1、1,群 論,第二章 群的基本知識,2,第二章 群的基本知識,本章首先介紹群的基本知識，包括群的概念，子 群，同態(tài)與同構(gòu)，共軛類，不變子群與商群，群的 直積，最后介紹幾個簡單的群例。 本章分以下幾節(jié): 1, 群的概念, 2, 子群，同態(tài)與同構(gòu) 3, 共軛類，不變子群與商群 4, 群的直積與外直積 5, 某些簡單群,3,2.1 群的概念,群是數(shù)學元素的一種特殊的集合，它要求集合中兩 個元素滿足某些組合規(guī)則，這集合具有代數(shù)結(jié)構(gòu)， 組合規(guī)則（常稱為乘法）它可以是普通乘法的推廣 也可以是矩陣相乘或兩元素置換等。 1.群的定義 群是一種具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的數(shù)學元素的集合。它的組合規(guī)則（乘法）滿足以下四條： （1

2、）封閉性 集合中任意兩個元素的乘積（包括自乘）都在此集合內(nèi)，取集合為G (2)乘法滿足結(jié)合律 即,4,2.1 群的概念,（3),存在單位元素 集合中存在一個單位元素或稱恒等元素 (Identity Element)而且只存在一個單位元素e (4), 集合總?cè)魏卧氐哪嬖卦诩现校琣 的逆元 為 ， 有 是唯一的。 在一定乘法規(guī)則下滿足以上四條的具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合稱 為群。在四條中沒有要求滿足交換律，如果一個群其元素乘 法滿足交換律稱為交換群或Abel群 群元的數(shù)目稱為群的階，記為g。g為有限稱為有限群。元 素無限稱為無限階群。群元可數(shù)的無限群為離散無限群，而 群元素不可數(shù)的稱為連續(xù)群。,5,

3、2.1 群的概念,2. 乘法表與群示例 如果我們知道群中每兩個元素的乘積，則群 結(jié)構(gòu)就確定了。這乘積可以排列成一個乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表為,6,2.1 群的概念,顯然只有群元素比較少時這乘法表才排得出來，在乘法表 中每列與每行，每個元素出現(xiàn)一次，也僅一次，這為乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交換群），則乘法表中對主對角線是對稱 的。下面給出幾個例子 例1 乘法為普通數(shù)乘法，單位元素為 ,a=-1逆元素為 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 這群在量子力學中很重要，這群與空間反演相對應(yīng)，三維 空間矢量 作用 e保持 不變的恒等變換 a

4、 使 反演的反演變換，則 構(gòu)成反演群。 我們稱群G與反演群同構(gòu)。,7,2.1 群的概念,例2 利用普通乘法構(gòu)成群，乘法表為 1 i -1 -i 1 1 i -1 -i i i - 1 -i 1 -1 -1 - i 1 i - i - i 1 i -1 從表中看出，相對主對角線是對稱的，因此它是一個Abel 群。另外看到這群元素可以用一個元素多次冪得到，這元素 為i，即 這樣由一個元素多次冪組成群稱循環(huán)群,為四階循環(huán)群,8,2.1 群的概念,對元素a形成n階循環(huán)群為 的逆元素為 由 定理2.1 重排定理：設(shè)群 當 取遍所有 的元素時， 給出并僅一次給出G中的所有元素。 重排定理是關(guān)于群乘法的重要

5、定理，它指出每一個 群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一 次也僅一次。 例3 所有的整數(shù) 乘法取為普通加法時，構(gòu)成一個群，這群也是一個Abel群，其單位元素為0，n的逆元素為-n 全部正整數(shù)就不構(gòu)成一個群，因為它沒有逆元素。,9,2.1 群的概念,例4 三客體的置換群(permutation group) ，它是簡單的非Abel群，三客體編號為1，2，3排成一列，排列次序作一個變化， 看成同一種置換，即置換主要為元素對應(yīng)變化，不在排列次序，三客體置換群有以下六個元素： 元素個數(shù)為3！=6，它是一個6階置換群表為 ， 也稱3客體對稱群。,10,2.1 群的概念,n個客體的置換群元素個數(shù)為

6、n!，表為 ，也稱n客體的對稱群。若兩置換乘積ba=d，即先實現(xiàn)a再實現(xiàn)b置換得d。 的乘法表為： e a b c d f |e | e a b c d f a | a e f d c b b | b d e f a c c | c f d e b a d | d b c a f e f | f c a b e d 從乘法表看出，它對主對稱軸是不對稱的，所以它是非Abel群。,11,2.1 群的概念,例5 平面正三角形對稱群又稱6階二面體群，它由保持正三角形不變的空間轉(zhuǎn)動操作形成群。 圖2.1平面正三角形對稱變換 以下六種操作平面正三角形不變： e 不轉(zhuǎn) a 繞軸1轉(zhuǎn) b 繞軸2轉(zhuǎn) c 繞軸3

7、轉(zhuǎn) d 繞垂直軸z轉(zhuǎn)2 /3， f 繞z軸轉(zhuǎn)-2 /3 。 如圖2.1所示,12,2.1 群的概念,給出乘法表如下表：從表中看出，群中元素任一個u乘 積 ， 給出并且僅一次給出G所有元素，滿足重排定理。 e a b c d f |e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同構(gòu)有限群數(shù)目。還 可以證明，階數(shù)為相同素數(shù)的有限群都同構(gòu)。三客體置換群 與平面正三角形對稱群 同構(gòu)。,13,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),1.子群

8、與陪集 定義2.2,群G集合中一部分元素的子集合H若在原群乘法規(guī) 則下滿足群的四點要求，H稱為G的子群。 例.6,取 ，則 就是G的二階子群。 例.7 在定義群乘法為數(shù)的加法時，整數(shù)全體構(gòu)成群是實數(shù)全體構(gòu)成群的子群。 定理2.2 子群定理：群G的非空子集H是群的一個子群，其 充分與必要條件是若h與 滿足 。 證明：由H是G的子集滿足結(jié)合律取 得 ，則 H中保持單位元素，另外取 ，則 。H中有 逆元素,最后取h為 有 滿足乘法規(guī)則下的 閉合性，因此H為一個子群。,14,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),換言之，G的一個子集H在其乘法下是閉合的， 則為G的一個子群。任意一個群其單位元素e和群本 身是G的

9、子群，稱平庸子群(trivial subgroup)其他子 群稱真實子群，我們要求的是真實子群. 為了證明一個重要定理Lagrange定理，要引 入一個重要的概念，稱子群的陪集(coset)若H是群G 的真實子群，其元素為 ，則G中一定存在至少一 個元素a不屬于H的，則用a乘H所有元素 形成一個子集稱由a產(chǎn)生H的左陪集，可表示aH。注 意aH不是一個群，因其中沒有單位元素，相似也有 右陪集Ha，一般情況左陪集與右陪集是不完全一樣 的。,15,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),定理2.3 陪集定理 子群H的兩個陪集aH和bH，如果它們兩個中有一個共同元素，則這兩個陪集完全相同。 證明：讓 則 則a在b

10、H中a乘任何元素 因此aH中任何元素在bH中，反過來bH中任何元素也在aH中，因此aH與bH是完全一樣的。,16,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),定理2.4 Lagrange定理 有限群G的任何子群的階 是有限群階的乘因子。若有限群階N，子群階為m， 則有N/m=k (k為整數(shù)) 這定理在求有限群子群時是很有用的。 證明：從旁集定理看出子群的任何兩陪集是不相 交的，要么完全相同，要么完全不同，若子群階為 m，則陪集階也為m。則若有限群階為N，則子群外 形成陪集元素為N/m=k-1，利用 乘子群 H，即得到G中所有元素，k稱為H在群G中指數(shù)，定 理得到。 若群G階數(shù)為素數(shù)，G就沒有任何真實子群，若

11、群的階為6，從定理得到，其真實子群階只有2和3。,17,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),2. 同態(tài)與同構(gòu) 定義2.3。若從群G到群F上存在一一對應(yīng)的映射， 且在映射中群代數(shù)結(jié)構(gòu)不變，即乘法規(guī)則不變，即 G中兩元素乘積的映射等于兩元素映射到F的乘積， 稱群G與群F同構(gòu)。 記 映射稱同構(gòu)映射。 即 ： 兩個同構(gòu)的群不僅群元素間一一對應(yīng)，而且乘法規(guī) 則也一一對應(yīng)，因此從抽象群來說兩個同構(gòu)群本質(zhì) 上沒有任何區(qū)別。,18,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),例.8,空間反演群E,I和二階循環(huán)群 同構(gòu). 例.9 三元素的置換群 和三角形對稱群 同構(gòu)，它們都是6階的。 同構(gòu)群作為抽象數(shù)學群是一樣的，但當它們用于不同的物

12、理與幾何問題時，它們將表示不同的物理或幾何意義。 定義2.4, 若在群G到群F的 映射中，G的幾個元素都 對應(yīng)F的一個元素，g映射 成f， 稱為g的像。 如果在映射過程中群的代數(shù) 結(jié)構(gòu)不變，稱為同態(tài)映射， 符號表示為GF。G與F同態(tài) 但F不與G同態(tài)。,19,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),定義2.5, 若群G與群F同態(tài)，G中與F單位元素 對應(yīng)的元素 的集合 稱為同態(tài)核。 注意與G同態(tài)于F，但F不一定同態(tài)于G。由同態(tài)映射要求保 持代數(shù)結(jié)構(gòu)，因此對群帶來一些限制，下面給出兩個定理。 定理2.5 若群G同態(tài)映射于F，它的像為 。通常 是具有單位元素 的F中的子群，e為G中單位元素。 證明：首先證明G中單

13、位元素的像 是F的單位元素。對任一G中 元素g有 但 ， 因此 是F中的單位元素。 其次證明 即任何逆元素的像也是它像的逆 由 得到,20,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),最后證明 是F的子群，從子群定理知，要證明若 與 是 的元素，則 也是 的元素。 由 得證。 定理2.6. 同態(tài)映射GF 的同態(tài)核是 G 的子群 證明：前面指出凡以F中單位元素e為像的元素稱為GF 的同態(tài)核。這些元素要形成一個子群，就要證明若 映射 為e，則 也映射為e（子群定理） 由 = =e 則 定理得證。,21,2.2 子群, 同態(tài)和同構(gòu),從定理中得到同態(tài)映射GF 的同態(tài)核是G的子 群，但不是所有G的子群都可以作為同態(tài)映射

14、核的。 只有G中某些特殊的子群才具有這性質(zhì)。這些子群 稱為正規(guī)子群(normal subgroup)或不變子群。下面 將進一步討論。下面給出一個同態(tài)映射例子。 例10 群 與群 同態(tài)， 分別,22,2.3 共軛類 不變子群與商群,1.共軛與共軛類 定義2.6, 若群G中存在元素x，f，g使得 稱元素f與g共軛，fg 共軛有對稱性 即fg則gf， 且ff 共軛還具有傳遞性 即當 則有 ， 因 ， 故,23,2.3 共軛類 不變子群與商群,定義2.7, 群中互為共軛元素的完全集合稱為共軛類（或簡 稱為類）用 表示。由于共軛關(guān)系具有對稱性和傳遞性，因 此一個類被類中任一個元素所決定，而兩個不同的類沒

15、有公 共元素。因此群可以按共軛類進行分割。每個類中元素個數(shù) 不一定相同，而按子群的陪集分割時，每個陪集元素的個數(shù) 是相同的。按共軛類和陪集分割群是分割群的兩種重要方式。 單位元素e本身構(gòu)成一類。由 ，在這一類中沒 有其它元素，因此除單位元素外，群G的其它共軛類都不是 子群，因沒有單位元素。 下面考慮幾個例子 例11,Abelian群 每個元素以它自己為一類，由元素可以交 換,則,24,2.3 共軛類 不變子群與商群,例12,三體置換群 利用乘法表直接可證明它存在以下三共軛類。 分別對應(yīng)于沒有元素交換，三個元素交換和一對元素交換,25,2.3 共軛類 不變子群與商群,例13,三維空間轉(zhuǎn)動形成一個

16、群，這群中任何同角的轉(zhuǎn)動形成一類。若R表示繞 軸轉(zhuǎn)動 角， S表示繞 軸轉(zhuǎn)角，則 T 就是一個轉(zhuǎn)動使 變?yōu)?，則轉(zhuǎn)動S與R是共軛的，它們屬于一類。 定理2.7 群G任何共軛類元素的個數(shù)是群的除數(shù) 證明：設(shè)是群G中一元素，其相應(yīng)類為 類中另一元素為,26,2.3 共軛類 不變子群與商群,當s跑遍的所有元素，可得到類 的所有元素。但這些元 素中有很多是相同的，哪些元素對應(yīng)同樣的 呢？引入與a 對易元素 與 a 對易 的集合稱為a的模數(shù)，它是G的一個子群： 則其右陪集 與所有元素產(chǎn)生同一 。 不同陪集得到不同類 元素。因此類元素個數(shù)為， 是群的除數(shù)。 例14, Abel群 則 Abel群中每一元素為

17、一類，元素 個數(shù)為1.又如置換群 的階為6， 類元素個數(shù)為1，2，3， 均為6的除數(shù)（因子）。,27,2.3 共軛類 不變子群與商群,2,不變子群 定義2.8 若H是G的子群，對任意G的元素g，H的元素 有 ，即H包含了所有與 同類的元素，稱H為 的不變子群，又稱正規(guī)子群(normal subgroup) 定理2.8 設(shè)H是G的不變子群，對任一固定元素sG，在 取遍H的所有群元素之時，共軛元素 一次也僅一次 給出H的所有元素。 定理表示一個不變子群包括群元素的整個類。 證明：這定理可以從不變子群的定義直接推出來，因為如 果H中元素 它的共軛元素 在H外，則這群就不是 不變子群。 而且當 時，

18、，否則會引起矛盾。因 此當 取遍H所有元素時， 也取遍所有元素。,28,2.3 共軛類 不變子群與商群,例15,三客體的置換群 真實子群 類 看出前面三個子群不是不變的，因它們不包括元素的共軛 類，而只有第四個子群 是不變子群，它包括了群元素的類。,29,2.3 共軛類 不變子群與商群,如果是Abel群，每個元素自己為一類，則Abel群的任何子 群都是不變子群。 再一個例子就是任何同態(tài)映射的核，若映射 核K是 對應(yīng) 中單位元素 的中G元素集合。定理2已證明它是一 個子群。我們還可以證明它是一個不變子群。 假定 可以證明共軛映射 由映射 即 也是 的映射核K中元素。,30,2.3 共軛類 不變子

19、群與商群,3,商群 定義2.9,群G的階為g，其正規(guī)子群H的階為h，于是存在 a=g/h個陪集（包括正規(guī)子群） 正 規(guī)子群與陪集這a個集合形成一個群稱為群G對其正規(guī)子群 H的商群。表示為G/H 下面論證上述個集合構(gòu)成一個群。 a)滿足封閉性 即正規(guī)子群的兩個陪集相乘仍是它的一個陪集。 b)存在單位元素，這單位元素就是正規(guī)子群本身。,31,2.3 共軛類 不變子群與商群,c)存在逆元素， 逆為 ，它也是商群G/H中一個元 素 d)滿足結(jié)合律 例16, 三客體置換群 的正規(guī)子群為 利用1.1節(jié)乘法表 有 ae=a, ad=b af=c 形成一個等價類,32,2.3 共軛類 不變子群與商群,另一個等

20、價類 N=e,d,f 則 F,N形成一個商群， 其乘法關(guān)系 _N_F_ N N F F F N 商群的階是群與正規(guī)子群的商， 群階為6，正規(guī)子群階為3，則商群階為6/3=2。 考慮自然映射 GG/H 這映射顯然是同態(tài)的,稱為自然同態(tài)，G的正規(guī)子群H是商群的單位元素，因此它是自然同態(tài)中的核。 考慮另一個同態(tài)映射f， 也以這正規(guī)子群為核， f(G)與G/H有以下關(guān)系。,33,2.3 共軛類 不變子群與商群,定理2.9（同構(gòu)定理）凡是以正規(guī)子群為核的同態(tài)映射，都與商群G/H同構(gòu)，f(G) G/H 證明：若 可以證明H的任一旁集也映射于 這就對應(yīng)商群中一個元素，映射f(bH)對應(yīng)G/H另一元素， 這樣

21、 與G/H元素一一對應(yīng)，表明 與G/H同構(gòu)。 例17, 可以映射于一個二階循環(huán)群 ，元素 ， 它與商群S/H同構(gòu)，F(xiàn)對應(yīng) 。,34,2.4 群的直積與外直積,1. 直積 定義10：若群G與它的子群H與K滿足條件 (i) G=HK,即對G中每一元素 g=hk hH kK (ii) 對G中每一元素g，g=hk是唯一決定的。 (iii) hk=kh 對所有 hH kK ,即HK中元素對易。 則稱G為子群H和K的直接乘積，寫成G=HK。子群H稱為G的直積因子.,35,2.4 群的直積與外直積,例18, 四參量e,a,b,c=ab形成群,稱Guass四階群 ，其乘法表為 l e a b c _l_ e

22、l e a b c a l a e c b b l b c e a c l c b a e 兩個子群為 ，則 對于直積兩個子群有以下性質(zhì) a) H與K只有單位元素相交 b) H和K是G的正規(guī)子群。 直積概念也可以推廣到多個子群:,36,2.4 群的直積與外直積,若群G有k個子群 滿足 (i) (ii) G中每一元素 唯一決定 (iii) 對所有 G稱為 的直接乘積,表示為 同樣直積子群要求 a)所有子群相交元素只有單位元素。 b)所有 都是的正規(guī)子群。,37,2.4 群的直積與外直積,上面討論群的直積是同一群的兩個子群，現(xiàn)推廣到兩個任意群的情況 2. 群的外直積 定義11,設(shè) 和 是兩個任意群

23、，定義新群G稱為 與 的外直積，要求 (i) G的元素是有序的對 ， ， (ii) G的乘法 (iii) 單位元素 這里 (iv) 逆元素 從定義看出群G的 階是 階 和 階 的乘積 。 從定義可證明若群G是它子群H和K的直接乘積，而 是HK組成的另一個外直積 ，則 與G同構(gòu)。這表明群的結(jié)構(gòu)完全由它直積子群H和K決定。,38,2.5 某些簡單群,為了幫助大家復習和鞏固有關(guān)群的一些概念，我們 介紹三個簡單群的例子。 1. 循環(huán)群 n階循環(huán)群是由元素a的冪 組成，（k=1， 2，。n）且 記 ，循環(huán)群的乘法可以交換，因此循環(huán)群是Abel群， 從有限群一個元素a出發(fā)總可以構(gòu)成G的一個循環(huán) 子群 ，

24、例19，a=i， ， （-1，1）也是一個循環(huán)群，為 的子群。,39,2.5 某些簡單群,2. 置換群（或?qū)ΨQ群） 在前面各種概念介紹中，我們反復引用了三客體置換 群 ，這推廣到一般，考慮n個客體置換群 。 我們對n個客體編號1,2,3,.n，n個客體存在著n!種排列方 法。從一種排列到另一種排列的變換稱為置換(permutation). 取基本排列為1,2,3,.n，變成另一種排列 置換 逆置換為,40,2.5 某些簡單群,單位元素為不置換 若 是任意兩置換，則置換 是先實行 置換， 再實行 置換有 則 顯然 不滿足交換律。 但滿足乘法結(jié)合律,41,2.5 某些簡單群,定義12,n!個置換的

25、集合 構(gòu)成一個群，這個群稱為置換群 或?qū)ΨQ群，它的階為n!。置換群是物理與工程中應(yīng)用最廣泛 的一個群，也用于通信網(wǎng)絡(luò)中。 下面介紹輪換的概念，并用它來表示置換群元素。 定義13，若我們置換是將 換成 ， 換成 ,. 換 成 ，這種置換稱為輪換，寫為 可以把任一置換化為沒有公共數(shù)字幾個輪換的乘積。 例20,置換 即輪換因子次序?qū)χ脫Q沒有影響。,42,2.5 某些簡單群,下面介紹置換p的共軛置換 的簡單求法，其中s是 中任一元素，一個置換元素完全決定與兩行上下元素的對 應(yīng)，而每個數(shù)排列次序無關(guān)，例 可以證明置換 只須將置換P的上下兩行實行s置換。 例 21,取,43,2.5 某些簡單群,如果利用輪

26、換來表示置換時，它的共軛置換是將 表p輪換的積中輪換符的數(shù)字實行s輪換。 p=(134)(2) s=(1342) 輪換元素個數(shù)分配稱為配分，互為共軛元素對應(yīng)于n的同一配分， 因此n的每一配分對應(yīng) 群的一個共軛類。例如 群有5個共軛類，對應(yīng)配分為 4, 3,1, 2,1,1, 2,2, 1,1,1,1,44,2.5 某些簡單群,3. 正邊形對稱群 前面我們已介紹正三角形對稱群 ，它是一個六階群，三個繞z軸轉(zhuǎn) 動e(不動)，d(轉(zhuǎn)2/3)，f(轉(zhuǎn)- 2/3)它們形成一個不變子群，另外三個 是繞中心與三個頂點不動的翻轉(zhuǎn)分別為a，b，c，其中a，b，c自為逆元 素，而d與f互為逆元素。前面通過直接運算

27、給出其乘法表。 下面介紹建立群乘法表另一種典型方法，將正三角形變換 看成平面上點的坐標變換， 變換前坐標為 ， 變換后坐標為 ， 用列矩陣表示變換元素為 22矩陣 A,45,2.5 某些簡單群,對每一變換將變換前后三角形頂點代入上式就可以求出a， b，c，d而給出相應(yīng)變換矩陣形式。例如變換將A變B，而C 變成A有 從上面式可以解出， 同樣方法可以給出六個群元素矩陣形式如下 將這些矩陣做矩陣乘積就可以得到 群乘法表，這六 個矩陣構(gòu)成一個群，它與群 同構(gòu)，它是 的一個表示。,46,2.5 某些簡單群,應(yīng)用上面方法可以研究正邊形對稱群 ，把正N邊形放在 xy平面上，中心和原點重合，一個頂點在x軸上，保持正N邊 形不變的變換有兩類。繞z軸N次轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為2j/N，變換 記為 單位元素，另一類是繞中心和一個頂 點形成軸轉(zhuǎn)