前n項和Sn的性質(zhì)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列; 也是一個等差數(shù)列;若n為奇數(shù),則Sn=na中且S奇-S偶=a中(注:a中指中間項,即a中=an+12,而S奇、S偶分別指所有奇數(shù)項、所有偶數(shù)項的和);若n為偶數(shù),則S偶-S奇=nd2.,考 點(diǎn) 訓(xùn) 練,1.(2009山東)在等差

6、數(shù)列an中,a3=7,a5=a2+6,則a6=_.,答案:13,解析:由a5=a2+6知3d=6,得d=2.a6=a3+(6-3)d=7+32=13.,2.(2009四川)等差數(shù)列an的公差不為零,首項a1=1,a2是a1和a5的等比中項,則數(shù)列an的前10項之和是( )A.90B.100C.145D.190,解析:a2是a1和a5的等比中項,知 =a1a5,即:(a1+d)2=a1(a1+4d),得d=0或d=2.又d0,d=2,S10=na1+ d=100.,答案:B,3.(2009湖南)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,a2=3,a6=11,則S7等于( )A.13B.35C.49D.63

7、,解析:由a2=3,a6=11,a4= =7,又S7=7a4=49.,答案:C,4.已知an是等差數(shù)列,a1+a2=4,a7+a8=28,則該數(shù)列前10項的和S10等于( )A.64B.100C.110D.120,解析:由數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,a9+a10成等差數(shù)列,知a7+a8=(a1+a2)+3dd= =8S10=45+ 8=100.,答案:B,5.設(shè)ab,且數(shù)列a,x1,x2,b和a,y1,y2,y3,y4,b分別是等差數(shù)列,則 =_.,解讀高考第二關(guān) 熱點(diǎn)關(guān),題型一 等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式例1(2009全國改編)已知等差數(shù)列an中,a3

8、a7=-16,a4+a6=0.(1)求an的通項公式;(2)求數(shù)列an的前n項和Sn;(3)若a3a2,求 的前n項和;(4)在(3)的條件下,求|an|的前n項和.,解:(1)an為等差數(shù)列,a4+a6=0與a5=0,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a3=a5-2da7=a5+2d,由a3a7=-16得4d2=16得d=2或d=-2當(dāng)d=2時,an=a5+(n-5)d=2n-10當(dāng)d=-2時,an=a5+(n-5)d=10-2n(2)當(dāng)an=2n-10時,Sn= =n2-9n當(dāng)an=10-2n時,Sn= =9n-n2,(4)由(3)知an=10-2n當(dāng)n5時,Sn=|a1|+|a2|+|an|=

9、=9n-n2當(dāng)n6時,Sn=|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2+a5)-(a6+a7+an)=2S5-Sn=40-9n+n2,點(diǎn)評:在等差數(shù)列中存在五個量a1,d,n,Sn,an,這五個量知其中任意三個可求其余兩個,求等差數(shù)列的通項公式有兩個,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,前n項和公式Sn= ,在求通項公式、前n項和公式時,一般是根據(jù)已知列方程(組)求解.,變式1:(2009鄭州質(zhì)檢)等差數(shù)列an的前n項和記為Sn,已知a10=30,a20=50,(1)求通項an;(2)若Sn=242,求n.解:(1)由an為等差數(shù)列,a10=30,a20=50=a10+(20-10)

10、d得d= =2an=a10+(n-10)d=30+(n-10)2=2n+10 (2)由Sn= =n2+11n又Sn=242,n2+11n-242=0,得n=11或n=-22(舍).,題型二 證明(判斷)一個數(shù)列為等差數(shù)列例2(2009太原模擬)已知an是公差為d的等差數(shù)列,Sn是an的前n項和,設(shè)bn= ,求證數(shù)列bn是等差數(shù)列.,點(diǎn)評:判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有:(1)定義法: an+1-an=d(常數(shù))(nN+)an是等差數(shù)列;(2)中項公式法:2an+1=an+an+2(nN+)an是等差數(shù)列;(3)通項公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù)),(nN+)an是等差數(shù)列;(4)前n項

11、和公式法:Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))(nN+)an是等差數(shù)列.,變式2:在數(shù)列an中,an=4n ,a1+a2+an=an2+bn+c,nN*,其中a,b,c為常數(shù),則ab+c=_.,答案：-1,題型三 等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用例3(1)在等差數(shù)列an中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,求這個數(shù)列前13項的和;(2)記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知Sn=10,S2n=30,求S4n;(3)已知方程(x2-x+m)(x2-x+n)=0有四個不等實根,且組成一個公差為 的等差數(shù)列,求mn的值.,解:(1)解法一:an為等差數(shù)列,a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3

12、a10,故3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6(a4+a10)=24a4+a10=4,又a1+a13=a4+a10=4,S13 .,解法二:an為等差數(shù)列,a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10,故3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24得a4+a10=4,又a4+a10=2a7=4,a7=2又S13=13a7=132=26.(2)解法一:由Sn=10,S2n=30,S2n-Sn=20,又Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差數(shù)列,S3n-S2n=30,S4n-S3n=40.S4n=100.,解法二:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得S2n=

13、Sn+(Sn+n2d)=2Sn+n2d即30=20+n2d,n2d=10S4n=Sn+(Sn+n2d)+(Sn+2n2d)+(Sn+3n2d)=4Sn+6n2d=100.,解法四:an為等差數(shù)列,設(shè)Sn=An2+Bn.Sn=10,S2n=30S4n=16An2+4Bn=165+54=100.,(3)設(shè)這四個根組成的等差數(shù)列為x1,x2,x3,x4由等差數(shù)列的性質(zhì)可知x1+x4=x2+x3=1,笑對高考第三關(guān) 技巧關(guān),等差數(shù)列是一種特殊的函數(shù),很多數(shù)列的問題,往往可以從函數(shù)的觀點(diǎn)去研究,求解數(shù)列中的基本量(如a1,an,Sn,n,d)等常通過解方程(或方程組)來解決,另外一些常見的解題思想如分類

14、討論思想等,也要引起足夠的重視.,例1已知等差數(shù)列an首項a10,它的前n項和為Sn,求 的值.,點(diǎn)評：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的公差不確定時，一般要對公差分情況討論,例2等差數(shù)列an中,a10.前10項或11項和最小.解法二:S9=S12,a10+a11+a12=0,即a11=0,a10,前10項或前11項和最小.,解法三:S9=S12,Sn的圖象所在的拋物線的對稱軸為x= =10.5.又a10,an的前10項或前11項的和最小.,點(diǎn)評:在上述四種解法中,解法一,二利用數(shù)列的特殊性解決問題,解法三,四是利用函數(shù)的共性來解決問題.,考 向 精 測,1.若an為等差數(shù)列,首項a10,a2003+a2004

15、0,a2003a20040成立的最大自然數(shù)n是( )A.4005B.4006C.4007D.4008,解析:a10,由a2003+a20040,a2003.a20040,a20040而S4007=4007a20040的最小自然數(shù).,答案:B,答案:C,課時作業(yè)(三十四) 等差數(shù)列第一課時,一、選擇題,1.(2009遼寧)已知an為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則d=( )A.-2B.-C.D.2,解析:由a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=-1得2d=-1,d=- .,答案:B,2.an是首項a1=1,公差d=3的等差數(shù)列,如果an=2005,則序號n等于( )A.667B.

16、668C.669D.670,解析:由an=a1+(n-1)d得n=669.,答案:C,3.an為等差數(shù)列,a10=33,a2=1,Sn為數(shù)列an的前n項和,則S20-2S10等于( )A.160B.180C.400D.220,解析:由a10=a2+8d,得d= =4.Sn=-3n+ 4=2n2-5nS20-2S10=2202-520-22102+5102=400.,答案:C,4.已知等差數(shù)列an的前n項和Sn,若 =a1 +a200 ,且A,B,C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)0),則S200等于( )A.100B.101C.200D.201,解析:A,B,C三點(diǎn)共線,a1+a200=1又S200=

17、=100.,答案:A,5.(2009寧夏海南)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn.已知am-1+am+1- =0,S2m-1=38,則m=( )A.38B.20C.10D.9,解析:由am-1+am+1- =0,得2am-a2m=0am=0或am=2,又S2m-1=(2m-1)am=38.am0,故am=2,代入上式得m=10.,答案:C,6.(2009寧夏銀川一中模擬)已知an為等差數(shù)列,且a1+a7+a13=4,則tan(a2+a12)的值為( )A. B.C.-D.-,解析:由a1+a7+a13=4=3a7,得a7= ,又a1+a12=2a7= ,tan(a2+a12)=tan =tan =

18、-3.,答案:D,二、填空題,7.(2009河南開封模擬)數(shù)列an的前n項和Sn=3n-2n2,(nN*),則an=_,此時Sn與nan的關(guān)系為_.,解析:Sn=3n-2n2,常數(shù)項為0,故an為等差數(shù)列,an=Sn-Sn-1=5-4n,dnan.,答案:5-4n Snnan,8.已知an是等差數(shù)列,a4+a6=6,其前5項和S5=10,則其公差d=_.,解析:由S5=10,得a3=2,由a4+a6=a3+d+a3+3d=4+4d=6,得d= .,答案:,9.在數(shù)列an中,a1=-60,且an+1=an+3,則這個數(shù)列的前30項的絕對值之和為_.,解析:由an+1=an+3知an為等差數(shù)列,令

19、an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=0,得n=21.故|a1|+|a2|+|a30|=-(a1+a2+a21)+(a22+a30)=-2S21+S30=1755.,答案:1755,三、解答題,10.已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)證明 .,解:(1)log2(an-1)為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,又a1=3,a3=9,log2(9-1)=log2(3-1)+(3-1)d得d=1,log2(an-1)=log2(3-1)+(n-1)d=1+n-1=nan-1=2n 即an=2n+1,11.設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及

20、公差d都為整數(shù),前n項和為Sn.(1)若a11=0,S14=98,求數(shù)列an的通項公式;(2)若a16,a110,S1477,求所有可能的數(shù)列an的通項公式.,解:(1)由S14=98,得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.因此,an的通項公式是an=22-2n,n=1,2,3.,12.(2009北京石景山模擬)已知等差數(shù)列an中,公差d0,其前n項為Sn,且滿足:a2a3=45,a1+a4=14.(1)求an的通項公式;(2)通過公式bn= 構(gòu)造一個新數(shù)列bn.若bn也是等差數(shù)列,求非零常數(shù)c;(3)求f(n)= (nN+)的最大值.,第二課時,一、

21、選擇題,答案:C,2.一個等差數(shù)列的前12項的和為354,其中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為3227,則公差d為( )A.5B.4C.3D.1,解析:由題意可得 = 又S偶+S奇=354,S偶= 354=192.S奇= 354=162.又S偶-S奇=30=6d.d=5.,答案:A,3.在等差數(shù)列an中,a1=-2008,其前n項和為Sn,若 - =2,則S2008的值等于( )A.-2007B.-2008C.2007D.2008,答案:B,4.已知等差數(shù)列an中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩根,則a7+a8+a9+a10+a11等于( )A.18B.-18C.15D.12,解析:由題意可得a3+a15=6,又a7+a8+a9+a10+a11=5a9,而a3+a15=2a9=6,a9=3.故a7+a8+a9+a10+a11=15.,答案:C,5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27,解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,可知a7+