1、第二章 幾何晶體學(xué)基礎(chǔ),重 點：,2-2 倒易點陣,等同點概念、等同晶面族、 倒易點陣,2-1 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,2-1 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,一幾個概念,二. 空間點陣類型,晶 體：,是研究的對象（試樣）。它是原子、分子或原子集團(tuán)在三維空間內(nèi)呈周期規(guī)則排列而構(gòu)成的固體。其周期為埃的數(shù)量級，如此小的距離，有關(guān)結(jié)構(gòu)分析只能用X-ray，電子射線等進(jìn)行。,晶 胞:,是構(gòu)成晶體的基本單位，晶體的實際構(gòu)造可以想象成無數(shù)晶胞（形狀、大小、取向相同）在空間堆砌而成，也可視為一個晶胞在空間三度平移的結(jié)果。,等同點：空間點陣：空間格子：,即物質(zhì)環(huán)境、幾何環(huán)境相同的點陣點,由同類等同點構(gòu)成的 圖形，它描述了晶體

2、 結(jié)構(gòu)的周期性特征。,連接等同點得出的三維格子。,如,等同點與結(jié)點 結(jié)構(gòu)基元： 晶體結(jié)構(gòu),原子、分子或其集團(tuán),空間點陣結(jié)構(gòu)基元,研究晶體結(jié)構(gòu)，其根本就是,研究一個陣胞的特點 （大小、形狀、原子位置、數(shù)目、類型） 空間點陣的幾何特征，用陣胞表示空間點陣種類。,X-ray結(jié)構(gòu)分析：,測出空間點陣類型,分析結(jié)構(gòu)基元特征,決定原子坐標(biāo),二.空間點陣類型,5. 幾種典型的金屬晶體結(jié)構(gòu),6其它概念,1選取陣胞的原則,3. 點陣類型,4. 十四種布拉菲點陣,2七大晶系,）能同時反映出空間點陣的周期性和對稱性； ）在滿足）的條件下，有盡可能多的直角； ）在滿足）和）的條件下，體積最小。,選取陣胞的原則,晶軸

3、原點： 晶軸間夾角： 單位陣胞矢量： 點陣參數(shù)： 晶胞參數(shù)： 陣胞體積：,以任意頂點為坐標(biāo)原點，以與原點相交的三個棱邊為坐標(biāo)軸，分別用點陣周期（a、b、c）為度量單位,x,y,z,陣點的坐標(biāo)表示,2七大晶系,菱 方 rhombohedral,3. 點陣類型,四種點陣類 簡單 體心 面心 底心,簡單點陣的陣點坐標(biāo)為000,底心點陣，C,除八個頂點上有陣點外，兩個相對的面心上有陣點，面心上的陣點為兩個相鄰的平行六面體所共有。因此，每個陣胞占有兩個陣點。,底心點陣坐標(biāo)為000，1/2 1/2 0,體心點陣，I,除8個頂點外，體心上還有一個陣點，因此，每個陣胞含有兩個陣點,陣點坐標(biāo)000，1/2 1/

4、2 1/2,面心點陣。F,除8個頂點外，每個面心上有一個陣點，每個陣胞上有4個陣點,坐標(biāo)分別為000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2,十四種布拉菲點陣,典型的金屬晶體結(jié)構(gòu),簡單點陣：每個陣胞只在頂點上有陣點，每頂角的結(jié)點由8個陣胞所共有。 復(fù)雜點陣：每個陣胞除頂點外，體心或面心也可能分布陣點。有兩個或兩個以上的結(jié)點。 簡單的結(jié)構(gòu)基元：一個陣點含1個原子。復(fù)雜的結(jié)構(gòu)基元：一個陣點含2個或2個以上原子。,晶向和晶面指數(shù),等同晶面族,空間位向性質(zhì)完全相同的晶面屬于等同晶面族，即面間距和晶面上結(jié)點分布完全相同。用hkl表示。100等同晶面族如圖所示。,等同晶向,即有對稱

5、關(guān)聯(lián)的晶向。等同晶向用表示。,2-2 倒易點陣,倒易點陣 是在晶體點陣的基礎(chǔ)上按一定對應(yīng)關(guān)系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點陣的另一種表達(dá)形式。,四. 倒易矢量的性質(zhì),定義式,二. 倒易點陣的幾個概念,三. 倒易點陣與正點陣的倒易關(guān)系,五倒易點陣之建立,六倒易點陣概念應(yīng)用,一定義,且 和 分別是A與A*的基本矢量。,如果：,定義一個A陣胞（點陣）,定義一個A*陣胞（點陣）,當(dāng)滿足下列關(guān)系時，,A是A*的倒易點陣，或A*是A的倒易點陣。,式規(guī)定了倒易基矢大?。?式規(guī)定了倒易基矢方向：,( ),( ),( ),將式表示為一個式子，可得矢量方程表達(dá)式：,3,二. 倒易點陣的幾個概念,倒易點陣的基矢量

6、,倒易陣胞,定義一個,平移,倒易點陣,頂角：倒易陣點,每一倒易陣點：,代表一族平行、等間距的晶面，其符號（指數(shù)）由坐標(biāo)決定（無分?jǐn)?shù)）,每一面：,稱倒易平面（或倒易截面）,含O*之一截面：,代表晶體之一晶帶。 由O*出發(fā)連接任一倒易陣點的矢量稱倒易矢量，以 表示。,三倒易點陣與正點陣的倒易關(guān)系,倒易點陣的倒易是正點陣。,1正點陣與倒易點陣在性質(zhì)上互為倒易。,2是以兩個不同的方式描寫晶體骨架,正點陣A：直接描繪原子排列周期性、對稱性。,倒點陣A*:直接描繪晶體衍射圖象,也即直接描繪晶體結(jié)構(gòu).,為什么要引入倒易點陣？,例： G.P區(qū)形狀？,圖為X-ray勞埃象 其斑點為片狀，表明倒易點陣由片排成，由

7、此判斷G.P區(qū)為桿狀（P72）,電子衍射,電子譜 倒易平面的放大像 倒易點陣 晶體點陣,X-ray衍射環(huán)或電子衍射環(huán),衍射環(huán)大小，表明倒易矢量大小， 可算得晶面間距d（后面即推證此轉(zhuǎn)換）,上述例子表明:, 由衍射花樣，即倒易點陣，可分析晶體點陣、參數(shù)及結(jié)構(gòu)特點。 許多情況下，須作出倒易圖像，它的基本依據(jù)是定義式。,衍射花樣,倒易點陣,直接對應(yīng),衍射圖象,利用倒易點陣研究晶體結(jié)構(gòu)的原理是：,倒易點陣特征,晶體結(jié)構(gòu)（骨架）,導(dǎo)出,導(dǎo)出,四倒易矢量及性質(zhì),倒易矢量的定義： 從倒易點陣原點向任一倒易陣點所連接的矢量叫倒易矢量，表示為：,倒易矢量的性質(zhì),r* = Ha* + Kb* + L c*,O*,

8、r*,兩個基本性質(zhì) ：,r*垂直于正點陣中的HKL晶面,（HKL）,2）r*長度等于HKL晶面的晶面間距dHKL的倒數(shù),|,|,=,表方向,表大小,證明,證明：,回顧（HKL）的確定方法,充分利用已知條件式,. 關(guān)于方向：,. 關(guān)于長度：,（HKL）,=,如（HKL）面 的指數(shù)標(biāo)定,其與a、b、c軸的截距為:,以a，b，c為單位,取倒數(shù)，通分,（HKL）,. 關(guān)于方向：,即 與直線的點積是否=0,是否與（HKL）內(nèi)兩直線垂直,如圖,ABC為任一(HKL)面,其面間距為d=ON,見圖，在矢量OAB中，,由式：,=,-,=,-,在矢量OBC中,=,-,=,-,有：,=0,同理:,=0,即:,=,=

9、0,=(,間夾角)=90,和,cos,=(,=,cos,=0,和,間夾角)=90,，,（HKL）,. 關(guān)于長度,dHKL=ON,=,由倒易矢量上述兩個性質(zhì)可知：,如果正點陣與倒易點陣有共同的坐標(biāo)原點，則：,A二維平面,A*的一陣點或一矢量,倒易矢量可表示晶體點陣中的晶面取向和晶面間距兩個參量。,五倒易點陣之建立：,（根據(jù)正空間點陣參數(shù)a、b、c、）,2已知a,b,c,求倒易點陣分布、指標(biāo)（在某一截面上）,1已知（HKL）晶面方位及面間距dHKL，求r*HKL及倒易陣點HKL, 晶面與倒易結(jié)點的關(guān)系,關(guān)于干涉指數(shù)與晶面指數(shù),干涉指數(shù),晶面與晶軸的截距,倒數(shù),通分,取分子,干涉指數(shù)（可能有公約數(shù)）

10、,取分子,化簡,晶面指數(shù)（無公約數(shù)）,如已知立方晶系晶面間距,d=,000,112,224,當(dāng)指數(shù)HKL增大，d減小， 增大,所以，(nH,nK,nL)與（HKL），n為整數(shù),則，,兩者平行，,即 與 方向一致,dn=,=n,結(jié) 論：,倒易點陣中每一個倒易點都與正點陣中的點陣面（衍射面）相對應(yīng)，并代表后者的取向（即倒易矢量的方向是點陣面的法線方向）和面間距（倒易矢量的模等于點陣面的面間距的倒數(shù)）,例1：立方晶系物質(zhì)，a=3.6,，,. 求（ ， ）平面上倒易陣點分布及指標(biāo)。,. 試證明其中110可描寫（110）特征,求 ， 方位,求 ， 大小,平移,標(biāo)定指數(shù),O*,令,1/a,100,010,

11、020,030,200,300,110,210,310,120,220,320,130,230,330,由 能表明（110）面的方向,由| |可確定（110）的面間距,例2.一單斜晶系物質(zhì)：a=10.5 , b=15.2 , c=6.5 , =15143, 作出( ， )平面。,，,O*,令,c*,a*,100,200,300,001,002,003,101,201,六倒易點陣概念應(yīng)用,3夾角公式推導(dǎo),1證明晶帶定律,2D公式推導(dǎo),什么是晶帶 晶帶定律 晶帶定律的應(yīng)用,晶帶的定義,在晶體結(jié)構(gòu)或空間點陣中， 與某一取向平行的所有晶面均屬于同一個晶帶。 同一晶帶中所有晶面的交線互相平行，其中通過坐

12、標(biāo)原點的那條直線稱為晶帶軸。 晶帶軸的晶向指數(shù)即為該晶帶的指數(shù)。,晶帶定律,根據(jù)晶帶的定義，同一晶帶中所有晶面的法線都與晶帶軸垂直。 可以將晶帶軸用正點陣矢量r=ua+vb+wc表達(dá)， 晶面法向用倒易矢量r*=Ha*+Kb*+Lc*表達(dá)。 由于r*與r垂直，所以：,由此可得：Hu+Kv+Lw=0,這也就是說，凡是屬于 uvw晶帶的晶面，它們的晶面指數(shù)（HKL）都必須符合上式的條件。我們把這個關(guān)系式叫作晶帶定律。,在倒易點陣中，同晶帶的所有晶面的倒易矢量都位于一個過原點的與晶帶軸垂直的倒易陣點平面上。 每個過原點的倒易陣點平面上的倒易陣點都屬于同一晶帶。 Hu+Kv+Lw=N 廣義的晶帶定律（不

13、過原點的倒易陣點平面） 過原點的倒易陣點平面表示為(uvw)*0 如(010)*0，即（a*，c*）面 不過原點的倒易陣點平面表示為(uvw)*N,晶帶定律的應(yīng)用,在實際晶體中，立方晶系最為普遍，因此晶帶定理有非常廣泛的應(yīng)用。 可以判斷空間兩個晶向或兩個晶面是否相互垂直； 可以判斷某一晶向是否在某一晶面上（或平行于該晶面）； 若已知晶帶軸，可以判斷哪些晶面屬于該晶帶； 若已知兩個晶帶面為（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2),則可用晶帶定律求出晶帶軸；,已知兩個不平行的晶向，可以求出過這兩個晶向的晶面； 已知一個晶面及其面上的任一晶向，可求出在該面上與該晶向垂直的另一晶向； 已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出過該晶向且垂直于該晶面的另一晶面。,小 結(jié)：,1. 倒易點陣由正點陣基矢a、b、c定義。 2. 作由a*、