1、1,與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理用能量法研究動力學(xué)問題。能量法不僅在機械運動的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機械運動和其它形式運動的橋梁。動能定理建立了與運動有關(guān)的物理量動能和作用力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。,8-6 動能定理,一、力的功,力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。,力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負功。 單位：焦耳（）；,（一）常力的功,動力學(xué),2,（二）變力的功,（自然形式表達式）,（矢量式）,（直角坐標(biāo)表達式）,動力學(xué),元功：,3,（三）合力的功 質(zhì)點M 受n個力 作用合力為,則合力的功,即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)

2、和。,動力學(xué),4,（四）常見力的功 1重力的功,重力的功，等于質(zhì)點系的重 量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與其的路徑無關(guān)。,動力學(xué),(下降為正),2彈性力的功,1初變形，2末變形 k彈簧常數(shù),彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。,5,若m = 常量, 則,注意：功的符號的確定。,3萬有引力的功,萬有引力所作的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,動力學(xué),如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸，則,4作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力或力偶的功 設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉(zhuǎn)過一角度 時力所作的功。M點軌跡已知。,6,注意：圓輪作純滾動時摩擦

3、力F不做功,(2) 滾動摩擦阻力偶m的功,5摩擦力的功 (1) 動滑動摩擦力的功,動力學(xué),若m = 常量則,同其他力的功計算一樣。一般摩擦力做負功。,6約束反力的功,約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。即：理性約束的約束反力做功為零。,7,動力學(xué),（1）光滑支承面,（2）固定鉸支座,（3）活動鉸支座、向心軸承,（4）不可伸長的繩,（5）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）,8,（五）質(zhì)點系內(nèi)力的功,只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。 不變質(zhì)點系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。,動力學(xué),內(nèi)力功之和一般不等于零。,9,二動能,物體的動能是由于物體運動而具有的能量

4、，是機械運動強弱的又一種度量。 （一）質(zhì)點的動能 （二）質(zhì)點系的動能,動力學(xué),瞬時量,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。,將質(zhì)點系的運動分解為隨同質(zhì)心的平動和相對于質(zhì)心的運動，據(jù)此計算某些問題中的動能較為方便：,設(shè)質(zhì)心速度為vc，則質(zhì)點Mi的速度vi：,10,動力學(xué),即：質(zhì)點系的動能等于隨同質(zhì)心平動的動能與相對于質(zhì)心運動的動能之和?？履嵯６ɡ?于是：,式中：,質(zhì)心相對于質(zhì)心的速度,11,（I為速度瞬心）,1平動剛體 2定軸轉(zhuǎn)動剛體 3平面運動剛體,動力學(xué),（三）剛體的動能,剛體的平面運動可以分解為隨質(zhì)心的平動和饒過質(zhì)心且垂直于運動平面的轉(zhuǎn)動，所以：,或：,12,三動能定理

5、,1質(zhì)點的動能定理：,因此,質(zhì)點動能定理的微分形式,質(zhì)點動能定理的積分形式,動力學(xué),兩邊點乘以，有,13,對質(zhì)點系中的一質(zhì)點 ：,即 質(zhì)點系動能定理的微分形式,動力學(xué),對整個質(zhì)點系，有,2質(zhì)點系的動能定理,將上式沿路徑 積分，可得,質(zhì)點系動能的微分等于質(zhì)點系上所有力的元功之和。,在某一過程中，質(zhì)點系動能的變化量，等于質(zhì)點系上所有力在同一過程中所作的功的代數(shù)和。,14,例1 圖示系統(tǒng),均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R, OC水平, A上作用一矩為M(常量)的力偶；重物D重Q。求D下落h時的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止),動力學(xué),解：研究對象：系統(tǒng),15,對（

6、*）式求導(dǎo)（注意：此時應(yīng)視h為變量）得：,動力學(xué),（*）,（F做功不？）,16,例2 均質(zhì)圓盤A：m，r，作純滾動；滑塊B：m。桿AB質(zhì)量不計。斜面傾角，摩擦系數(shù)f。求：滑塊的加速度。,動力學(xué),解：研究對象：系統(tǒng),由動能定理的微分形式dT=dW得：,兩邊同除以d，得,設(shè)任意瞬時圓盤A質(zhì)心的速度為v，則,當(dāng)圓盤A質(zhì)心沿斜面向下運動dS時：,17,例3 均質(zhì)桿AB與重物C的質(zhì)量均為m ，桿在地面水平位置時系統(tǒng)靜止，求桿被拉到與水平成300角時C的加速度（不計各處摩擦及定滑輪O、滑塊B的質(zhì)量）。,動力學(xué),解：以系統(tǒng)為研究對象,設(shè)桿長l，則：,T1=0,將桿放在任一位置研究。設(shè)C的速度為v，則vB=

7、v,18,動力學(xué),（*）,兩邊對t求導(dǎo)得：,由（*）知：,代入上式得：,當(dāng)j=300時，a=0.275g,19,*1均質(zhì)桿OA質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。彈簧常數(shù)k =3N/mm，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度0至少應(yīng)為多大？,解：研究對象：OA桿,由 得：,動力學(xué),動能定理練習(xí)題,20,*2行星齒輪機構(gòu), 位于水平面內(nèi)。 動齒輪O1半徑r ,重P, 視為均質(zhì)圓盤；曲柄OO1重Q, 長l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動； 求曲柄的 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和。,動力學(xué),解：研究對象：系統(tǒng),將（）式對t 求導(dǎo)數(shù)，得,21,

8、*3兩根均質(zhì)直桿組成的機構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是 AB桿質(zhì)量的兩倍，不計摩擦，機構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B 端的速度。,動力學(xué),解：研究對象：系統(tǒng),OA鉛直時AB瞬時平動,22,四功率 功率方程,（一）功率：力在單位時間內(nèi)所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。,動力學(xué),23,（二）功率方程： 由 的兩邊同除以dt 得,動力學(xué),分析：起動階段（加速）：即 制動階段（減速）：即 穩(wěn)定階段（勻速）：即,機器穩(wěn)定運行時，機械效率,是評定機器質(zhì)量優(yōu)劣

9、的重要指標(biāo)之一。一般情況下 。,24,8-7勢力場、勢能、機械能守恒定律,一勢力場 1力場：若質(zhì)點在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。,動力學(xué),重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。 質(zhì)點在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力),如重力、彈力等。,2勢力場： 在力場中, 如果作用于質(zhì)點的場力作功只決定于質(zhì)點的始末位置，與運動路徑無關(guān)，這種力場稱為勢力場。,25,二勢能 在勢力場中, 質(zhì)點從位置M 運動到任選位置M0, 有勢力所作的功稱為質(zhì)點在位置M 相對于位置M0的勢能，用V 表示。,M0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點。,動力學(xué),X=

10、X(x,y,z), Y=Y(x,y,z), Z=Z(x,y,z),上式積分與路徑無關(guān)，由高度數(shù)學(xué)知Xdx+Ydy+Zdz可表示為某一單值連續(xù)函數(shù)的全微分，即：,Xdx+Ydy+Zdz=dV,V=V(x,y,z)是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱為勢能函數(shù)。,26,動力學(xué),比較前式有：,質(zhì)點或質(zhì)點系在某一位置具有的勢能是相對于零位置而言的，零位置是任選的，同一質(zhì)點對不同的零位置的勢能是不同的。 某位置的勢能就等于該位置的勢能函數(shù)值，如果不知勢能函數(shù)，可通過功的計算來確定。 勢能相等的各點所組成的面，稱為等勢面。 物理意義：勢能是質(zhì)點（系）在某一位置相對零位置所具有的做功的能力。,27,有勢力的功等于質(zhì)點系

11、在運動的始末位置的勢能之差。,動力學(xué),*有勢力的功,*質(zhì)點或質(zhì)點系在常見勢力場中的勢能,1.重力場 在給定零位置之上為正,2. 彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點,3. 萬有引力場：取距引力中心無窮遠處為零勢能位置：,28,設(shè)質(zhì)點系只受到有勢力(或同時受到不作功的非有勢力) 作用，則,動力學(xué),三機械能守恒定律 機械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。,這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。,例4 均質(zhì)直桿： m 、l ，直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表示）。,29,解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。 由于約束反力不作功, 主動力為有勢力，因此

12、可用機械能守恒定律求解。,由機械能守恒定律：,將代入上式，化簡后得,動力學(xué),初瞬時：,任一瞬時：,30,8-8動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用,動力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理（質(zhì)心運動定理）、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機械運動，而動能定理還可以研究其它形式的運動能量轉(zhuǎn)化問題。 動力學(xué)普遍定理提供了解決動力學(xué)問題的一般方法。動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開那些無關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對比較復(fù)雜的問題

13、，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。 求解過程中,要正確進行運動分析, 提供正確的運動學(xué)補充方程。,動力學(xué),31,舉例說明動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用： *例1 兩根均質(zhì)桿各重為P，長均為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)。,動力學(xué),32,討論 質(zhì)心運動守恒定理動能定理求解。 計算動能時，利用平面運動的運動學(xué)關(guān)系。,動力學(xué),解：研究對象：整體,由動能定理：,且初始靜止，,水平方向質(zhì)心位置守恒。,C到達地面時，AC速度瞬心在A點,33,例2 重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB鉸接。 系統(tǒng)由圖示位置無初速

14、地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B點時B點的速度及支座A的約束反力。,解：（1）取圓盤為研究對象,，圓盤平動。,動力學(xué),又開始系統(tǒng)靜止，,34,（2）用動能定理求速度。 取系統(tǒng)研究：T1=0 ，,代入數(shù)據(jù)，得,動力學(xué),35,（3）用動量矩定理求桿的角加速度 。,動力學(xué),桿質(zhì)心 C的加速度： 盤質(zhì)心加速度：,（4）由質(zhì)心運動定理求支座反力。研究整個系統(tǒng)。,代入數(shù)據(jù)，得,36, 相對質(zhì)心動量矩守恒定理+動能定理+動量矩定理+質(zhì)心運動定理。 可用對積分形式的動能定理求導(dǎo)計算，但要注意需取桿AB在 一般位置進行分析。,動力學(xué),例3 基本量計算 (動量,動量矩,動能),37,例4 質(zhì)量為m 的桿置于兩個半徑為r ， 質(zhì)量為的實心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時，桿的加速度。設(shè)接觸處無相對滑動。,動力學(xué),解：方法一：用動能定理求解。 取系統(tǒng)為研究對象，桿作平動，圓柱體作平面運動