1、第6章 控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的誤差分析與計算,6.1 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,6.2 穩(wěn)態(tài)誤差中的靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差計算,6.3液壓仿形刀架控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算,6.1 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,穩(wěn)態(tài)性能是指系統(tǒng)響應在過渡過程結束之后的性能。其性能的好壞用精度表示，但通常是用誤差的大小來表示精度的高低，所以提出穩(wěn)態(tài)誤差的概念。,則,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就是對于一定的輸入信號，當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后所存在的誤差。,（6.1）,希望值,變換算子,給定值,輸出值,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一般是指希望的輸出量與實際的輸出量之差。 即穩(wěn)態(tài)誤差為,或,要計算控制系統(tǒng)的誤差，首先要知道或者給出輸出量的希望值。,偏差信號為,（6.

2、3）,必須指出,系統(tǒng)的偏差信號 與誤差信號E(s)，在一般情況下并不相同。,（6.2）,當 時，則,而且此時 ，即可由（6.3）式得,則系統(tǒng)的希望輸出為,（6.4）,。,6.2 穩(wěn)態(tài)誤差中的靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差,6.2.1 靜態(tài)誤差,1終值定理,所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,（6.12）,終值定理是指在原函數e(t)和象函數sE(s)之間，當 和 當 時，各有極限存在，則下列關系 存在， 這就是終值定理。,例2 求液壓仿型系統(tǒng)在控制信號xi(t)為單位階躍函數1(t)、單位斜坡函數t和單位加速度函數 時的穩(wěn)態(tài)誤差。,將相關參數代入得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,根據基于終值定理的穩(wěn)態(tài)誤差公式(6.12)，其穩(wěn)態(tài)

3、誤差為,位置誤差,2靜態(tài)誤差系數,靜態(tài)誤差系數是控制系統(tǒng)的品質指標，系數越大，穩(wěn)態(tài)誤差ess就 越小。,靜態(tài)位置誤差系數Kp，靜態(tài)速度誤差系數Kv 靜態(tài)加速度誤差系數Ka,對于0型系統(tǒng),對于I型和高于I型的系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差ess為,（0型系統(tǒng)）,（I型和高于I型系統(tǒng)）,（2）靜態(tài)速度誤差系數Kv,系統(tǒng)單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,靜態(tài)速度誤差系數Kv定義為,于是，用靜態(tài)速度誤差系數Kv所表示的穩(wěn)態(tài)誤差為,（6.21）,速度誤差是指用來表示斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差， 速度誤差不是速度上的誤差，而是由于斜坡輸入而造成的在位置上的誤差。,對于0型系統(tǒng),對于I型系統(tǒng),對于型或高于型系統(tǒng),0型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時不

4、能跟蹤斜坡輸入 具有單位反饋的I型系統(tǒng)，能跟蹤斜坡輸入，但有一定的誤差。 穩(wěn)態(tài)工作時，輸出速度恰好等于輸入速度，但有一定位置誤差。 此誤差正比于輸入量的變化率，反比于增益K。,（3）靜態(tài)加速度誤差系數Ka,單位加速度輸入信號為,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,靜態(tài)加速度誤差系數Ka定義為,（6.27）,穩(wěn)態(tài)誤差為,（6.28）,加速度誤差也是指的位置上的誤差。,對于0型系統(tǒng),對于I型系統(tǒng),對于型系統(tǒng),對于型或高于型的系統(tǒng),0型和I型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時均不能跟蹤加速度輸入 具有單位負反饋的型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時能跟蹤，但有一定誤差。 具有單位負反饋的型和高于型的系統(tǒng)穩(wěn)定時誤差為0。,圖6.4加速度函數輸入穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤

5、差ess,輸入信號,單位負反饋系統(tǒng)以增益K表示的穩(wěn)態(tài)誤差列表,系統(tǒng)類型,k/s(s+2),Xi(s),X0(s),a 單位反饋,1/s(s+2),Xi(s),X0(s),b 非單位反饋,k,斜坡函數,斜坡函數,可得如下結論：,同一系統(tǒng)對于不同輸入信號，有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。而同一輸入信號對不同系統(tǒng)也引起不同的穩(wěn)態(tài)誤差，從而證實了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的結構和參數以及輸入信號的性質。,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有限值恰好與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數K有關，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差有限值越小，反之K越小，穩(wěn)態(tài)誤差值越大。,在三種典型信號輸入的情況下，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數分母中所含的s因式（即積分環(huán)節(jié)）的次數v以及

6、輸入信號拉氏變換Xi(s)的s因式（如： ）的次數l有關，若lv有穩(wěn)態(tài)誤差(若 ，則ess=常值，若 ，則 )，而 無穩(wěn)態(tài)誤差。,上述結論有普通的實用意義，這是因為控制信號變化往往比較緩慢，一般稱慢變信號?？砂演斎胄盘杧i(t)在t=0點附近展成泰勒級數為,由于xi(t)的變化是緩慢的，它的高階導數是微量，則泰勒級數收斂很快，一般取到t的二次項即可。 控制信號xi(t)可看成是階躍、斜坡、加速度信號的合成。,6.2.1.2擾動信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。擾動輸入作用于系統(tǒng)的部位不同，其穩(wěn)態(tài)誤差的大小也不同 圖6.5擾動輸入下的傳遞框圖,設給定

7、輸入信號 ，則系統(tǒng)輸出 僅由擾動信號 引起。當單位負反饋時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為 (6.33) 此時的 為 (6.34),當時 ， (6.35) 當 時，根據終值定理擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差為 如果設 只要 ， ， 則,v ,如果 是一個比例環(huán)節(jié) ，提高K值，可使穩(wěn)態(tài)誤差 下降，但不能完全消除誤差，如果要想降低或消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差，常在擾動作用點前加積分環(huán)節(jié)并提高K值。但單純提高K值和引入積分環(huán)節(jié)會使穩(wěn)定性下降，甚至不穩(wěn)定。為了消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差，又不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可使 是一個比例加積分環(huán)節(jié)(又稱為PI控制)。 總誤差為,6.2.2 動態(tài)誤差,如下兩個單位負反饋系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數分別為,靜態(tài)誤差

8、均為,單位階躍輸入時,單位斜坡輸入時,單位加速度輸入時,兩個不同的系統(tǒng)在相同的輸入情況下，可以有相同的穩(wěn)態(tài)誤差,動態(tài)誤差是否相同呢？,根據（6.9）式知誤差傳遞函數為,把誤差傳遞函數 在s=0的領域展開成泰勒級數為,誤差的拉氏變換為,進行拉氏反變換，則,（6.39）,（6.38）,（6. 40）,（6.37）,將上式中各項系數定義為動態(tài)誤差系數，并以 表示如下,動態(tài)位置誤差系數,動態(tài)速度誤差系數,動態(tài)加速度誤差系數,將動態(tài)誤差系數代入泰勒級數展開式（6.38）中， 其誤差傳遞函數為,（6.41）,（6.42）,（6.43）,（6.44）,（6. 40）,（6.45）,穩(wěn)態(tài)誤差為,由此可知：引入

9、動態(tài)誤差系數之后，實際上是把系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分解成任意輸入信號及其各階導數所引起的穩(wěn)態(tài)誤差分量之和，各分量的大小則依相應的動態(tài)誤差系數大小而定。,單位負反饋系統(tǒng)當開環(huán)傳遞函數分別是 和 ，求當輸入為 時穩(wěn)態(tài)下的動態(tài)誤差。,由此可見，不同的兩個傳遞函數，在相同的輸入信號的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差相同，但動態(tài)誤差確不相同,6.3液壓仿形刀架控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算,伺服閥,液壓缸,仿形機構,仿形樣板,刀架,觸頭位移Xi,閥芯位移Xe,節(jié)流口,（放大元件）,（執(zhí)行元件）,油缸位移X0,帶有負反饋的控制閥。,3液壓仿形刀架系統(tǒng)傳遞函數的建立,（4.40）,式中 是 引起的閥芯位移； 是 引起的閥芯位移。,對（4.3

10、8）式進行拉氏變換，并令初始條件為零，則,（4.41）,圖4.14 閥芯位移示意圖,液壓仿形刀架結構原理圖,伺服閥,液壓缸,仿形機構,仿形樣板,刀架,觸頭位移Xi,閥芯位移Xe,節(jié)流口,（放大元件）,（執(zhí)行元件）,油缸位移X0,帶有負反饋的控制閥。,液壓仿形刀架控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由 輸入信號和外擾負載信號 引起 跟隨誤差 ：由輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差 負載誤差 ：輸入信號為零，由外擾負載力引起的穩(wěn)態(tài)誤差，它是在計算。 液壓仿形刀架控制系統(tǒng)總穩(wěn)態(tài)誤差為,則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞框圖如圖4.16所示。,圖4.16 仿形刀架系統(tǒng)傳遞框圖,其系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,（4.44）,根據基于終值定理的穩(wěn)態(tài)誤差公式，該系統(tǒng)為單位負反饋，則,6.3.1跟隨誤差 計算,圖4.16 仿形刀架系統(tǒng)傳遞框圖,1.輸入單位階躍信號 時的跟隨誤差 由此可見型系統(tǒng)的位置誤差為零。 2.輸入等速度信號 時的跟隨誤差,式中： 開環(huán)增益或稱開環(huán)放大系數亦稱速度常數； 輸入速度。,液壓缸進給刀架的跟隨誤差與輸入速度成正比， 與速度常數成反比，速度常數 越大，系統(tǒng)的工作精度越高。,3. 輸入等加速度信號 時的跟隨誤差 (6.50) 可見加速度引起的位置誤差為無窮大， 該系統(tǒng)不能跟隨加速度信號。,6.3.2負載誤差 的計算 穩(wěn)態(tài)誤差的計算為,根據終值定理，穩(wěn)態(tài)誤差為,(6.54) 由式(6