1、在實際問題中，常常會遇到需要求隨機變量函數(shù)的 分布問題。例如：在下列系統(tǒng)中，每個元件的壽命 分別為隨機變量 X,Y ，它們相互獨立同分布。我們 想知道系統(tǒng)壽命 Z 的分布。,這就是求隨機變量函數(shù)的分布問題。,4.5 多維隨機變量函數(shù)的分布,一般情形求隨機變量函數(shù)分布的方法,和的分布,最值分布,一、二維隨機變量函數(shù)的概念,定義：,設(shè)Z=g(X,Y)是定義在隨機變量(X,Y)一切可能取值(x,y) 的集合上的函數(shù)，如果對于(X,Y)每一對取值(x,y)，另一個 隨機變量Z相應(yīng)地取值為z=f (x , y),于是確定一個隨機變量 Z，稱Z為(X,Y)的函數(shù)。記為：Z=g(X,Y).,說明：,二維隨機

2、變量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)是一維隨機變量， 若設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為z=f (x, y),則二維隨機變量 (X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)是一維連續(xù)型隨機變量.,解題步驟：,已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f (x, y), g(x , y)是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機變量 Z=g (X,Y)的 概率密度。,二、和Z=X+Y的分布,1.離散型隨機變量和的分布,例 1,設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,令: Z=X+Y, 試求隨 機變量Z的分布律.,解,由隨機變量X,Y的取值,知Z的可能取值是1,2,3.,由此得 Z=X+Y的分布律,2.連續(xù)型隨機變量和的分布,

3、設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度,函數(shù)為f (x , y), 令：Z=X+Y.試求隨機變量Z的密度函,數(shù)fZ(z).,1.計算隨機變量Z=X+Y的分布函數(shù)FZ(z).,同理可得,（1）,（2）,利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系,對FZ(z)求導(dǎo),得Z=X+Y的密度函數(shù):,如果隨機變量X,Y相互獨立,則有,于是,(1)(2)式可寫為:,我們稱上式為函數(shù)fX(x)與 fY(y) 的卷積.記為: fX(x)* fY(y).,例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，X服從區(qū)間(0,1）上的均勻分布，Y服從=1的指數(shù)分布.令Z=X+Y,試求隨機變量Z的密度函數(shù).,解,由題意知:,設(shè)隨機變量Z=X+Y的

4、密度函數(shù)fZ(z),則有,(1) 若z0,則fZ(z)=0,不可能事件的概率等于0.,(2) 若0z1,(3) 若z1,于是得隨機變量X+Y的密度函數(shù)為,例3:設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，XN(0,1),YN(0,1),令Z=X+Y,試求隨機變量Z的密度函數(shù).,解,由題意知:,設(shè)隨機變量Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z),則有,結(jié)論1：,結(jié)論2：,如果隨機變量X1, X2, Xn相互獨立，且,YN(2, 22),令Z=X+Y,則Z N(1 +2,12 +22).,XiN(i,i2) (i=1,2,n), 又a1, a2, an為n個,實常數(shù),令,如果隨機變量與Y相互獨立，且XN(1, 12),三、極

5、值分布,設(shè)(X,Y)是二維獨立隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù),X與Y相互獨立,為F(x,y),邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).,X與Y相互獨立,推論：,設(shè)X1, X2, Xn是相互獨立的連續(xù)型隨機變量，,Xi的分布函數(shù)是Fi(x),令,試求隨機變量M與N的分布函數(shù).,解,設(shè)隨機變量M與N的分布函數(shù)分別為FM(x)和FN(x).,X與Y相互獨立,X與Y相互獨立,例4 設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，XB(1,p), YB(1,p),和的聯(lián)合分布律與和的各自邊緣分布律，并,試求隨機變量,判斷和是否相互獨立.,解,由隨機變量X與Y的取值都為0,1,的取值為0,1,于是和的聯(lián)合分布律與和的各自邊緣分布律:,同理,因為0p1,所以:,隨機變量和不獨立.,例5: 設(shè)有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xi,(i=1,2,3,4,5)都服從參數(shù)為的指數(shù)分布.,1.若將這5個電子裝置并聯(lián)，組成整機，求此整機的 壽命M的分布。,2.若將這5個電子裝置串聯(lián)，組成整機，求此整機的 壽命N的分布。,解,Xi服從參數(shù)為的指數(shù)分布.,Xi的概率密度函數(shù)為:,Xi的分布函數(shù)為:,5個電子裝置并聯(lián)時,若有一個工作，則整機就工作,其概率密度函數(shù)為：,M的分布函數(shù)為：,1.整