1、彎 曲 變 形,第 六 章,目錄,6-1 工程中的彎曲變形問(wèn)題,7-1,目錄,目錄,6-1 工程中的彎曲變形問(wèn)題,目錄,6-1 工程中的彎曲變形問(wèn)題,6-2 梁的撓曲線近似微分方程,1.基本概念,撓曲線方程：,由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計(jì),撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：,撓度y：截面形心在y方向的位移,向上為正,轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。,逆時(shí)針為正,7-2,目錄,2.撓曲線的近似微分方程,推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：,忽略剪力對(duì)變形的影響，有,目錄,6-2 梁的撓曲線近似微分方程,由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：,略去高階小量，得,所以,目錄,6-2 梁的撓曲線近似微分方程,由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符

2、號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為：,由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,目錄,6-2 梁的撓曲線近似微分方程,6-3 用積分法求梁的變形,撓曲線的近似微分方程為：,積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：,再積分一次得撓度方程為：,7-3,目錄,積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,彈簧變形,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,例1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整體平衡分析可得：,2）寫出x截面的彎矩方程,3）列撓曲線近似微分方程并積分,積分一次,再積分一次,6-3 用積分法求梁

3、的變形,目錄,4）由位移邊界條件確定積分常數(shù),代入求解,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,例2 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC 段：,CB 段：,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,4）由邊界條件確定積分常數(shù),代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,6-3 用積分法

4、求梁的變形,目錄,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,令 得，,令 得，,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,18,練習(xí) 用積分法求圖示梁的撓曲線方程時(shí)，要分幾段積分？根據(jù)什么條件確定積分常數(shù)？（b）圖中梁右端支承于彈簧上，其彈性剛度為k。,(a),(b),(c),(d),目錄,19,目錄,討 論,積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？,6-3 用積分法求梁的變形,目錄,6-4 用疊加法求梁的變形,設(shè)梁上有n 個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為y，則有：,若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為 ，則有：,由彎矩的疊加原理知：,所以，,7-4,目錄,故,由于梁的邊界條

5、件不變，因此,重要結(jié)論： 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。,6-4 用疊加法求梁的變形,目錄,例3 已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C 截面的撓度yC ；B截面的轉(zhuǎn)角B,1）將梁上的載荷分解,2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。,解,6-4 用疊加法求梁的變形,目錄,3） 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和,6-4 用疊加法求梁的變形,目錄,討 論,疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？,6-4 用疊加法求梁的變形,目錄,26,6-5 梁的剛度校核,彎曲構(gòu)件的剛度條件:,目錄,27,解：將吊車梁

6、簡(jiǎn)化為如圖例 6-12b所示的簡(jiǎn)支梁。,計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為： P = 50 + 5 = 55 kN,（1）計(jì)算變形,由型鋼表查得：,目錄,28,因P和q而引起的最大撓度均位于梁的中點(diǎn)C，由表6-1查得：,由疊加法，得梁的最大撓度為：,目錄,29,（2）校核剛度,將梁的最大撓度與其比較知：,故剛度符合要求。,吊車梁的許用撓度為：,目錄,30,6-6 靜不定梁,1.基本概念：,靜不定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁,多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束,超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。,2.求解方法：,解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程利

7、用靜力平衡條件求其他約束反力。,相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng),7-6,目錄,基本靜定梁：解除多余約束的靜定系統(tǒng),31,6-6 靜不定梁,目錄,32,例: 已知 q、l、EI，求A、B處支座反力。,解除B 處約束，代之以約束反力,變形協(xié)調(diào)條件,查表,代入變形條件，得,目錄,33,目錄,34,解,例6 求梁的支反力，梁的抗彎 剛度為EI。,1）判定超靜定次數(shù),2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng),目錄,3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件,6-6 靜不定梁,35,4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程,所以,5）由整體平衡條件求其他約束反力,目錄,6-6 靜不定梁,例：結(jié)構(gòu)如圖所示，受載荷P作用。,求：（1）D點(diǎn)的鉛垂位移； （2）梁A截面的轉(zhuǎn)角； （3）桿CD中橫截面上的應(yīng)力。,目錄,37,1）選擇合理的截面形狀,目錄,6-7 提高彎曲剛度的一些措施,38,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值,改變支座形式,目錄,6-7 提高彎曲剛度的一些措施,39,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值,改變載荷類型,目錄,6-7 提高彎曲剛度的一些措施,40,3）采用超靜定結(jié)構(gòu),目錄,6-7 提高彎曲剛度的一些措施,41,目錄,6-7 提高彎曲剛度的一些措施,小 結(jié),1、明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念,2、掌握計(jì)算梁變形的積分法和疊加法,3、學(xué)會(huì)用變形比較法解簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題,目錄,43