1、“楊輝三角”中的一些秘密,二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1，2，3時(shí)，列出的一張表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究，所以我們又稱(chēng)它為楊輝三角,楊輝,詳解九章算法中記載的表,1.楊輝三角,第5行 1 5 5 1,第0行1,2.楊輝三角與二項(xiàng)系數(shù),第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,15,20,10,10,6,4,見(jiàn)書(shū)P35,3.楊輝三角基本性質(zhì),第5行 1 5 5 1,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3

2、 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,15,20,10,10,6,4,再探楊輝三角,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想下列數(shù)列的前若干項(xiàng)的和：,一般地，,見(jiàn)書(shū)P36,4.橫看楊輝三角中各行數(shù)字,第1行112 第2行121422 第3行1331823 第4行146411624 第5行151010513225 第n行,(1)第n行數(shù)字的和為2 n (2) 前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2 n+1 1,性質(zhì)1,4.橫看楊輝三角中各行數(shù)字,二看：4，8，16，各行數(shù)字有何特點(diǎn)？,一看：1，3，7，15各行數(shù)字有何特點(diǎn)？,三看：2，3，5，7，11 各行

3、數(shù)字有何特點(diǎn)？,1、第1，3，7，15，這些行即2k-1（k是正整數(shù)）行的各個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)，2k行除兩端的1之外都是偶數(shù)。 2、當(dāng)行數(shù)P是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)P整除其余所有的數(shù)。,性質(zhì)2,5.斜看楊輝三角中各行數(shù)字的和,從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線(xiàn)，在這條射線(xiàn)上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù).,5.斜看楊輝三角中各行數(shù)字的和,一般地，在第m條斜線(xiàn)上（從右上到左下）前n個(gè)數(shù)字的和，等于第 m+1 條斜線(xiàn)上的第 n 個(gè)數(shù),性質(zhì)3,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1

4、,第3行 1 3 3 1,1,2,5,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,1,3,8,13,21,34,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,5.斜看楊輝三角中各數(shù)的和,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此數(shù)列an滿(mǎn)足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3)這就是著名的斐波那契數(shù)列,世事洞明皆數(shù)學(xué)，留心處處是文章。,性質(zhì)4,中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小

5、兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？,兔子繁殖問(wèn)題也可以從楊輝三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,6.楊輝三角與“縱橫路線(xiàn)圖”,“縱橫路線(xiàn)圖”是數(shù)學(xué)中的一類(lèi)有趣的問(wèn)題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？,A,B,由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線(xiàn)圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系,70,7.楊輝三角與彈子游戲,在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球 (黑色 ) 向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，

6、一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問(wèn)：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？,答：兩邊的概率要比中間小。類(lèi)似于一個(gè)三角形，中間掉的概率高。商家當(dāng)然是要把錢(qián)多的給少的了！放在中間豈不是對(duì)不起自己么?。ㄒ?jiàn)書(shū)P70高爾頓板）,8.成果展示,1、楊輝三角的第n行數(shù)字的和為2n。前n行（含第0行）所有和為2n-1，它恰好比第n行的和2n小1； 2、楊輝三角的第1，3，7，15，行，即第2K-1（k是正整數(shù)）行的各個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)。 3、當(dāng)行數(shù)P是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)P整除其余所有的數(shù)。 4、一般地，在第m條斜線(xiàn)上（從右上到左下）前n個(gè)數(shù)字的和，等于第 m+1 條斜線(xiàn)上的第 n 個(gè)數(shù) 5、數(shù)列an滿(mǎn)足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3)這就是著名的斐波那契數(shù)列,9.方法總結(jié),1、運(yùn)用了聯(lián)系、類(lèi)比的觀點(diǎn)看問(wèn)題； 2、運(yùn)用了從特殊到一般的歸納猜想與證明的思想方法； 3、學(xué)會(huì)從多角度看問(wèn)題:“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”； 4、錘煉發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。,課外研究性