1、（2） 球與正三棱錐,正三棱錐的外接球的球心在它的高所在直線上,球心在高PH上，即在錐體內(nèi)部,球心在高PH的延長線上，即在錐體外部,球心與底面正中心H重合,度量關(guān)系：,設(shè)正三棱錐底面邊長為b，側(cè)棱長為a，高為h，外接圓半徑為R，,或在RtAHO中，,正三棱錐的內(nèi)切球的球心在它的高上(與外接球的球心不一定重合）,有關(guān)正三棱錐內(nèi)切球半徑的計(jì)算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在箏形OKDH 中進(jìn)行。 OH=OK=r. 注意到球心O與棱BC中點(diǎn)D的連線平分二面角P-BC-A的平面角。,把有關(guān)立體幾何的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面幾何的計(jì)算，是最基本的策略。,設(shè)正三棱錐底面邊長為b，側(cè)棱長為a， 高為h，斜高為h

2、 ，內(nèi)切圓半徑為r，,正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為1，底面邊長為 ，它的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則球的體積為 （ ）,A,解：,設(shè)P在底面ABC上的射影為H，則H為正ABC的中心.,延長PH交球面于M，則PM為球的一直徑，PAM=90,由Rt中的射影定理得：,法二,由AHPH知：球心O在正三棱錐的高PH的延長線上。在RtAHO,有：,題目：,題目：,正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為 ( ),解析：,設(shè)正三棱錐側(cè)棱長為a ，底面邊長為b ，三側(cè)棱兩兩垂直，各側(cè)面都是全等的等腰直角三角形。,代入正三棱錐內(nèi)切球半徑公式：,得：,又 正三棱錐外接球半徑,

3、D,已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿足,同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC兩兩互相垂直,易知，該三棱錐三個側(cè)面均為Rt，所以，其側(cè)面積為,解析：,則三棱錐的側(cè)面積的最大值為 （ ）,A,題目：,提示：三棱錐三側(cè)面兩兩垂直 三側(cè)棱兩兩垂直,正三棱錐對棱互相垂直，即SBAC,又SBMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,進(jìn)而，SASC.則三側(cè)棱互相垂直。以S為頂點(diǎn)，將三棱錐補(bǔ)成一個正方體，則球的直徑,設(shè)三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 ，則其外接球大圓的面積為 （ ）,在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNA

4、M，若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 （ ）,C,題目：,解析：,C,鞏固練習(xí),從P點(diǎn)出發(fā)三條射線PA，PB，PC兩兩成60，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若球的體積為 ， 則OP的距離為（ ）,因PA與球O相切于點(diǎn)A， OAPA,同理，OBPB,OCPC.,RtPOARtPOBRtPOC PA=PB=PC,又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC為全等的 等邊三角形，P-ABC為正四面體；O-ABC為正三棱錐。,解析：先想象一下圖形，畫出示意圖,由已知得球半徑R=1，設(shè)PA=a，OP=x，設(shè)P在底面ABC上的射影為H（也是O在底面ABC上的射影），則AHPH.在Rt

5、PAO中，有：,B,4 球與棱柱切接問題舉例,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)。,AOB是等腰三角形，OA=OB=R,設(shè)球半徑為R，球心到底面ABC的距離為d，ABC的外接圓半徑為r.設(shè)正三棱柱高AA1=h，底面邊長為a。,正三棱柱的內(nèi)切球,如果一個正三棱柱有內(nèi)切球，則球心為正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，球直徑等于正三棱柱的側(cè)棱長。各面中心即為切點(diǎn)（共5個）。底面正三角形中心到一邊的距離即為球半徑r。,解:在 中, , 可得 由正弦定理,可得 外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為 ， 球心為 ，在 中，易得球半徑 ，故此 球的表面積為.,（2009全國卷理）直三棱柱 的各頂點(diǎn)都在同一

6、球面上，若 , ，則此球的表面積 等于 。,真題賞析,（2009江西卷理）正三棱柱 內(nèi)接于半徑為2的球，若 兩點(diǎn)的球面距離為 ，則正三棱柱的體積為 ,真題賞析,由球面距離公式：,解析：,設(shè)正ABC的外接圓半徑為r,球心O到平面ABC的距離為,8,一個正方體的棱長為2，將八個直徑各為1的球放進(jìn)去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為,棱長為a的正方體外接球的表面積為（ ）,B,八個球的球心連線構(gòu)成一個立方體，且其棱長為1.,解析：,M,N,設(shè)過對角線O1O7的對角面與球O1、O7分別交于M、N，如圖。則所求為：,作業(yè)：,已知體積為 的正三棱錐的外接球的球心為，滿 足 ,則三棱錐外接球的體積為,

7、如圖, 設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且,，則AD兩點(diǎn)間的球面距離 .,提示：,由已知得：球心O為正三棱錐底面ABC的中心。如圖，則有PAM為等腰直角三角形，O為斜邊PM中點(diǎn)。,設(shè)底面正邊長為a，側(cè)棱長為b，則,提示：,AOD為等邊三角形.,半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ， 點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，球心為O。,求： AOB，BOC的大?。?球心到截面ABC的距離； 球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比,解：球面距離,OA=OB=OC=1, 設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長為a，則,A、B、C是半徑為1的球面上三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，球心為O。,求： AOB，BOC的大?。?球心到截面ABC的距離； 球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比,解：球面距離,OA=OB=OC=1, 設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長為a，則,法二：易知AO垂直于平面BOC。,有人抄錯題了，把 和 交換了一下，那么，答案還一樣嗎？,則三棱柱的體積為 （ ）,在棱長為a的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點(diǎn)作直線, 該直線被球面截在球內(nèi)的線段長為 ( ),一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個