1、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),楊秋潔 精銳教育,一、基本概念,1、公約數(shù)與最大公約數(shù)； 2、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)； 3、求最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法： （1）列舉法： （2）分解質(zhì)因數(shù)法； （3）短除法; 4、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的比較.,1、公約數(shù)與最大公約數(shù)的概念,看下面的兩行數(shù)： 12 的約數(shù)有：1、2、3、4、6、12； 18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18； 定義： 幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個叫做最大公約數(shù)。 如12和18 的公約數(shù)有1、2、3、6. 其中6 是12和18的最大公約數(shù)，記作 （12，18）=6,特殊地， 如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩

2、個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。即：如果（a，b）1，那么a，b兩數(shù)就是互質(zhì)數(shù)， 例如：2和3、4和9，6和25 等,2、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念,我們看下面的兩行數(shù) 3的倍數(shù)：3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 5的倍數(shù)：5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 像15、30、45 。這樣，它們是3和5公有的倍數(shù)，叫做3和5 的公倍數(shù)； 其中最小的一個是15，15就叫做3 和5的最小公倍數(shù)。 記作： 3，5 15,3.怎樣求兩個數(shù)的最大公約數(shù),（1）列舉法： （2）分解質(zhì)因數(shù)法： （3）短除法：,18的約數(shù)：,30的約數(shù)：,公約數(shù)：

3、,1、2、3、6,最大公約數(shù):6,1 2 3 6 9 18,1 2 3 5 6 10 15 30,（1）列舉法,例如，求18和30的最大公約數(shù)。,例如，求18和30的最大公約數(shù)。,18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公有的質(zhì)因數(shù)的積就是最大公約數(shù),（2）分解質(zhì)因數(shù)法,（18，30）236,例如：求18和30的最大公約數(shù)。,18 30,2,9,3,3,18和30的最大公約數(shù):,15,5,（18，30）2 3 =6,（3）短除法,5、怎樣求最小公倍數(shù),1、列舉法 2、分解因數(shù)法 3、短除法,（1）、列舉法,3的倍數(shù)：3 6 9 12 15 18 2

4、1 24 27 30 33 36 39 42 45 48 。 5的倍數(shù)：5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55.。 公倍數(shù)；15、30、45、。 其中最小的一個是15，15就叫做3 和5的最小公倍數(shù)。 記作： 3，5 15,例如，求18和30的最小公倍數(shù),18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公倍數(shù)的質(zhì)因數(shù)包含兩個數(shù)所有的質(zhì)因數(shù),（2）分解質(zhì)因數(shù)法,18、30 233590,例如：求18和48的最小公倍數(shù),18 30,2,9,3,3,18和48的最小公倍數(shù)：,2335 =90,15,5,也可以寫成 18，302 3 35

5、=90,（3）短除法,4. 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的比較,（1）如果兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積 （2）如果兩個自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù) （3）兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù) （4）兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積,二、簡單應(yīng)用（1）求整除中幾個數(shù)的共同的除數(shù)最大公約數(shù),例1、用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？ 分析：因?yàn)橐蟮臄?shù)去除30、60、75、都能整除，所以要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)，而

6、其中最大的就是最大公約數(shù)。,用短除法求最大公約數(shù),解,30,60,75,6,12,15,2,4,5,5,3,（30，60，75）5315,答：這個數(shù)最大是15。,（2）整除中幾個數(shù)共同的被除數(shù)最小公倍數(shù),例2、一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？ 分析：這個數(shù)能被3、4、5整除，說明它是3、4、5的公倍數(shù)， 解： 3，4，5 60 答：這個數(shù)最小是60 。,應(yīng)用舉例（3）不同長度的拆分,例3、有三段鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米，現(xiàn)在要將它們截成長度相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？ 分析：要截成相等的小段，每段長度應(yīng)當(dāng)是12

7、0、180、300的公約數(shù)；最長，長度應(yīng)當(dāng)是120、180、300的最大公約數(shù),解,120,180,300,4,6,10,2,3,5,30,2,（120，180，300）30260,答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。,所以，每小段最長是60厘米。,120601806030060 23510 （段）,（4）合理設(shè)置工序的工位,例4、加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過三道工序，第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？ 分析：要使生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)出的零件應(yīng)當(dāng)一樣多，且正好是3、

8、10和5的公倍數(shù)。,解：要使生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)出的零件應(yīng)當(dāng)一樣多，并且是3、10和5的公倍數(shù)。,3,10,5,3,2,1,5,3，10，5 532130,各道工序均應(yīng)加工30個零件。,答：三道工序至少分別需要10個、3個、6個工人。,30310 30103 3056。,例5、一次會餐有三種飲料，餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶；已知，平均每2人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料。問參加會餐的人數(shù)是多少人？ 分析：由題意知參加會餐的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是2、3、4的公倍數(shù)。試一下看看,解： 2，3，4 12 參加會餐的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是12 的倍數(shù)， 又每12人用 122123124 64

9、313 （個飲料瓶） 65135 參加會餐的人數(shù)是12560 （人） 答：參加會餐的人數(shù)是60人。,思路回眸（一）,在解決有關(guān)最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)問題時，關(guān)鍵是分析題意，弄清是求最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。 在把幾個數(shù)進(jìn)行拆分的時候，常常當(dāng)需要求幾個數(shù)共同的約數(shù)，可以利用短除法求幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 一般情況下，當(dāng)求的數(shù)相對于已知條件處于被除數(shù)位置時，求的是最小公倍數(shù)；拼或同時的時候，求公倍數(shù),三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系,例9、兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個是28，另一個數(shù)是多少？ 分析：最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積 即：（a，b） a，b ab 利

10、用這個關(guān)系可以迅速地解答此類問題。如果不理解這個關(guān)系式，我們看下面的分析,解：設(shè)所求的數(shù)是x，則有,X 28,y 7,X與28的最小公倍數(shù)是252,4,4y7252,y252479,x4y4936,答：這個數(shù)是36。,我們來看最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系,x284y474252,而x4y， 2847,在上面的題目中，（x，28）4 x，28 4y7252,即：（a，b） a，b ab,四、求兩個較大數(shù)最大公約數(shù)的方法輾轉(zhuǎn)相除法,例6、一張長方形紙片，長2703厘米，寬1113厘米。要把它剪成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大，問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？ 分析

11、： 小正方形的邊長應(yīng)該是2703和1113的最大公約數(shù),怎樣求2703和1113的最大公約數(shù)？ 我們可以這樣想： 剪成的正方形的邊長既然是1113的約數(shù)，那么剪好的正方形一定能鋪滿以1113為邊的大正方形，于是,輾轉(zhuǎn)相除法,27031113 2 477 （第一步：大數(shù)除以小數(shù)） 1113477 2 159 （第二步：小數(shù)除以第一步的余數(shù)） 477159=3 （第三步：第一步的余數(shù)除以第二步的余數(shù)） 這里2703159= 17 1113159 =7 (7,17) 1 （除到整除時，最后一步的除數(shù)就是最大公約數(shù)） 這種求最大公約數(shù)的方法 輾轉(zhuǎn)相除法,例7、求4811和1981的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),解： 48111981 2 849 1981849 2 283 849283=3 (4811,1