1、第一章,函數(shù)與極限,函數(shù),函數(shù)的極限,第一章,第一節(jié),函數(shù),一、預(yù)備知識,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.,組成集合的事物稱為該集合的元素.,記號：,表示法：,(1)列舉法,(2)描述法,2.實數(shù)軸：,兩點之間的距離：,數(shù)軸上的點與全體實數(shù)一一對應(yīng)。,原點、正方向、單位長度.,絕對值不等式:,3.鄰域,4.平面直角坐標(biāo)系,平面上任一點與一對有序?qū)崝?shù)一一對應(yīng)。,例. 圓、直線與其方程表示.,從而,二、函數(shù)概念,郵件的費用依賴于郵件的重量，郵局公布的費用表 可根據(jù)郵件的重量W確定郵件的費用C。,真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時間t的關(guān) 系為： ，設(shè)這一運動花費T秒鐘，則t0,T。

2、,因變量（輸出）,自變量（輸入）,圖示：,注：對應(yīng)關(guān)系和定義域確定一個函數(shù).,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.,多值函數(shù):,注：為了確定性，一般要求函數(shù)是單值函數(shù)。,多值函數(shù)可看作若干個單值函數(shù)。,函數(shù)的表示法：,表格法，圖形法，公式法（見前例）,即由橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)關(guān)系的所有點構(gòu)成的集合。,在定義域的不同部分對應(yīng)法則用不同公式表達(dá)的函數(shù).,(1) 絕對值函數(shù),注：分段函數(shù)并非多個函數(shù)。,分段函數(shù)：,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),階梯曲線,隱函數(shù),注意：隱函數(shù)不一定可以化為顯函數(shù)。,因變量與自變量的函數(shù)關(guān)系用一個方程表示。,顯函數(shù),建立函數(shù)

3、關(guān)系的例題：,解:,思考：D設(shè)在何處才能使總運費最省？,例2. 在半徑為R的球內(nèi)嵌入一圓柱體，試將圓柱的體積表示為其高的函數(shù)，并確定此函數(shù)的定義域。,解:,思考：球內(nèi)接圓柱體的體積何時最大？,1函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),三、描述函數(shù)特征的幾個概念,偶函數(shù),奇函數(shù),驗證奇偶性：,2函數(shù)的周期性:,3函數(shù)的單調(diào)性:,圖形：單調(diào)增加函數(shù)的圖形從左到右往上升. 單調(diào)減少函數(shù)的圖形從左到右往下降.,證明:,同理可證命題的前半部分。,4函數(shù)的有界性,（因變量有界）,有界函數(shù)的圖形夾在兩條水平直線之間。,幾何:,四、反函數(shù),反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域.,例1. 自由落體運動.,反過來，已知下落距離

4、s，也可得相應(yīng)的下落時間t.,已知下落時間 t，可得相應(yīng)的下落距離 s.,圖形表示：,函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.,五、復(fù)合函數(shù),圖示：,簡單函數(shù)通過復(fù)合運算能構(gòu)成復(fù)雜的函數(shù)，,反過來，也可把復(fù)雜的函數(shù)分解成簡單的函數(shù)。,基本初等函數(shù),1.冪函數(shù),六、初等函數(shù),2.指數(shù)函數(shù),3.對數(shù)函數(shù),4.三角函數(shù),正弦函數(shù),(注意：x用弧度表示),余弦函數(shù),很多自然發(fā)生的現(xiàn)象都具有周期性，如海浪，交流電，心電圖等。這類現(xiàn)象可以用三角函數(shù)去表示。,正切函數(shù),余切函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),5.反三角函數(shù),為了保證反正弦函數(shù)的單值性，,例:,不是初等函數(shù),為初等函數(shù),不是初等函數(shù),為初等函數(shù),定義：由常

5、數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,給出了幾何問題的統(tǒng)一,笛卡兒 (15961650),法國哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家,他,是解析幾何奠基人之一 .,1637年他發(fā),表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與,代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點,進(jìn)而提出了 “ 另外,一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點而避免其缺點的方法”,從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法.,把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,要點:,鄰域:,單值函數(shù):,表示某一點的附近.,函數(shù)的圖形:,隱函數(shù):,因變量與自變量的函數(shù)關(guān)系用一個方程表示.,反函數(shù):,復(fù)合函數(shù):,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性;,分段函數(shù);,基本初等函數(shù)種類:,初等函數(shù)的定義：,冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函